[Cinematica] Calcolo accelerazione vettoriale nota la legge oraria

[dodiz1]

Buonasera, spero di non sbagliare sezione o che questo problema non sia già stato posto..

Avrei dei problemi con un esercizio, nota la legge oraria di un corpo, ricavarne l'accelerazione tangenziale, quella normale ed il raggio di curvatura in funzione del tempo.

La legge oraria è:

$ { ( x(t) = a*t^2 ),( y(t) = 2b*t):} $

(a e b parametri)

Dalla quale mi ricavo le componenti del vettore velocità rispetto ai versori $ hat(Ux) $ e $ hat(Uy) $

$ vec(v)(t) = ( ( 2a * t ),( 2b ) ) $

Ora so che il modulo dell'accelerazione tangenziale è uguale alla derivata del modulo della velocità, quindi mi calcolo il modulo di $ vec(v(t)) $

$ |vec(v(t)) | = sqrt(2a^2* t^2 + 4b^2) $

e la derivata:

$ (d|vec(v(t)) |) /dt = (8a^2) / (2 * sqrt(4a^2t^2 + 4b^2)) = (2a^2) / (sqrt(a^2t^2 + b^2)) = (2a^2 * sqrt(a^2t^2 + b^2)) / (a^2t^2 + b^2) $

Essendo il versore dell'accelerazione tangenziale uguale a quello della velocità, è quindi sufficiente dividere i componenti x e y del vettore velocità per il modulo

$ vec(Ut) = ( ( (2at) / |vec(v) | ),( (2b) / |vec(v) | ) ) $

A questo punto non saprei continuare, so che il modulo dell'accelerazione normale è $ v^2/ R $ da cui mi ricaverei R, ma il problema è come ricavo l'intero vettore dell'accelerazione normale? sottraendo l'accelerazione tangenziale a quella vettoriale? Il mio problema è che non riesco ad operare bene con i vettori..inoltre i risultati nel testo (dell'accelerazione tangenziale e normale) sono espressi tramite i versori del sistema di riferimento..un grazie a chi mi risponderà :

[Studente Anonimo]

Ti conviene determinare anche il vettore accelerazione:

$[vecr(t)=at^2veci+2btvecj] rarr [vecv(t)=2atveci+2bvecj] rarr [veca(t)=2aveci]$

Quindi, calcolare la componente parallela alla velocità:

$[a_t(t)=2aveci*((at)/sqrt(a^2t^2+b^2)veci+b/sqrt(a^2t^2+b^2)vecj)] rarr [a_t(t)=(2a^2t)/sqrt(a^2t^2+b^2)]$

e quella perpendicolare, facendo attenzione al verso del versore normale:

$[a_n(t)=2aveci*(b/sqrt(a^2t^2+b^2)veci-(at)/sqrt(a^2t^2+b^2)vecj)] rarr [a_n(t)=(2ab)/sqrt(a^2t^2+b^2)]$

[dodiz1]

ecco ciò che mi mancava, definire il versore di an come ortogonale all'altro, grazie