Cinematica - Scontro tra due corpi
Buonasera, mi sono bloccato in un problema di cinematica, potreste aiutarmi a proseguire?
Testo
Un ascensore sale a velocità costante di 10 [m/s]. Un ragazzo spara verticalmente in alto da un'altezza di 2,0 [m] sopra il pavimento della cabina scoperta, quando questo si trova a 28 [m] dal suolo. Il proiettile ha velocità iniziale rispetto alla cabina di 20 [m/s]. Che altezza massima dal suolo raggiunge? Quanto tempo impiega a ricadere sul pavimento della cabina?
I dati forniti sono relativi alla cabina, quindi posso dire che il ragazzo di trova a 30 [m] di altezza e che il proiettile ha una velocità iniziale di 30 [m/s]. Applicando la legge oraria del moto uniformemente accelerato, risulta:
$h = h_{pr} + h_{cab} = - \frac{v^2 - v_0^2}{2g} + h_{cab} = \frac{v_0^2}{2g} + h_{cab} \approx 46 [m] + 30 [m] = 76 [m]$ (altezza massima del proiettile)
Adesso, però, mi ritrovo ad affrontare uno dei paradossi di Zenone. Da un lato ho la cabina che continua a salire di moto uniforme, dall'altra ho il proiettile che ricade di moto uniformemente accelerato. Devo trovare l'istante in cui cabina e il proiettile si scontrano. Prima di tutto, ho calcolato il tempo che il proiettile impiega per raggiungere l'altezza massima, in modo da considerare lo spostamento compiuto della cabina:
$t = \frac{v_0^2}{g} \approx 3,1 \rightarrow h_{cab} = vt + 28 [m] = 59 [m]$ (altezza raggiunta dalla cabina)
La differenza tra le altezze mi indica la distanza tra il proiettile e la cabina: $76 [m] - 59 [m] = 17[m]$ (distanza)
Come metto a sistema le equazioni per capire quando si sconteranno?
Testo
Un ascensore sale a velocità costante di 10 [m/s]. Un ragazzo spara verticalmente in alto da un'altezza di 2,0 [m] sopra il pavimento della cabina scoperta, quando questo si trova a 28 [m] dal suolo. Il proiettile ha velocità iniziale rispetto alla cabina di 20 [m/s]. Che altezza massima dal suolo raggiunge? Quanto tempo impiega a ricadere sul pavimento della cabina?
I dati forniti sono relativi alla cabina, quindi posso dire che il ragazzo di trova a 30 [m] di altezza e che il proiettile ha una velocità iniziale di 30 [m/s]. Applicando la legge oraria del moto uniformemente accelerato, risulta:
$h = h_{pr} + h_{cab} = - \frac{v^2 - v_0^2}{2g} + h_{cab} = \frac{v_0^2}{2g} + h_{cab} \approx 46 [m] + 30 [m] = 76 [m]$ (altezza massima del proiettile)
Adesso, però, mi ritrovo ad affrontare uno dei paradossi di Zenone. Da un lato ho la cabina che continua a salire di moto uniforme, dall'altra ho il proiettile che ricade di moto uniformemente accelerato. Devo trovare l'istante in cui cabina e il proiettile si scontrano. Prima di tutto, ho calcolato il tempo che il proiettile impiega per raggiungere l'altezza massima, in modo da considerare lo spostamento compiuto della cabina:
$t = \frac{v_0^2}{g} \approx 3,1
La differenza tra le altezze mi indica la distanza tra il proiettile e la cabina: $76 [m] - 59 [m] = 17[m]$ (distanza)
Come metto a sistema le equazioni per capire quando si sconteranno?
Risposte
Potresti considerare l'ascensore fermo e il proiettile come un corpo in caduta libera con velocità iniziale di 10 m/s
Mi sembra la parte meno difficile ...
