Cinematica: Leggi del moto poco chiare.
Sto affrontando un corso di fondamenti di fisica ed approdando alla cinematica non mi sono chiari alcuni passaggi con cui il professore ci ha mostrato le varie formule del moto.
Ad esempio nel moto uniforme viene scritta la legge oraria del moto partendo dalla formula della velocità in questo modo:
$v= dx/dt => dx = v * dt => x = v*t+x0$
Ora non capiscolo l'ultima implicazione, sembra che sia stato diviso tutto per 'd' ? ma quella d non è semplicemente il simbolo di infinitesimo? si può cancellare solo il simbolo di infinitesimo facendo una divisione oppure ho mal interpretato io? e nel caso quale sarebbe la giusta interpretazione?
Avrei un dubbio analogo anche sul moto rettilineo uniformemente accellerato, anche qui si parte dalla velocità per dedurre la legge oraria.
In questo caso prima ci calcoliamo la velocità dall'accelllerazione ed abbiamo che :
$v= a*t+v0$
Poi dalla formula della velocità arriviamo alla legge oraria in questo modo:
$v= dx/dt => dx = v * dt =>$ sostituendo $v$ con la formula di sopra abbiamo $dx = (a*t+v0) * dt => dx = a*t*dt+v0*dt => x= 1/2 * a * t^2 +v0*t+x0$
Anche qui mi sfugge l'ultimo passaggio ovvero come fa a mettere in evidenza x in quel modo? da dove esce quel $1/2$
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità,
Neptune.
Ad esempio nel moto uniforme viene scritta la legge oraria del moto partendo dalla formula della velocità in questo modo:
$v= dx/dt => dx = v * dt => x = v*t+x0$
Ora non capiscolo l'ultima implicazione, sembra che sia stato diviso tutto per 'd' ? ma quella d non è semplicemente il simbolo di infinitesimo? si può cancellare solo il simbolo di infinitesimo facendo una divisione oppure ho mal interpretato io? e nel caso quale sarebbe la giusta interpretazione?
Avrei un dubbio analogo anche sul moto rettilineo uniformemente accellerato, anche qui si parte dalla velocità per dedurre la legge oraria.
In questo caso prima ci calcoliamo la velocità dall'accelllerazione ed abbiamo che :
$v= a*t+v0$
Poi dalla formula della velocità arriviamo alla legge oraria in questo modo:
$v= dx/dt => dx = v * dt =>$ sostituendo $v$ con la formula di sopra abbiamo $dx = (a*t+v0) * dt => dx = a*t*dt+v0*dt => x= 1/2 * a * t^2 +v0*t+x0$
Anche qui mi sfugge l'ultimo passaggio ovvero come fa a mettere in evidenza x in quel modo? da dove esce quel $1/2$
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità,
Neptune.
Risposte
"Neptune":
$v= dx/dt => dx = v * dt => x = v*t+x0$
Io sono un ingegnere e non mi scandalizzo, ma questi passaggi scritti così sono pessimi.
Conosci dervate e integrali?
La maniera corretta in termini matematici sarebbe questa:
$v= dx/dt => \int _0^t v d tau = x(t)-x(0) => x(t) = v*t+x(0)$
dove l'ultima implicazione è vera se $v$ è costante.
In maniera simile per l'accelerazione.
Altrimenti si può scrivere qualcosa di più euristico, ma sottolineando bene il significato dei vari simboli.
Hai mai sentito parlare di integrali?
Quando applichi $ d/dt $ a qualcosa intendi la variazione di quel qualcosa, in questo caso, nel tempo.
Ecco l'integrale è l'operatore inverso della derivata.
Bisognerebbe che lo studiassi, altrimenti ti tocca dare per buono i passaggi del tuo prof
Edit: risposta anticipata
Quando applichi $ d/dt $ a qualcosa intendi la variazione di quel qualcosa, in questo caso, nel tempo.
