Cinematica - Moto in due dimensioni
Buonasera! Sto svolgendo alcuni esercizi del libro su cui sto studiando, ma ho difficoltà con due problemi, risolvibili anche avendo pochi dati a disposizione. Potreste correggermi il primo e darmi suggerimenti sullo svolgimento del secondo?
1) La velocità scalare di lancio di un certo proiettile è cinque volte il suo valore al culmine della traiettoria. Calcolare l'angolo di alzo.
2) Si lancia una palla da una rupe alta $h$. Raggiunge il terreno sottostante con velocità tripla rispetto a quella iniziale. Qual era tale velocità?
In entrambi i problemi considererei che, in assenza di attrito dell'aria, la componente orizzontale della velocità iniziale rimane invariata: $v_{0x} = v_{x}$.
1) Il culmine della traiettoria è il punto più alto raggiunto dal proiettile, in cui la velocità verticale si annulla. Dunque $v_{0} = 5v_{0x}$, che sviluppando viene $v_{0x}^2 + v_{0y}^2 = (5v_{0x})^2$, semplificato in $v_{0y}^2 = 24v_{0x}^2$, da cui deriva:
$\theta = \arctan{\frac{v_{0y}}{v_{0x}}} = arctan{\sqrt{24}} \approx 78,5°$.
È corretto? Esiste un modo più immediato per risolverlo?
2) Qui abbiamo un moto verticale uniformemente accelerato, in cui $y - y_{0} = h$ e $a = g$, con l'asse delle ordinate orientato verso il terreno. Posso agire similmente a quanto fatto col primo esercizio o devo mettere a sistema l'equazione del moto uniforme con una di quello uniformemente accelerato?
Grazie
1) La velocità scalare di lancio di un certo proiettile è cinque volte il suo valore al culmine della traiettoria. Calcolare l'angolo di alzo.
2) Si lancia una palla da una rupe alta $h$. Raggiunge il terreno sottostante con velocità tripla rispetto a quella iniziale. Qual era tale velocità?
In entrambi i problemi considererei che, in assenza di attrito dell'aria, la componente orizzontale della velocità iniziale rimane invariata: $v_{0x} = v_{x}$.
1) Il culmine della traiettoria è il punto più alto raggiunto dal proiettile, in cui la velocità verticale si annulla. Dunque $v_{0} = 5v_{0x}$, che sviluppando viene $v_{0x}^2 + v_{0y}^2 = (5v_{0x})^2$, semplificato in $v_{0y}^2 = 24v_{0x}^2$, da cui deriva:
$\theta = \arctan{\frac{v_{0y}}{v_{0x}}} = arctan{\sqrt{24}} \approx 78,5°$.
È corretto? Esiste un modo più immediato per risolverlo?
2) Qui abbiamo un moto verticale uniformemente accelerato, in cui $y - y_{0} = h$ e $a = g$, con l'asse delle ordinate orientato verso il terreno. Posso agire similmente a quanto fatto col primo esercizio o devo mettere a sistema l'equazione del moto uniforme con una di quello uniformemente accelerato?
Grazie
Risposte
per quanto riguarda il 1° esercizio,trovo il tuo ragionamento impeccabile
passando al 2°,tutto sarebbe più veloce se avessi già studiato la legge di conservazione dell'energia meccanica
dovendolo affrontare in maniera esclusivamente cinematica,io calcolerei l'istante in cui l'oggetto arriva al suolo,risolvendo l'equazione $h=v_0t+1/2g t^2$, e lo sostituirei nella formula $v=v_0+ g t$
passando al 2°,tutto sarebbe più veloce se avessi già studiato la legge di conservazione dell'energia meccanica
dovendolo affrontare in maniera esclusivamente cinematica,io calcolerei l'istante in cui l'oggetto arriva al suolo,risolvendo l'equazione $h=v_0t+1/2g t^2$, e lo sostituirei nella formula $v=v_0+ g t$
Grazie, gentilissimo!
Se non ho fatto errori, risolvendo rispetto al tempo: $\frac{g}{2}t^{2} + v_{0}t - h = 0$ da cui $t = \frac{-v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh}}{g}$.
(Escludendo la soluzione con tempo negativo)
Sostituendo in $v = v_{0} + g t$, risulta: $v = \sqrt{v_{0}^2 + 2gh}$.
Devo interpretare dal testo che la velocità iniziale è nulla o può essere calcolata? Inoltre, è possibile utilizzare l'equazione $h = \frac{1}{2}(v + v_{0})t$ che contiene tutte le incognite tranne l'accelerazione di gravità?
Fra breve dovrò studiare la dinamica e il principio di conservazione dell'energia. Per riprendere l'esercizio da quest'ultimo punto di vista, potresti indicarmi che equazioni entrerebbero in gioco?
Se non ho fatto errori, risolvendo rispetto al tempo: $\frac{g}{2}t^{2} + v_{0}t - h = 0$ da cui $t = \frac{-v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 2gh}}{g}$.
(Escludendo la soluzione con tempo negativo)
Sostituendo in $v = v_{0} + g t$, risulta: $v = \sqrt{v_{0}^2 + 2gh}$.
Devo interpretare dal testo che la velocità iniziale è nulla o può essere calcolata? Inoltre, è possibile utilizzare l'equazione $h = \frac{1}{2}(v + v_{0})t$ che contiene tutte le incognite tranne l'accelerazione di gravità?
Fra breve dovrò studiare la dinamica e il principio di conservazione dell'energia. Per riprendere l'esercizio da quest'ultimo punto di vista, potresti indicarmi che equazioni entrerebbero in gioco?
"Angel-MK03":
Devo interpretare dal testo che la velocità iniziale è nulla?
no,perchè il triplo di zero è zero
devi risolvere l'equazione $sqrt(v_0^2+2gh)=3v_0$
per quanto riguarda la seconda domanda,quell'unica equazione non basta perchè ha 2 incognite
"Angel-MK03":
Fra breve dovrò studiare la dinamica e il principio di conservazione dell'energia. Per riprendere l'esercizio da quest'ultimo punto di vista, potresti indicarmi che equazioni entrerebbero in gioco?
in questo caso basta una sola equazione
$mgh+1/2mv_0^2=1/2mv^2$
"porzio":
[quote="Angel-MK03"]Devo interpretare dal testo che la velocità iniziale è nulla?
no,perchè il triplo di zero è zero
[/quote]Hai ragione, ho eliminato direttamente il problema alla fonte!
Quindi $sqrt(v_0^2+2gh)= 3v_0$, cioè $v_{0} =\sqrt{ \frac{gh}{4}}$.
Grazie ancora!
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