Cinematica, moto parabolico.
Un calciatore a distanza di 36 metri dalla porta calcia un pallone con velocità iniziale di 20
m/s inclinata di 45 gradi rispetto all’orizzontale. Sapendo che la traversa si trova ad una
altezza h=2.4 m, determinare se la palla passa sopra o sotto la traversa.
a. Quale sarebbe dovuta essere la velocità iniziale per colpire la traversa?
b. A quale angolo e con quale velocità sarebbe dovuto essere colpito il pallone per
colpire la traversa perpendicolarmente alla traversa stessa (suggerimento: vuol dire
con velocità orizzontale)
Il moto si può scomporre in: $x=x_0+v(x_0)(t)$ e $y=y_0+v(x_0)(t)+(1/2)a_yt^2 $
Il primo quesito si risolve ponendo: $x=36m$ per poi trovare il tempo e sostituirlo a $y$ in modo da trovare l'altezza della palla quando il pallone è situato in prossimità della traversa, poi ovviamente se risulta $y<0$ la palla cade prima, se $02,4$ la palla passa sopra.
Il quesito $a$ si risolve ponendo $y=2,4m$ e $x=36m$ in modo da ottenere la velocità.
L'ultimo ho pensato di porre la gittata $2x_m=36*2$ e $y_m=2,4$ ma mi trovo calcoli assurdi quindi credo ci sia un metodo più semplice... non ho idea...
m/s inclinata di 45 gradi rispetto all’orizzontale. Sapendo che la traversa si trova ad una
altezza h=2.4 m, determinare se la palla passa sopra o sotto la traversa.
a. Quale sarebbe dovuta essere la velocità iniziale per colpire la traversa?
b. A quale angolo e con quale velocità sarebbe dovuto essere colpito il pallone per
colpire la traversa perpendicolarmente alla traversa stessa (suggerimento: vuol dire
con velocità orizzontale)
Il moto si può scomporre in: $x=x_0+v(x_0)(t)$ e $y=y_0+v(x_0)(t)+(1/2)a_yt^2 $
Il primo quesito si risolve ponendo: $x=36m$ per poi trovare il tempo e sostituirlo a $y$ in modo da trovare l'altezza della palla quando il pallone è situato in prossimità della traversa, poi ovviamente se risulta $y<0$ la palla cade prima, se $0
Il quesito $a$ si risolve ponendo $y=2,4m$ e $x=36m$ in modo da ottenere la velocità.
L'ultimo ho pensato di porre la gittata $2x_m=36*2$ e $y_m=2,4$ ma mi trovo calcoli assurdi quindi credo ci sia un metodo più semplice... non ho idea...
Risposte
"CriDDJ":
L'ultimo ho pensato di porre la gittata $2x_m=36*2$ e $y_m=2,4$ ma mi trovo calcoli assurdi quindi credo ci sia un metodo più semplice... non ho idea...
Dando un'occhiata al suggerimento credo che il terzo quesito si riferisca ad una situazione in cui la palla colpisce la traversa con velocità verticale nulla!
Quindi si tratta solamente di capire quanto vale la distanza dal calciatore per cui si verifichi ciò
Dai moti rettilinei
\[x(t)=v_{0}\cos{(\theta)}t\hspace{2 cm}y(t)=v_{0}\sin{(\theta)}t-\frac{1}{2}gt^{2}\]
ricaviamo la traiettoria del pallone
\[y(x)=\tan{(\theta)}x-\frac{g}{2(v_{0}\cos{\theta})^{2}}x^{2}\]
La porta si trova a una distanza \(x_{p}=d\) quindi calcoliamo \(y(x_{p})\) e osserviamo se \(y(x_{p})=h\) o no.
A questo punto deriviamo \(y(x)\) e imponiamo che \(y'(x_{p})=0\) e osserviamo che la traversa viene raggiunta con velocità orizzontale se
\[\sin{2\theta}=\frac{2gd}{v^{2}_{0}}\]
\[x(t)=v_{0}\cos{(\theta)}t\hspace{2 cm}y(t)=v_{0}\sin{(\theta)}t-\frac{1}{2}gt^{2}\]
ricaviamo la traiettoria del pallone
\[y(x)=\tan{(\theta)}x-\frac{g}{2(v_{0}\cos{\theta})^{2}}x^{2}\]
La porta si trova a una distanza \(x_{p}=d\) quindi calcoliamo \(y(x_{p})\) e osserviamo se \(y(x_{p})=h\) o no.
A questo punto deriviamo \(y(x)\) e imponiamo che \(y'(x_{p})=0\) e osserviamo che la traversa viene raggiunta con velocità orizzontale se
\[\sin{2\theta}=\frac{2gd}{v^{2}_{0}}\]
Però se $y(x_p)$ non è uguale ad h cioè 2,4 come si ottiene l'angolo e la velocità?
"Cuspide83":
A questo punto deriviamo \(y(x)\) e imponiamo che \(y'(x_{p})=0\) e osserviamo che la traversa viene raggiunta con velocità orizzontale se
\[\sin{2\theta}=\frac{2gd}{v^{2}_{0}}\]
Non mi trovo con i passaggi della derivata, la tangente e gli angoli così come $v_0$ devo considerarle costanti in questo passaggio?
