[Cinematica] Consigli su svolgimento esercizio
Un punto si muove con moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio R = 0.4m. Nell'istante iniziale, quando si ha [tex]\Theta = 0[/tex] e [tex]\omega = 5 rad/s[/tex], il punto inizia a frenare e si ferma dopo aver compiuto un giro completo. Calcolare bla bla bla... tra le altre cose il tempo totale impiegato per compiere il giro.
Ora... Io l'ho risolto facendo un bel sistemino:
[tex]\left \{ \begin{matrix}
\omega = \omega_{0} - \alpha t \\
\Theta = \Theta_{0} + \omega_{0} t - \frac{1}{2}\alpha t^2
\end{matrix} \right.
\to
\left \{ \begin{matrix}
t = \frac {\omega_{0}}{\alpha} \\
\Theta = \Theta_{0} + \omega_{0} \frac {\omega_{0}}{\alpha} - \frac{1}{2}\alpha (\frac {\omega_{0}}{\alpha})^2
\end{matrix} \right.[/tex]
Ovvero usando le leggi orarie del moto uniformemente accelerato. ( Ovviamente theta = radianti, omega = velocità angolare, alfa = accelerazione angolare ).
Il mio testo utilizza però questa formula:
[tex]\omega^2 = \omega_{0}^2 + 2\alpha \Theta[/tex] la quale sembra uscire proprio dalla formula [tex]\int_{\Theta_{0}}^{\Theta} \alpha( \Theta ) d\Theta = \frac {1}{2} \omega^2 - \frac {1}{2} \omega_{0}^2[/tex].
Ora, io la prima volta che ho visto la suddetta formula con l'integrale ( al di là della spiegazione del metodo di integrazione fornito dal testo ) non ho capito la sua utilità, invece a quanto pare, visto che in questo caso alfa è costante, potrebbe effettivamente tornare utile...
Ora... In quali altri casi conviene usare questa formula? Faccio prima a fare il sistema oppure non mi conviene?
PS: esistono altre formule simili che potrebbero tornare utili in altre situazioni?
Ora... Io l'ho risolto facendo un bel sistemino:
[tex]\left \{ \begin{matrix}
\omega = \omega_{0} - \alpha t \\
\Theta = \Theta_{0} + \omega_{0} t - \frac{1}{2}\alpha t^2
\end{matrix} \right.
\to
\left \{ \begin{matrix}
t = \frac {\omega_{0}}{\alpha} \\
\Theta = \Theta_{0} + \omega_{0} \frac {\omega_{0}}{\alpha} - \frac{1}{2}\alpha (\frac {\omega_{0}}{\alpha})^2
\end{matrix} \right.[/tex]
Ovvero usando le leggi orarie del moto uniformemente accelerato. ( Ovviamente theta = radianti, omega = velocità angolare, alfa = accelerazione angolare ).
Il mio testo utilizza però questa formula:
[tex]\omega^2 = \omega_{0}^2 + 2\alpha \Theta[/tex] la quale sembra uscire proprio dalla formula [tex]\int_{\Theta_{0}}^{\Theta} \alpha( \Theta ) d\Theta = \frac {1}{2} \omega^2 - \frac {1}{2} \omega_{0}^2[/tex].
Ora, io la prima volta che ho visto la suddetta formula con l'integrale ( al di là della spiegazione del metodo di integrazione fornito dal testo ) non ho capito la sua utilità, invece a quanto pare, visto che in questo caso alfa è costante, potrebbe effettivamente tornare utile...
Ora... In quali altri casi conviene usare questa formula? Faccio prima a fare il sistema oppure non mi conviene?
PS: esistono altre formule simili che potrebbero tornare utili in altre situazioni?
Risposte
Si ma non è l'unico modo per determinare quella formula. Infatti, dalla prima
[tex]t=\frac{\omega-\omega_0}{\alpha}[/tex]
che sostituita nella seconda
[tex]\Theta=\Theta_0+\omega \frac{\omega-\omega_0}{\alpha} -\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega-\omega_0}{\alpha}\right)^2[/tex]
[tex]\alpha(\Theta-\Theta_0)=\omega^2-\omega\omega_0-\frac{\omega^2}{2}-\frac{\omega_0^2}{2}+\omega\omega_0[/tex]
ovvero
[tex]\omega^2-\omega_0^2=2\alpha(\Theta-\Theta_0)[/tex]
Poi, ovviamente, c'è sempre il legame ben noto tra posizione, velocità e accelerazione di tipo "progressivamente" derivativo.
[tex]t=\frac{\omega-\omega_0}{\alpha}[/tex]
che sostituita nella seconda
[tex]\Theta=\Theta_0+\omega \frac{\omega-\omega_0}{\alpha} -\frac{1}{2}\alpha\left(\frac{\omega-\omega_0}{\alpha}\right)^2[/tex]
[tex]\alpha(\Theta-\Theta_0)=\omega^2-\omega\omega_0-\frac{\omega^2}{2}-\frac{\omega_0^2}{2}+\omega\omega_0[/tex]
ovvero
[tex]\omega^2-\omega_0^2=2\alpha(\Theta-\Theta_0)[/tex]
Poi, ovviamente, c'è sempre il legame ben noto tra posizione, velocità e accelerazione di tipo "progressivamente" derivativo.
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