Cinematica: traiettoria sasso lanciato da piano inclinato

[BoG3]

ciao belli, stavo faccendo un ese i fisica ma credo di aver sbagliato, vi scrivo il testo e proppongo un mio ragionamento magari mi potete dare una dritta: (spero di non aver fatto troppi casini con latex dato che è una delle prime volte che lo uso)
Testo:
Un sasso viene lanciato da un punto A di un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale. La velocita' di lancio $V_0$ forma un angolo $\theta$ coll'orizzontale. Trova la distanza tra A e B (punto di caduta del sasso) in funzione dell'angolo $\theta$.

Io ho pensato di cominciare così: [disegno]



Imposto le equazioni di moto sugli assi X e Y:

[tex]x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2} at^2[/tex] che nel mio caso è [tex]x = x_0 + v_{0x}t + \frac{1}{2} at^2[/tex] (dato che sull'asse X non ho accelerazioni e dato che [tex]v_{0x} = v_0 cos \theta[/tex] ottengo): [tex]x = v_{0}cos \theta t[/tex]

[tex]y = y_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2[/tex] che nel mio caso è: [tex]y = y_0 + v_{0y}t - \frac{1}{2} gt^2[/tex] ovvero (con [tex]v_{0y} = v_0 sin \theta[/tex]) si ha: [tex]y = y_0 + v_0 sin \theta t - \frac{1}{2} gt^2[/tex].

[tex]\begin{sistema}x = v_{0}cos \theta t \\ y = y_0 + v_0 sin \theta t - \frac{1}{2} gt^2 \end{sistema}[/tex]

ora provo ad isolare la $t$ dall'equazione della X ed ottengo: [tex]t = \frac{x}{v_{0}cos \theta}[/tex] e sostituendolo nell'equazione della Y ottengo: [tex]y = y_0 + v_0 sin \theta\cdot(\frac{x}{v_0 cos\theta}) - \frac{1}{2} g(\frac{x}{v_0 cos\theta})^2[/tex]da cui procedo:

[tex]y = y_0 + sin \theta\cdot(\frac{x}{cos\theta}) - \frac{1}{2} g\frac{x^2}{v_0^2 cos^2\theta}[/tex]

[tex]y - y_0 = tg \theta x - \frac{1}{2} g\frac{x^2}{v_0^2 cos^2\theta}[/tex] siccome sto cercando il momento in cui il sasso impatta il terreno, so che la mia $Y$ è $0$ e quindi ottengo:

[tex]-\frac{y_0}{tg \theta} = x - \frac{1}{2} g\frac{x^2}{v_0^2 cos^2\theta}[/tex]

[tex]-\frac{y_0}{tg \theta} \cdot \frac{2v_0^2 cos^2\theta}{g} = x - x^2 = x(1-x)[/tex]e quindi posso dire che:

[tex]-\frac{y_0}{tg \theta} \cdot \frac{2v_0^2 cos^2\theta}{g} = x[/tex] e:
[tex]-\frac{y_0}{tg \theta} \cdot \frac{2v_0^2 cos^2\theta}{g} = 1-x[/tex]

ora pero' ho dei dubbi di aver cannato d qualche parte, qualcuno mi puoì' aiutare?

[K.Lomax]

C'è un errore:

[tex]y-y_0=x\tan\theta-\frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}[/tex]

e poi dici, ponendo [tex]y=0[/tex],

[tex]-\frac{y_0}{\tan\theta}=x-\frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}[/tex]

mentre dovrebbe essere

[tex]-\frac{y_0}{\tan\theta}=x-\frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}[/tex]

essendo [tex]\tan\theta\cos^2\theta=\sin\theta\cos\theta[/tex]

[BoG3]

ah, giusto, ho sbagliato nello spostare di $tan \theta$, avrei dovuto dividere anche l'altro termine..

grazie mille

[BoG3]

ok ma scusa una cosa, andando avanti coll'esercizio ottengo:

[tex]-\frac{y_0}{\tan\theta}=x-\frac{\mathrm{g}x^2}{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}[/tex]

ora... un equazione di secondo grado, ha 2 soluzoni. ma se la traiettoria del mio sasso incrocia la retta X solo in un punto, come puo' venire fuori un equazione di 2° grado? nei pass successivi ho provato a fare:

[tex]-\frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta}=x \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)-gx^2[/tex] e mo? raccolgo la X ?

[tex]-\frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta}=x \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta-gx)[/tex] a cui estrapolo:


[tex]-\frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta}=x[/tex] e


[tex]-\frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta}=2v_0^2\sin\theta\cos\theta-gx[/tex]
[tex]-\frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta) - (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta \cdot g}=-x[/tex]

riscrivendole in modo + ordinato:
[tex]x_{1/2} = \begin{sistema}-\frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta}=x \\ \\ \frac{y_0 \cdot (2v_0^2\sin\theta\cos\theta) + (2v_0^2\sin\theta\cos\theta)}{\tan\theta \cdot g}=x \end{sistema}[/tex]


come posso fare ora?