Ecco l'integrale è l'operatore inverso della derivata.
Bisognerebbe che lo studiassi, altrimenti ti tocca dare per buono i passaggi del tuo prof
Edit: risposta anticipata
Nel corso di analisi un pò di basi su cos'è una derivate ed un integrale le ho, solo che questo corso è tenuto in concomitanza con un'altro corso di laurea (1 professore sia per noi di informatica che per un'altro corso di scienze) e pare che questi non abbiano fatto analisi e quindi il professore utilizzi queste formule semplificate. Il punto è che così non riesco a capirne i passaggi e mi tocca impararle e a memoria, che non è il massimo.
Che $d/(dt)$ sia una derivata lo sapevo, mi sfuggiva però capire qunado li scompone come fa ad eluderli, certamente utilizza un integrale, ma non riesco ancora a capire bene i passaggi.
Ad esempio potreste commentarmi bene questi passaggi?
Cioè l'integrale sarebbe la derivata di x rispetto a t? cioè perchè passare a quell'integrale? non riesco a capire il perchè delle implicazioni, sarà che comunque sono un pò arrugginito con gli integrali e se potete aggiungere qualche commento in più sulle implicazioni mi fareste un grande favore.
Anche a volerlo descrivere in una maniera semplificata, ovvero a lasciare i termini descritti dal professore, andrebbe benissimo. Però come anche voi avete detto vorrei capire il perchè dei passaggi e non solo per commentarli appropriatamente ma per non doverli ricordare tutti a memoria.
Che $d/(dt)$ sia una derivata lo sapevo, mi sfuggiva però capire qunado li scompone come fa ad eluderli, certamente utilizza un integrale, ma non riesco ancora a capire bene i passaggi.
Ad esempio potreste commentarmi bene questi passaggi?
"Faussone":
La maniera corretta in termini matematici sarebbe questa:
$v= dx/dt => \int _0^t v d tau = x(t)-x(0) => x(t) = v*t+x(0)$
dove l'ultima implicazione è vera se $v$ è costante.
Cioè l'integrale sarebbe la derivata di x rispetto a t? cioè perchè passare a quell'integrale? non riesco a capire il perchè delle implicazioni, sarà che comunque sono un pò arrugginito con gli integrali e se potete aggiungere qualche commento in più sulle implicazioni mi fareste un grande favore.
Anche a volerlo descrivere in una maniera semplificata, ovvero a lasciare i termini descritti dal professore, andrebbe benissimo. Però come anche voi avete detto vorrei capire il perchè dei passaggi e non solo per commentarli appropriatamente ma per non doverli ricordare tutti a memoria.
Bene allora..
$ v= dx/dt $ $rarr$ $ vdt=dx $ $rarr$ applichi l'integrale ad entrambi i membri $ int_{t_0}^{t} vdt = int_{x(t_0)}^{x(t)} dx $ $rarr$ se $ v=cost $ puoi tirarla fuori dall'integrale e a questo punto abbiamo $ vint_{t_0}^{t} dt = int_{x(t_0)}^{x(t)} dx $ $rarr$ ora considerando $ t_0 = 0 $ come momento iniziale, svolgi l'integrale e ottieni:
$ vt=x(t)-x(0) $ quindi : $ x(t)= x(0) + vt $
Più chiaro di così non so proprio.
(I passaggi dovrebbero essere formalmente tutti giusti)
$ v= dx/dt $ $rarr$ $ vdt=dx $ $rarr$ applichi l'integrale ad entrambi i membri $ int_{t_0}^{t} vdt = int_{x(t_0)}^{x(t)} dx $ $rarr$ se $ v=cost $ puoi tirarla fuori dall'integrale e a questo punto abbiamo $ vint_{t_0}^{t} dt = int_{x(t_0)}^{x(t)} dx $ $rarr$ ora considerando $ t_0 = 0 $ come momento iniziale, svolgi l'integrale e ottieni:
$ vt=x(t)-x(0) $ quindi : $ x(t)= x(0) + vt $
Più chiaro di così non so proprio.
