Cinematica... w l'integrazione...
Un corpo viaggia con $a=0m/s^2$ fino a uno spazio $x_0$ fissato, con velocità $v_0$.
sapendo che quando $x>x_0$ l'accelerazione diventa $a=-k/x^2$ dove $k>0$ e [k]=[L^3*T^-2] e x è una lunghezza. Determinare dove si ferma il corpo.
Io ho sagionato così:
posso considerare un unico moto con velocità iniziale e distanza iniziale non nulli.
Il tempo $t_1$ da cui partire è $t_1=x_0/v_0$
quindi ottengo che $a=-k/x^2$, da cui $(dv)/(dt)=-k/x^2->x^2int_(v_0)^vdv=-kint_(t_1)^tdt$
ottenendo, dopo "vari" calcoli $x^2(v-v_0)=-k(t-t_1)$ e sostituendo il valore di t_1 ottengo l'equazione della velocità:
[1]$x^2v=-kt+kx_0/v_0+x^2v_0$
(quindi il corpo si fermerà quando v=0, cioè, ricavando il tempo da questa equazione a $t_k=x_0/v_0-v_0/kx^2$)
tenendo presente che $v=(dx)/(dt)$ ottengo
$int_(x_0)^x(x^2)dx=int_(t_1)^t(-k(t-x_0/v_0)+x^2v_0)dt$
svolgendo i calcoli ottengo (e ricordando che $t_1=x_0/v_0$)
$x^3/3=-kt^2/2-k/2(x_0/v_0)^2+kx_0/v_0t+v_0x^2t-x^2x_0+x_0^3/3
da notare il termine $v_0tx^2=x^2(v_0t_1+(x-x_0))=x^3
l'equazione finale del moto che mi risulta è
[2]$x^2x_0-2/3x^3=-kt^2/2-k/2(x_0/v_0)^2+kx_0/v_0t+v_0x^2t+x_0^3/3
che dimensionalmente è giusto.
sostituendo nell'equazione [2] il tempo $t_k$ ricavato dalla [1] ottengo dove si ferma.
è giusto? (soprattutto son giusti i passaggi di integrazione a destra e a manca?)
grazie per la pazienza
sapendo che quando $x>x_0$ l'accelerazione diventa $a=-k/x^2$ dove $k>0$ e [k]=[L^3*T^-2] e x è una lunghezza. Determinare dove si ferma il corpo.
Io ho sagionato così:
posso considerare un unico moto con velocità iniziale e distanza iniziale non nulli.
Il tempo $t_1$ da cui partire è $t_1=x_0/v_0$
quindi ottengo che $a=-k/x^2$, da cui $(dv)/(dt)=-k/x^2->x^2int_(v_0)^vdv=-kint_(t_1)^tdt$
ottenendo, dopo "vari" calcoli $x^2(v-v_0)=-k(t-t_1)$ e sostituendo il valore di t_1 ottengo l'equazione della velocità:
[1]$x^2v=-kt+kx_0/v_0+x^2v_0$
(quindi il corpo si fermerà quando v=0, cioè, ricavando il tempo da questa equazione a $t_k=x_0/v_0-v_0/kx^2$)
tenendo presente che $v=(dx)/(dt)$ ottengo
$int_(x_0)^x(x^2)dx=int_(t_1)^t(-k(t-x_0/v_0)+x^2v_0)dt$
svolgendo i calcoli ottengo (e ricordando che $t_1=x_0/v_0$)
$x^3/3=-kt^2/2-k/2(x_0/v_0)^2+kx_0/v_0t+v_0x^2t-x^2x_0+x_0^3/3
da notare il termine $v_0tx^2=x^2(v_0t_1+(x-x_0))=x^3
l'equazione finale del moto che mi risulta è
[2]$x^2x_0-2/3x^3=-kt^2/2-k/2(x_0/v_0)^2+kx_0/v_0t+v_0x^2t+x_0^3/3
che dimensionalmente è giusto.
sostituendo nell'equazione [2] il tempo $t_k$ ricavato dalla [1] ottengo dove si ferma.
è giusto? (soprattutto son giusti i passaggi di integrazione a destra e a manca?)
grazie per la pazienza
Risposte
"fu^2":
...
quindi ottengo che $a=-k/x^2$, da cui $(dv)/(dt)=-k/x^2->x^2int_(v_0)^vdv=-kint_(t_1)^tdt$
...
grazie per la pazienza
Questo passaggio non regge. Si ha:
$(dv)/(dt)=-k/x^2 =>(dv)(dx)/(dt)=-k/x^2dx =>vdv=-k/x^2dx$...
grazie della correzione!
ps qual'è il mio passaggio sbagliato?...
quello che hai postato te è quello corretto?
ps qual'è il mio passaggio sbagliato?...
quello che hai postato te è quello corretto?
potresti anche così
$a=-k/x^2$
$(dv)/(dt)=-k/x^2$
$dv=(-k/x^2)dt$
$a=-k/x^2$
$(dv)/(dt)=-k/x^2$
$dv=(-k/x^2)dt$
"MaMo":[/quote]
[quote="fu^2"]
(dv)(dx)/(dt)=-k/x^2dx =>vdv=-k/x^2dx$...
scusa ma il dt dove è finito?
mi potresti spiegare questo passaggio?
grazie...
"remo":
potresti anche così
$a=-k/x^2$
$(dv)/(dt)=-k/x^2$
$dv=(-k/x^2)dt$
è quello che ho fatto...
poi ho integrato...
dov'è che hp sbagliato?
preferisco il "metodo MaMo", il problema è immediatamente risolto.
il problema del "metodo remo" è che x=x(t) resta incognita, quindi la parte a destra dell'equazione non è integrabile.
suggerimento per fu^2. tieni sempre presente quale grandezza è funzione di quale altra, altrimenti porti fuori dagli integrali cose che non è lecito portare fuori, come hai fatto tu.
il problema del "metodo remo" è che x=x(t) resta incognita, quindi la parte a destra dell'equazione non è integrabile.
suggerimento per fu^2. tieni sempre presente quale grandezza è funzione di quale altra, altrimenti porti fuori dagli integrali cose che non è lecito portare fuori, come hai fatto tu.
"MaMo":
$(dv)/(dt)=-k/x^2 =>(dv)(dx)/(dt)=-k/x^2dx =>vdv=-k/x^2dx$...
scrivo un passaggio in più per fu^2
$(dv)/(dt)= (dv)/(dx) * (dx)/(dt) = (dv)/(dx) * v$
a ok
ora ho capito il passaggio di MaMo!!
grazie a tutti!!!
ora ho capito il passaggio di MaMo!!
grazie a tutti!!!
ok wedge...hai ragione!essendo x incognita devo integrarla in $dx$,mentre essendo k cost,non ho problemi...
"wedge":
$(dv)/(dt)= (dv)/(dx) * (dx)/(dt) = (dv)/(dx) * v$
sarà che mi accontento di poco ma questo passaggio fin dal primo giorno in cui l'ho visto mi ha particolarmente affascinato!
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