Cinematica corpi rigidi, problema ostico
Ciao. Ho un problema che all'apparenza sembra semplice eppure non riesco a concludere.
Ho un disco $D_1$, di raggio $R$ nel piano orizzontale xy, con il centro nell'origine. Ho un altro disco identico $D_2$, sempre orizzontale in un piano parallelo a xy, ad altezza $2r$. Ho un terzo disco $D$, di raggio $r$, posto in verticale, vincolato a rotolare senza strisciare sul bordo dei due dischi orizzontali. Devo usare come variabili lagrangiane l'angolo $alpha$ tra l'asse x e un certo raggio di $D_1$ e l'angolo $beta$ tra l'asse x e il vettore OP, dove P è il punto di contatto tra $D_1$ e $D$.
figura: http://imageshack.us/photo/my-images/842/bitmaplq.png/
Voglio descrivere la cinematica di questo sistema, in particolare voglio le velocità angolari dei 3 dischi.
Per $D_1$ mi aspetto la velocità angolare (0,0,$\dot\alpha)$.
Quando arrivo a $D$ c'è qualcosa che non torna:
Sono sicuro di star facendo confusione, se qualcuno vuole aiutarmi a sbrogliare la matassa.. grazie.
A.
Ho un disco $D_1$, di raggio $R$ nel piano orizzontale xy, con il centro nell'origine. Ho un altro disco identico $D_2$, sempre orizzontale in un piano parallelo a xy, ad altezza $2r$. Ho un terzo disco $D$, di raggio $r$, posto in verticale, vincolato a rotolare senza strisciare sul bordo dei due dischi orizzontali. Devo usare come variabili lagrangiane l'angolo $alpha$ tra l'asse x e un certo raggio di $D_1$ e l'angolo $beta$ tra l'asse x e il vettore OP, dove P è il punto di contatto tra $D_1$ e $D$.
figura: http://imageshack.us/photo/my-images/842/bitmaplq.png/
Voglio descrivere la cinematica di questo sistema, in particolare voglio le velocità angolari dei 3 dischi.
Per $D_1$ mi aspetto la velocità angolare (0,0,$\dot\alpha)$.
Quando arrivo a $D$ c'è qualcosa che non torna:
Sono sicuro di star facendo confusione, se qualcuno vuole aiutarmi a sbrogliare la matassa.. grazie.
A.
Risposte
Intanto bisogna correggere questa:
$OC=(R\cos\beta,R\sen\beta,r)$
Il punto P non ti è molto utile, a mio parere, per capire il movimento dei corpi perchè non è solidale a nessuno dei dischi.
Il punto P è solo la proiezione su D1 di C.
O meglio, dovresti immaginare due punti PD e PD1, che a un certo istante coincidono con P ma poi si separano.
$OC=(R\cos\beta,R\sen\beta,r)$
Il punto P non ti è molto utile, a mio parere, per capire il movimento dei corpi perchè non è solidale a nessuno dei dischi.
Il punto P è solo la proiezione su D1 di C.
O meglio, dovresti immaginare due punti PD e PD1, che a un certo istante coincidono con P ma poi si separano.
Corretto, era un errore di trascrizione. Quello che dici è esattamente quello che sto cercando di fare ma non capisco come. In altre parole io voglio imporre che il campo delle velocità di D e di D1 coincidano nel(-la posizione del) punto di contatto perché se ho capito bene è questa la condizione di puro rotolamento. Sono benvoluti suggerimenti anche minimi.
A.
A.
Secondo me dovresti prima trovare in modo intuitivo una relazione tra le vel angolari dei due dischi paralleli e il disco verticale.
$ \omega_D = f(\omega_{D1},\ \omega_{D2},\ r,\ R) $
e poi tra il centro di D (velocità) e i due dischi paralleli
$ V_C = g(\omega_{D1},\ \omega_{D2},\ R) $
$ \omega_D = f(\omega_{D1},\ \omega_{D2},\ r,\ R) $
e poi tra il centro di D (velocità) e i due dischi paralleli
$ V_C = g(\omega_{D1},\ \omega_{D2},\ R) $
ma il disco sopra non ruota vero?