La distanza percorsa dal proiettile in caduta libera sarà $h_1=(g*t^2)/2$ mentre quella percorsa dalla cabina sarà $h_2=v_(cab)*t$; ma $h_1+h_2=15$ e quindi ...
La distanza percorsa dal proiettile in caduta libera sarà $h_1=(g*t^2)/2$ mentre quella percorsa dalla cabina sarà $h_2=v_(cab)*t$; ma $h_1+h_2=15$ e quindi ...
Avete ragione, al momento non ci pensavo. 
Grazie mille! Da quando ho affrontato un problema sullo scontro tra treni e un gabbiano, mi si è impigrita la mente. Col seguente problema come fareste?
Ci sono due treni sullo stesso binario rettilineo, diretti l'uno contro l'altro alla velocità di 30 [km/h]. Quando i due treni distano fra loro 60 [km], un gabbiano di stacca da una locomotiva, volando alla velocità di 60 [km/h], dirigendosi verso l'altro treno. Appena lo ha raggiunto, inverte la rotta, e così via... Qual è la distanza percorsa dal gabbiano?
Anche qui posso considerare un treno fermo e l'altro a velocità doppia?
Grazie mille! Da quando ho affrontato un problema sullo scontro tra treni e un gabbiano, mi si è impigrita la mente. Col seguente problema come fareste?Ci sono due treni sullo stesso binario rettilineo, diretti l'uno contro l'altro alla velocità di 30 [km/h]. Quando i due treni distano fra loro 60 [km], un gabbiano di stacca da una locomotiva, volando alla velocità di 60 [km/h], dirigendosi verso l'altro treno. Appena lo ha raggiunto, inverte la rotta, e così via... Qual è la distanza percorsa dal gabbiano?
Anche qui posso considerare un treno fermo e l'altro a velocità doppia?
Beh, $60 km$ ... i treni si incontrano dopo un'ora, lui vola per un'ora a $60 (km)/h$, quindi dopo un'ora avrà percorso $60 km$. O no? 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Beh, $60 km$ ...
Cordialmente, Alex
Mi sono scervellato 2 ore su quell'esercizio e... e... in meno di cinque secondi mi si dà la risposta corretta. Mi sto demoralizzando.
Ma se si volesse dare una risposta con la legge oraria del moto uniforme (due equazioni messe a sistema?), ad esempio con una velocità del gabbiano di 42,3 [km/h], come dovrei scrivere?
Qual è la distanza percorsa dal gabbiano? Moto a velocità uniforme: $d=v_g*t_v$ dove $d$ è la distanza percorsa dal gabbiano, $v_g$ è la velocità del gabbiano e $t_v$ il tempo in volo del gabbiano. La velocità la sappiamo, il tempo quant'è? E' il tempo che ci mettono i treni a incontrarsi. Anche loro stesso tipo di moto, puoi ipotizzare uno fermo e l'altro al doppio oppure, dato che vanno alla stessa velocità, che si incontrino a metà: è lo stesso; allora sarà $t_v=(d_t/2)/v_t$, dove $d_t$ è la distanza tra treni e $v_t$ è la velocità del treno.
Comunque non l'ho risolto così, ma come ti ho detto prima ... e che il post l'ho riscritto tre volte perché continuavo a scrivere il tempo che ci metteva e non la distanza ...
Cordialmente, Alex
Comunque non l'ho risolto così, ma come ti ho detto prima ... e che il post l'ho riscritto tre volte perché continuavo a scrivere il tempo che ci metteva e non la distanza ...
Cordialmente, Alex
Grazie, sei stato gentilissimo 
Sì, proprio il mio errore. Non ci sarei arrivato, mi ero ostinato nel ritenere il problema più difficile di quanto realmente fosse.
continuavo a scrivere il tempo che ci metteva e non la distanza ...
Sì, proprio il mio errore. Non ci sarei arrivato, mi ero ostinato nel ritenere il problema più difficile di quanto realmente fosse.
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