Non devi considerarli costanti... SONO COSTANTI!!! Infatti tu hai una funzione \(y(x)\) cioè della sola variabile \(x\).
Derivando troviamo
\[y'(x)=\tan{\theta}-\frac{g}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}x\]
che calcolata in \(x_{p}\) deve essere posta uguale a zero
\[0=\tan{\theta}-\frac{gd}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}_{0}\sin{\theta}\cos{\theta}-gd}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}=\frac{\frac{1}{2}v^{2}_{0}\sin{2\theta}-gd}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}\]
quindi la frazione è nulla se il numeratore è nullo.
Derivando troviamo
\[y'(x)=\tan{\theta}-\frac{g}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}x\]
che calcolata in \(x_{p}\) deve essere posta uguale a zero
\[0=\tan{\theta}-\frac{gd}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}=\frac{v^{2}_{0}\sin{\theta}\cos{\theta}-gd}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}=\frac{\frac{1}{2}v^{2}_{0}\sin{2\theta}-gd}{(v_{0}\cos{\theta})^{2}}\]
quindi la frazione è nulla se il numeratore è nullo.
Grazie Cuspide83 ora mi è perfettamente chiaro 
Il problema è che stavo svolgendo la derivata come se non fossero costanti... e tra tangenti seni e coseni stavo facendo un po' di confusione... xD
Il problema è che stavo svolgendo la derivata come se non fossero costanti... e tra tangenti seni e coseni stavo facendo un po' di confusione... xD
Ho provato a calcolare $ theta $ e $v_0$ per essere proprio sicuro...
Pero noto che sono dipendenti
Mi torvo: $ theta=arctan((g*d)/((v_0)^2*cos(theta)^2)) $
Forse bisogna imporre un'altra condizione...
Pero noto che sono dipendenti
Mi torvo: $ theta=arctan((g*d)/((v_0)^2*cos(theta)^2)) $
Forse bisogna imporre un'altra condizione...
A parte che hai sbagliato la relazione, la condizione corretta è
\[\sin{2\theta}=\frac{2gd}{v^{2}_{0}}\]
\[\sin{2\theta}=\frac{2gd}{v^{2}_{0}}\]
Domani vedo di capire bene il tutto, mi sembra strano che esistono coppie di angoli e velocità con la stessa distanza, perchè la velocità deve essere tangente alla traversa, i modi di colpirla sono infiniti ma solo uno con velocità orizzontale cioè parallela al riferimento cartesiano.
edit: tangente rispetto alla porta...
edit: tangente rispetto alla porta...
Per verificare ho provato a imporre velocità $50m/s$ ed ho ricavato l'angolo dalla tua formula, che risulta $8,19697$
poi ho trovato il tempo e calcolato la posizione sella traversa e risulta $8,1m$ quindi non la colpisce proprio.
Non capisco proprio cosa c'è di sbagliato...
Eppure la tua relazione è sicuramente giusta perché ci sono arrivato anche io...
Volendo fare un esempio numerico come lo faresti?
Edit Provato con un angolo di $45$ e raggiunge addirittura $17$ metri di altezza, ci sara qualcosa che non abbiamo considerato.
Edit arrendermi non è da me ma mi sta facendo diventare matto xD non resta che sperare che all'esame non mi capiti un esercizio simile, sennò vado in pallone.
poi ho trovato il tempo e calcolato la posizione sella traversa e risulta $8,1m$ quindi non la colpisce proprio.
Non capisco proprio cosa c'è di sbagliato...
Eppure la tua relazione è sicuramente giusta perché ci sono arrivato anche io...
Volendo fare un esempio numerico come lo faresti?
Edit Provato con un angolo di $45$ e raggiunge addirittura $17$ metri di altezza, ci sara qualcosa che non abbiamo considerato.
Edit arrendermi non è da me ma mi sta facendo diventare matto xD non resta che sperare che all'esame non mi capiti un esercizio simile, sennò vado in pallone.
Ho ricontrollato il procedimento, manca semplicemente la condizione
\[y(x_{d})=h\]
infatti avevo semplicemente richiesto in \(x_{c}\) la derivata della funzione fosse nulla, scordandomi però che avevamo un'altezza stabilita. Quindi ora puoi concludere.
\[y(x_{d})=h\]
infatti avevo semplicemente richiesto in \(x_{c}\) la derivata della funzione fosse nulla, scordandomi però che avevamo un'altezza stabilita. Quindi ora puoi concludere.
Grande, eccellente quindi ora basta mettere a sistema del due condizioni e si ottiene angolo e velocità!
Ottimo grazie!
I conti non mi tornavano e stavo iniziano a non capire più nulla xD
Ottimo grazie!
I conti non mi tornavano e stavo iniziano a non capire più nulla xD
Quando si perde il filo... un bel respiro e si torna dall'inizio a considerare il fenomeno fisico.
Edit: ho fatto i calcoli e sono giusti, per chi volesse provarci il risultato è 7,59° l'angolo e 51,89 il modulo della velocità.
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