Circuitazione del campo induzione magnetica
Ciao a tutti,
cercando nel web, ho trovato questo esercizio risolto e commentato riguardante il calcolo del campo magnetico in un condensatore piano:
Un condensatore piano con armature circolari di raggio $R=20cm$ e distanti $d=2 cm$, è collegato mediante un circuito di resistenza trascurabile ad un generatore di forza elettromotrice $V(t)=V_0sin(wt)$ di resistenza interna trascurabile, con $V_0=10V$ e $w=1 (rad)/s$. Trascurando gli effetti di bordo si determini in modulo, all'istante $t=1s$ il campo di induzione magnetica $B_i$ in un punto interno al condensatore a distanza $r_i=10 cm$ dall'asse.
Bene, come soluzione mi dice che il campo elettrico interno al condensatore si può considerare costante e ricavare da $V$:
$E=V/d=(V_0sin(wt))/d$
fino a qui è tutto ok. Proseguendo, dice che la corrente di spostamento all'interno del condensatore genera un campo di induzione magnetica e per ragioni di simmetria le sue linee di campo sono cerchi con centro passante per l'asse del condensatore. Per calcolare il valore del campo di induzione magnetica ad una distanza $r_i$, conviene circuitare il campo $B_i$ su una linea circolare di raggio $r_i$ concentrica all'asse del condensatore:
$ 2pir_iB_i=epsilon_0mu_0int_(0)^(r_i) (partial )/(partial t) (V_0sin(wt))/d 2pir dr $
Ecco, io qui mi blocco... Tecnicamente si dovrebbe partire dalla quarta eq. di Mazwell e procedere a calcoare la circuitazione, ma non capisco perchè a primo membro mi ritrovo un $2pir_i$ invece di un semplice $2pi$ e allo stesso modo non capisco perchè mi ritrovo un $2pir$ a secondo membro...
E' ovvio che sono una pippa a circuitare (nessuno me l'ha insegnato...).
Quelache volenteroso sarebbe così gentile da esplicitarmi i conti?
Grazie!
.BRN
cercando nel web, ho trovato questo esercizio risolto e commentato riguardante il calcolo del campo magnetico in un condensatore piano:
Un condensatore piano con armature circolari di raggio $R=20cm$ e distanti $d=2 cm$, è collegato mediante un circuito di resistenza trascurabile ad un generatore di forza elettromotrice $V(t)=V_0sin(wt)$ di resistenza interna trascurabile, con $V_0=10V$ e $w=1 (rad)/s$. Trascurando gli effetti di bordo si determini in modulo, all'istante $t=1s$ il campo di induzione magnetica $B_i$ in un punto interno al condensatore a distanza $r_i=10 cm$ dall'asse.
Bene, come soluzione mi dice che il campo elettrico interno al condensatore si può considerare costante e ricavare da $V$:
$E=V/d=(V_0sin(wt))/d$
fino a qui è tutto ok. Proseguendo, dice che la corrente di spostamento all'interno del condensatore genera un campo di induzione magnetica e per ragioni di simmetria le sue linee di campo sono cerchi con centro passante per l'asse del condensatore. Per calcolare il valore del campo di induzione magnetica ad una distanza $r_i$, conviene circuitare il campo $B_i$ su una linea circolare di raggio $r_i$ concentrica all'asse del condensatore:
$ 2pir_iB_i=epsilon_0mu_0int_(0)^(r_i) (partial )/(partial t) (V_0sin(wt))/d 2pir dr $
Ecco, io qui mi blocco... Tecnicamente si dovrebbe partire dalla quarta eq. di Mazwell e procedere a calcoare la circuitazione, ma non capisco perchè a primo membro mi ritrovo un $2pir_i$ invece di un semplice $2pi$ e allo stesso modo non capisco perchè mi ritrovo un $2pir$ a secondo membro...
E' ovvio che sono una pippa a circuitare (nessuno me l'ha insegnato...).
Quelache volenteroso sarebbe così gentile da esplicitarmi i conti?
Grazie!
.BRN
Risposte
Spero di aver capito i tuoi dubbi, perché non ne sono tanto sicuro...
Poiché ti parla di simmetria circolare, a primo membro ti trovi (con $l$ circonferenza lungo cui calcoli la circuitazione)
\[\int_l B(r,t) \cdot dl=\int_{0}^{2\pi} B(r_i,t)r_i d\theta=B(r_i,t)r_i \int_0^{2\pi} d\theta=2\pi r_i B(r_i,t)\]
Banalizzando, a secondo membro ti trovi una cosa simile perché la corona circolare con differenza tra i raggi infinitesima puoi considerarla "come se" fosse un "rettangolo", e quindi scrivere la sua area (necessaria al calcolo del flusso) come "base per altezza": la "base" è la lunghezza della circonferenza $2\pi r$ e l'"altezza" $dr$, dunque ecco spiegato il $2\pi r dr$.
Poiché ti parla di simmetria circolare, a primo membro ti trovi (con $l$ circonferenza lungo cui calcoli la circuitazione)
\[\int_l B(r,t) \cdot dl=\int_{0}^{2\pi} B(r_i,t)r_i d\theta=B(r_i,t)r_i \int_0^{2\pi} d\theta=2\pi r_i B(r_i,t)\]
Banalizzando, a secondo membro ti trovi una cosa simile perché la corona circolare con differenza tra i raggi infinitesima puoi considerarla "come se" fosse un "rettangolo", e quindi scrivere la sua area (necessaria al calcolo del flusso) come "base per altezza": la "base" è la lunghezza della circonferenza $2\pi r$ e l'"altezza" $dr$, dunque ecco spiegato il $2\pi r dr$.
Grazie mille giuliofis! Hai fatto centro! 
Era proprio questo che mi interessava sapere!
Sto preparando l'esame di elettromagnetismo, ma senza esercizi svolti mi viene un po' difficile esercitarmi...
Ho postato altri tre esercizi fornendo una mia soluzione, però non ho ancora ricevuto nessun commento e mi piacerebbe sapere quali errori ho commesso e come potrei risolverli.
Magari se tu hai tempo e voglia potresti dargli un occhiata...
Sono questi:
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=119830
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=119617
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=119749
Comunque grazie ancora, mi sei stato molto utile!
Ciao!
.BRN
Era proprio questo che mi interessava sapere!
Sto preparando l'esame di elettromagnetismo, ma senza esercizi svolti mi viene un po' difficile esercitarmi...
Ho postato altri tre esercizi fornendo una mia soluzione, però non ho ancora ricevuto nessun commento e mi piacerebbe sapere quali errori ho commesso e come potrei risolverli.
Magari se tu hai tempo e voglia potresti dargli un occhiata...
Sono questi:
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=119830
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=119617
http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=119749
Comunque grazie ancora, mi sei stato molto utile!
Ciao!
.BRN
Voglia ne avrei, è il tempo e l'energia per pensare che mancano, sto preparando anche io un esame (molto inusuale per me: Filosofia della Scienza, 500 pagine da sapere per bene!).
Per quanto riguarda esercizi svolti, attendi qualche minuto o qualche ora e leggi negli MP.
Per quanto riguarda esercizi svolti, attendi qualche minuto o qualche ora e leggi negli MP.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo