Cinematica bidimensionale
ciao a tutti mi son bloccato in un problema di cinematica alla richiesta di calcolo dell accelerazione normale e tangenziale:
il testo mi dice che un oggetto i muove in un piano $xy$ con un moto di equazioni:
$ x= alphat$ con $alpha=3m/s$
$y= betat^2+gamma$ con $beta=2m/s^2$ e $gamma=5m$
l'esercizio mi chiede:
l'equazione della traiettoria
velocità e accelerazione quando $t=2s$
le componenti normale e tangenziale dell'accelerazione sempre a $t=2$
il primo punto ho fatto:
$x=alphat$ quindi $t=x/alpha$
e sostituito nell'altra che diventa
$y=betax^2/alpha^2 + gamma$
derivando ho calcolato la velocità
su x: $v=dx/dt=alpha$
su y : $v=dx/dt=2betat$
quindi $v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=8.54m/s$
riderivando ottengo l'accelerazione :
su x= 0
su y= $2beta$
quindi $a=sqrt(a_x^2+a_y^2)=2beta=4m/s^2$
ora non so come calcolare le componenti tangenziale e normale
il testo mi dice che un oggetto i muove in un piano $xy$ con un moto di equazioni:
$ x= alphat$ con $alpha=3m/s$
$y= betat^2+gamma$ con $beta=2m/s^2$ e $gamma=5m$
l'esercizio mi chiede:
l'equazione della traiettoria
velocità e accelerazione quando $t=2s$
le componenti normale e tangenziale dell'accelerazione sempre a $t=2$
il primo punto ho fatto:
$x=alphat$ quindi $t=x/alpha$
e sostituito nell'altra che diventa
$y=betax^2/alpha^2 + gamma$
derivando ho calcolato la velocità
su x: $v=dx/dt=alpha$
su y : $v=dx/dt=2betat$
quindi $v=sqrt(v_x^2+v_y^2)=8.54m/s$
riderivando ottengo l'accelerazione :
su x= 0
su y= $2beta$
quindi $a=sqrt(a_x^2+a_y^2)=2beta=4m/s^2$
ora non so come calcolare le componenti tangenziale e normale
Risposte
che scuola fai? te lo chiedo perchè così magari posso calibrare meglio la mia risposta
per ora te lo dico come mi è venuto in mente
in generale, te sai che la tangente a una curva parametrica è data dalla derivata rispetto al parametro delle due componenti (ovviamente se ci pensi, la velocità è sempre tangente alla traiettoria!). derivando quindi le due componenti, trovi un vettore, il vettore tangente, che se normalizzi risulta essere proprio il versore tangente. quindi se fai il prodotto scalare tra l'accelerazione e quel versore trovi la componente dell'accelerazione tangenziale! poi se la vuoi in un certo istante sostituisci il valore del parametro
siccome sei nel piano (nota bene, solo nel piano) la direzione perpendicolare a quella tangente la ottieni scambiando le componenti del versore tangente e mettendo meno alla prima componente (es. se il versore normale è $(\alpha,\beta)$ quello normale è $(-\beta,\alpha)$). fai il prodotto scalare a questo punto tra l'accelerazione e questo versore e trovi l'accelerazione normale
per ora te lo dico come mi è venuto in mente
in generale, te sai che la tangente a una curva parametrica è data dalla derivata rispetto al parametro delle due componenti (ovviamente se ci pensi, la velocità è sempre tangente alla traiettoria!). derivando quindi le due componenti, trovi un vettore, il vettore tangente, che se normalizzi risulta essere proprio il versore tangente. quindi se fai il prodotto scalare tra l'accelerazione e quel versore trovi la componente dell'accelerazione tangenziale! poi se la vuoi in un certo istante sostituisci il valore del parametro
siccome sei nel piano (nota bene, solo nel piano) la direzione perpendicolare a quella tangente la ottieni scambiando le componenti del versore tangente e mettendo meno alla prima componente (es. se il versore normale è $(\alpha,\beta)$ quello normale è $(-\beta,\alpha)$). fai il prodotto scalare a questo punto tra l'accelerazione e questo versore e trovi l'accelerazione normale
aspetta. ci ripensavo. la curva è una parabola....guarda bene a che punto corrisponde della parabola t=2s....cosa puoi dire ora?
la direzione normale è quindi...?? e quella tangenziale è....??
la direzione normale è quindi...?? e quella tangenziale è....??
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