io farei cosi:
la velocità angolare di D1 è $omega_(D1) = (0,0,dot(alpha))$
per la velocità angolare del disco relativa,
il centro del disco rispetto il riferimento assoluto è $C=(r cos beta, rsin beta , r)$, rispetto ad un riferimento (O,x',y',z') solidale con D1 con z'=z e x' che forma una angolo $alpha$ con x, è $C' = (r cos(alpha-beta) , r sin(alpha -beta), r)$
quindi la velocità relativa di C è $dot(C)' = ( -r (dot(alpha) - dot(beta) ) sin (alpha-beta), r (dot(alpha) - dot(beta) ) cos(alpha-beta),0)$
considerando un riferimento al dischetto D, (C,x'',y'',z'') con z''// z , y'' diretto ortogonalmente al disco verso fuori e x'' in modo che sia una terna destra (verso sinistra) allora la posizione relativa al riferimento D1 di un punto di D, Q è $(Q-O)' = (P-O)' + (Q-P)''$ la velocità $V_Q' = omega_(D)xx(Q-P)''$
in particolare $V_C' = omega_d xx (C-P)'' = ( -r (dot(alpha) - dot(beta) ) sin (alpha-beta), r (dot(alpha) - dot(beta) ) cos(alpha-beta),0)$
con (C-P)''=(0,0,r)
da cui si ricava , essendo $omega_D=(0,omega_D,0)''$ $omega_D=- (dot(alpha) - dot(beta) ) sin (alpha-beta)$
poi analogamente trovi la velocità angolare di trascinamento e poi $omega_a = omega_tau + omega_r$
la velocità angolare di D1 è $omega_(D1) = (0,0,dot(alpha))$
per la velocità angolare del disco relativa,
il centro del disco rispetto il riferimento assoluto è $C=(r cos beta, rsin beta , r)$, rispetto ad un riferimento (O,x',y',z') solidale con D1 con z'=z e x' che forma una angolo $alpha$ con x, è $C' = (r cos(alpha-beta) , r sin(alpha -beta), r)$
quindi la velocità relativa di C è $dot(C)' = ( -r (dot(alpha) - dot(beta) ) sin (alpha-beta), r (dot(alpha) - dot(beta) ) cos(alpha-beta),0)$
considerando un riferimento al dischetto D, (C,x'',y'',z'') con z''// z , y'' diretto ortogonalmente al disco verso fuori e x'' in modo che sia una terna destra (verso sinistra) allora la posizione relativa al riferimento D1 di un punto di D, Q è $(Q-O)' = (P-O)' + (Q-P)''$ la velocità $V_Q' = omega_(D)xx(Q-P)''$
in particolare $V_C' = omega_d xx (C-P)'' = ( -r (dot(alpha) - dot(beta) ) sin (alpha-beta), r (dot(alpha) - dot(beta) ) cos(alpha-beta),0)$
con (C-P)''=(0,0,r)
da cui si ricava , essendo $omega_D=(0,omega_D,0)''$ $omega_D=- (dot(alpha) - dot(beta) ) sin (alpha-beta)$
poi analogamente trovi la velocità angolare di trascinamento e poi $omega_a = omega_tau + omega_r$
Grazie a tutti per le risposte. Ho visto il suggerimento di cyd e mi sembra che possa funzionare. Tuttavia non mi ritrovo sui conti, ad esempio: se mi metto nel sistema solidale con D1 non dovrei avere $\dot\alpha=0$? Infatti $alpha$ definisce la direzione dell'asse $x'$ che nel riferimento in questione è fermo. Mi sbaglio?
Poi quando dici $(Q-O)'=(P-O)'+(Q-P)''$ io penso ci andrebbe C al posto di P, perchè C è l'origine del riferimento con i doppi apici. Questo riferimento dovrebbe essere solidale al disco D quindi l'asse z'' dovrebbe ruotare e non essere sempre parallelo all'asse z. Anche qui non vorrei star sbagliando. Sto provando a rifare i conti per vedere cosa viene fuori con questo metodo dei sistemi di riferimento.
Grazie ancora per l'aiuto.
Poi quando dici $(Q-O)'=(P-O)'+(Q-P)''$ io penso ci andrebbe C al posto di P, perchè C è l'origine del riferimento con i doppi apici. Questo riferimento dovrebbe essere solidale al disco D quindi l'asse z'' dovrebbe ruotare e non essere sempre parallelo all'asse z. Anche qui non vorrei star sbagliando. Sto provando a rifare i conti per vedere cosa viene fuori con questo metodo dei sistemi di riferimento.
Grazie ancora per l'aiuto.
Rifacendo i conti e pensando a quello che ho scritto nel post precedente non sono più convinto di una cosa: io sono stato portato a pensare che nel riferimento solidale a D1 dovesse essere $\dot\alpha=0$, tuttavia $alpha$ è una coordinata libera quindi mi viene in mente che non abbia senso dire che $\dot\alpha=0$. Cioè se chiamo Q un punto dell'asse x', asse rotante, quel punto è in rotazione nel riferimento fisso ma è fermo nel riferimento rotante. E' vero che la posizione di Q nel riferimento fisso è determinata da $alpha$ e quindi la sua velocità da $\dot\alpha$, ma questo non significa che $\dot\alpha$ possa cambiare da un riferimento all'altro. Mi sto convincendo di questo, se qualcuno sa spiegarmelo meglio fa un favore al mio cervello. Grazie. 
Non ho capito se il disco superiore può ruotare.
Sì il disco superiore può ruotare.
Il disco $D$, quello compreso tra i due dischi orizzontali per intenderci, dovrebbe avere la seguente velocità angolare:
$\omega_x=R/r(dot\alpha-dot\beta)cos\beta$
$\omega_y=R/r(dot\alpha-dot\beta)sen\beta$
$omega_z=0$
$\omega_x=R/r(dot\alpha-dot\beta)cos\beta$
$\omega_y=R/r(dot\alpha-dot\beta)sen\beta$
$omega_z=0$
"speculor":
Il disco $D$, quello compreso tra i due dischi orizzontali per intenderci, dovrebbe avere la seguente velocità angolare:
$\omega_x=R/r(dot\alpha-dot\beta)cos\beta$
$\omega_y=R/r(dot\alpha-dot\beta)sen\beta$
$omega_z=0$
Ecco su questo non mi ritrovo perchè il moto di D è la composizione di una rotazione intorno ad un asse parallelo a z e passante per il centro di D e di una rotazione in un piano verticale, ortogonale al raggio vettore che identifica il punto di contatto P. Cioè significa che io mi aspetto una componente $\omega_z$ non nulla perché D sta ruotando anche intorno all'asse z. Cosa ne pensi?
In effetti hai ragione, bravo.
C'è anche una componente in z.
Non è difficile da calcolare. Trovi quanto ci mette il centro di D a fare un giro, ed è fatta.
C'è anche una componente in z.
Non è difficile da calcolare. Trovi quanto ci mette il centro di D a fare un giro, ed è fatta.
Penso che me ne sono completamente dimenticato. 
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