(I passaggi dovrebbero essere formalmente tutti giusti)
"ing@mate":
Bene allora..
$ v= dx/dt $ $rarr$ $ vdt=dx $ $rarr$ applichi l'integrale ad entrambi i membri $ int_{t_0}^{t} vdt = int_{x(t_0)}^{x(t)} dx $ $rarr$ se $ v=cost $ puoi tirarla fuori dall'integrale e a questo punto abbiamo $ vint_{t_0}^{t} dt = int_{x(t_0)}^{x(t)} dx $ $rarr$ ora considerando $ t_0 = 0 $ come momento iniziale, svolgi l'integrale e ottieni:
$ vt=x(t)-x(0) $ quindi : $ x(t)= x(0) + vt $
Più chiaro di così non so proprio.
(I passaggi dovrebbero essere formalmente tutti giusti)
Non mi ritrovo con questa ugualianza, cioè come mai quell'inegrale è proprio uguale a t?
$int_{t_0}^{t} dt = t$
Il calcolo dell'altro integrale invece mi ricorda qualcosa, ovvero non mi ricordo per quale regola un integrale poteva essere riscritto come quella differenza.
Ad ogni modo già così mi è più chiara la cosa.
E poi nella secnda formula, che calcolo fa per far uscire $1/2$ nella formula?!
Forse mi sfugge anche un pò il calcolo vero e proprio dell'integrale. Mi puoi citare che proprieta hai usato per quel calcolo? così me lo ricerco tra appunti/internet?
Forse mi sfugge anche un pò il calcolo vero e proprio dell'integrale. Mi puoi citare che proprieta hai usato per quel calcolo? così me lo ricerco tra appunti/internet?
"Neptune":
Non mi ritrovo con questa uguaglianza, cioè come mai quell'integrale è proprio uguale a t?
$int_{t_0}^{t} dt = t$
Il calcolo dell'altro integrale invece mi ricorda qualcosa, ovvero non mi ricordo per quale regola un integrale poteva essere riscritto come quella differenza.
Ad ogni modo già così mi è più chiara la cosa.
Ho paura che allora ti mancano le basi di analisi per maneggiare questo tipo di strumenti.
Forse sarebbe meglio passare a una trattazione meno rigorosa, più euristica ma che non usi strumenti di analisi in modo barbaro...
Introduciamo il simbolo $Delta x$ che significa $x_f-x_i$ dove i pedici f ed i stanno per finale e iniziale.
La velocità media, note posizioni e tempi in cui un punto materiale occupa quelle posizioni, è data da
$v=(x_f-x_i)/(t_f-t_i)=(Delta x) / (Delta t)$
tale velocità diventa velocità istantanea quando gli istanti finale e iniziali vanno a coincidere (al limite).
Dalla equazione di sopra si ricava subito
$x_f=x_i+v(t_f-t_i)$
quindi quando la velocità è costante la posizione finale è legata alla iniziale da quella relazione.
$ int_{t_0}^{t} 1dt= [t-t_0] $ e dato che , come ti avevo precisato, consideriamo il tempo iniziale $ t_0=0 $ allora viene fuori la fatidica uguaglianza.
Mentre per l'altro devi considerare il fatto che $ int_{t_0}^{t} t dt= [1/2t^2-1/2t_0^2] $ ...
Comunque se posso darti un consiglio, non puoi fare ciò senza ricordarti come calcolare le primitive.
Te lo dico perchè comunque queste sono cose davvero semplici. Ti conviene fare un bel ripassino anche perchè la fisica, con tutto il rispetto per i fisici, non è niente senza analisi..
Mentre per l'altro devi considerare il fatto che $ int_{t_0}^{t} t dt= [1/2t^2-1/2t_0^2] $ ...
