Cinematica: Velocità in coordinate polari e curvilinee
Mi sorge un dubbio nello studio e vorrei provare a chiarirlo con voi,
Il professore, così come il mio libro, giustificano la differenza della velocità in coordinate polari e curvilinee in questo modo:
-Curvilinee:
Essendo ds uguale a dr per tratti infinitesimi allora è possibile vedere il dr/dt come ds/dt*u(t) con u(t) versore tangente alla traiettoria del moto.
-Polari:
In questo caso dr/dt derivata che mi da la velocità sarà dr/dt= v(r)*u(r)+v(ϑ)*u(ϑ); con u(r) versore radiale e u(ϑ) versore trasverso.
E questo è dovuto al fatto che le coordinate polari hanno i versori non fissati e si tratta di fare anche una derivata del versore radiale che darà proprio l'addendo v*u(ϑ).
Non porto i calcoli perché li ho capiti, non mi trovo con l'intuito invece..
Mi trovo un attimo spiazzato poiché mi pare si assumano due diverse valenze di quell'infinitesimo di spostamento compiuto:
1)quando considero il caso del sistema di riferimento con cordinate curvilinee si dice che il ds è sempre come la tangente dr e quindi si fa la semplice derivata.
2)Quando considero invece le coordinate curvilinee no, eppure a ben pensarci dr e un tratto infinitesimo che è sempre tangente ed ha proprio pari dignità di essere parallelo al versore trasverso u(ϑ) quanto di esserlo ad u(t) Dopotutto sono versori solamente opposti in verso. A questo punto sarebbe come fare la derivata dr/dt*u(ϑ).
Perché invece non è così?
Il professore, così come il mio libro, giustificano la differenza della velocità in coordinate polari e curvilinee in questo modo:
-Curvilinee:
Essendo ds uguale a dr per tratti infinitesimi allora è possibile vedere il dr/dt come ds/dt*u(t) con u(t) versore tangente alla traiettoria del moto.
-Polari:
In questo caso dr/dt derivata che mi da la velocità sarà dr/dt= v(r)*u(r)+v(ϑ)*u(ϑ); con u(r) versore radiale e u(ϑ) versore trasverso.
E questo è dovuto al fatto che le coordinate polari hanno i versori non fissati e si tratta di fare anche una derivata del versore radiale che darà proprio l'addendo v*u(ϑ).
Non porto i calcoli perché li ho capiti, non mi trovo con l'intuito invece..
Mi trovo un attimo spiazzato poiché mi pare si assumano due diverse valenze di quell'infinitesimo di spostamento compiuto:
1)quando considero il caso del sistema di riferimento con cordinate curvilinee si dice che il ds è sempre come la tangente dr e quindi si fa la semplice derivata.
2)Quando considero invece le coordinate curvilinee no, eppure a ben pensarci dr e un tratto infinitesimo che è sempre tangente ed ha proprio pari dignità di essere parallelo al versore trasverso u(ϑ) quanto di esserlo ad u(t) Dopotutto sono versori solamente opposti in verso. A questo punto sarebbe come fare la derivata dr/dt*u(ϑ).
Perché invece non è così?
Risposte
In coordinate polari il $ds$ lungo la traiettoria è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono $dr$ (radiale) e $r*d theta$ trasversale
Mi sono spiegato male mi sa - o frose non ho capito la dritta-, provo a rigirarla al contrario,
il versore tangenziale u(t) viene ritenuto come se non ruotasse durante il percorso ds, anzi ds*u(t) è proprio confuso con dr. (Siamo incoordinate curvilinee).
Nelle coordinate plari invece seppur vi sia uno spostamento dr pari al precedente il versore radiale u(r) è ritenuto in rotazione tant'è che la sua derivata dà un contributo ortogonale ad esso (cioè una componente sul versore trasverso).
Perché in un caso si tiene conto della rotazione di versori e nell'altro no?
Non capisco cosa mi sfugge.
Grazie ancora.
il versore tangenziale u(t) viene ritenuto come se non ruotasse durante il percorso ds, anzi ds*u(t) è proprio confuso con dr. (Siamo incoordinate curvilinee).
Nelle coordinate plari invece seppur vi sia uno spostamento dr pari al precedente il versore radiale u(r) è ritenuto in rotazione tant'è che la sua derivata dà un contributo ortogonale ad esso (cioè una componente sul versore trasverso).
Perché in un caso si tiene conto della rotazione di versori e nell'altro no?
Non capisco cosa mi sfugge.
Grazie ancora.
Ho un po' l'impressione che tu pensi ad uno spostamento infinitesimo che però parte dal centro delle coordinate polari? Cioè uno spostamento che a questo punto è solo radiale? Ma se lo vedi collocato in un punto qualsiasi, come nella figura
vedi subito che c'è una componente radiale e una trasversale. Non so se ho capito bene il tuo dubbio...
vedi subito che c'è una componente radiale e una trasversale. Non so se ho capito bene il tuo dubbio...
Stavo scrivendo la risposta carta e penna e ho capito dove sbagliavo. Ora ricontrollo se mi torna tutto o è stato un eureka fittizio 
Ti ringrazio, anche se non era quello che intendevo, abbiamo frainteso i simboli nel non comprenderci
Grazie!
Ti ringrazio, anche se non era quello che intendevo, abbiamo frainteso i simboli nel non comprenderci
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