Comunque se posso darti un consiglio, non puoi fare ciò senza ricordarti come calcolare le primitive.
Te lo dico perchè comunque queste sono cose davvero semplici. Ti conviene fare un bel ripassino anche perchè la fisica, con tutto il rispetto per i fisici, non è niente senza analisi..
Per l'accelerazione supponi di avere un punto che parte da velocità nulla che si muove con accelerazione costante, la sua velocità sarà allora:
$v(t)=a*t$
Per legare questa alla posizione non posso usare la relazione di prima che lega velocità a spostamento perché il punto non ha velocità costante (all'inizio la velocità è $0$ e alla fine $a*t$) posso ragionevolmente supporre allora di usare la stessa formula ma sostituendo la $v$ con la media della $v$ all'inizio e alla fine cioè $1/2 a*t$
Ottengo quindi
$x=1/2a*t*t$
Ho per semplicità posto il tempo iniziale e la velocità iniziale a zero in questo ragionamento.
questo è l'approccio per spiegare le cose con strumenti matematici semplici, concordo comunque che la matematica differenziale è necessaria per studiare veramente fisica.
$v(t)=a*t$
Per legare questa alla posizione non posso usare la relazione di prima che lega velocità a spostamento perché il punto non ha velocità costante (all'inizio la velocità è $0$ e alla fine $a*t$) posso ragionevolmente supporre allora di usare la stessa formula ma sostituendo la $v$ con la media della $v$ all'inizio e alla fine cioè $1/2 a*t$
Ottengo quindi
$x=1/2a*t*t$
Ho per semplicità posto il tempo iniziale e la velocità iniziale a zero in questo ragionamento.
questo è l'approccio per spiegare le cose con strumenti matematici semplici, concordo comunque che la matematica differenziale è necessaria per studiare veramente fisica.
Vi ringrazio, meglio muoversi sulle forumule "facilitate" del professore, non fosse altro per il fatto che la parte sugli integrali a volerla spolverare bene mi ci vorrebbe davvero molto tempo e magari non riuscirei comunque a capirli al meglio.
L'importante è riuscire a capire al meglio in cosa consistono le formule per ricordarsele. Ad ora l'unica cosa che mi sfugge è ancora la formula del moto rettilineo uniformemente accellerato. Non ho capito perchè la media della velocità è $1/2*a*t$ e da li come ci si fa a ricondurre alla formula completa data dal professore.
L'importante è riuscire a capire al meglio in cosa consistono le formule per ricordarsele. Ad ora l'unica cosa che mi sfugge è ancora la formula del moto rettilineo uniformemente accellerato. Non ho capito perchè la media della velocità è $1/2*a*t$ e da li come ci si fa a ricondurre alla formula completa data dal professore.
"Neptune":
Vi ringrazio, meglio muoversi sulle forumule "facilitate" del professore, non fosse altro per il fatto che la parte sugli integrali a volerla spolverare bene mi ci vorrebbe davvero molto tempo e magari non riuscirei comunque a capirli al meglio.
L'importante è riuscire a capire al meglio in cosa consistono le formule per ricordarsele. Ad ora l'unica cosa che mi sfugge è ancora la formula del moto rettilineo uniformemente accellerato. Non ho capito perchè la media della velocità è $1/2*a*t$ e da li come ci si fa a ricondurre alla formula completa data dal professore.
Te l'ho spiegato nel messaggio precedente: la media tra $0$ e $a*t$ è $1/2 a*t$, se hai capito quello puoi estendere il ragionamento al caso in cui la velocità di partenza sia diversa da zero e eventualmente lo spazio di partenza sia diverso da zero. Se non hai capito dovresti chiarire cosa non è chiaro.
Per l'approccio rigoroso devi conoscere un po' meglio integrali e derivate, a questo livello (concetti di velocità e accelerazione) peraltro basterebbe anche una conoscenza da scuola superiore.
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