Cinematica
calcolare la velocità di m2, appena prima che m1 tocchi terra, la velocità angolare della puleggia e le tensioni delle funi.La carrucola ha massa m e raggio R
io ho fatto così
$m_1*g*h_i=0.5*I*(v/r)^2+0.5*m_2*v^2$
$omega=v/R$
$I=0.5*m*R^2$
$T_2-m_2*g=m_2*a$
$-T_1+m_1*g=m_1*a$
$-R*T_1+R*T_2=a/r*I$
io ho fatto così
$m_1*g*h_i=0.5*I*(v/r)^2+0.5*m_2*v^2$
$omega=v/R$
$I=0.5*m*R^2$
$T_2-m_2*g=m_2*a$
$-T_1+m_1*g=m_1*a$
$-R*T_1+R*T_2=a/r*I$
Risposte
Assumo un rif. cartesiano Oxyz , con versore i diretto in basso , versore j a sinistra , versore k verso il retro del foglio . La masse sono : $ m_1 > m_2 $ , e si muovono la prima verso il basso , la seconda verso l’alto , con moto accelerato: le accelerazioni hanno modulo uguale , poiché l’accelerazione è trasmessa dal cavo, e verso opposto . Tale modulo $a $ deve essere : $ a
$ m_1*a*\vec( i ) = ( m_1*g-T_1) * \vec(i) $ , da cui la rel scalare : $ m_1*a = m_1*g-T_1 $ $(1)$
Analogamente per $m_2$ , tenendo presente che ora l’accelerazione è diretta verso l’alto , e le forze sono : la tensione di modulo T_2 diretta verso l’alto e il peso $ m_2*g $ . Si ha :
$ -m_2*a*\vec( i ) = ( m_2*g-T_2) * \vec(i) $ , da cui la rel scalare : $ -m_2*a = m_2*g-T_2 $ , che con i segni cambiati diventa : $ m_2*a = T_2-m_2*g $ $ (2)$
L a somma della (1) e della (2) dà : $ (m_1+m_2)*a + T_1-T_2 = (m_1-m_2)*g $ $(3)$
Nella $(3)$ dobbiamo valutare ancora $ T_1-T_2 $ .
A tale scopo consideriamo la puleggia , che ha momento di inerzia assiale $I$ calcolabile dalla sua massa e dal raggio $r$ . Le tensioni sui due tratti di cavo a destra e a sinistra della puleggia sono ora , in valore , uguali a $T_1 e T_2 $ , ma dirette entrambe verso il basso perché sono trasmesse dalle masse al cavo .
Deve essere : $ T_1 > T_2 $ , come già detto . Le forze $ T_1 *\vec(i) $ e $ T_2 *\vec(i) $ hanno un momento risultante, rispetto al centro della puleggia : $ (T_1-T_2)*r *\vec(k) $ , diretto verso il retro del foglio .
Questo momento causa la variazione del momento angolare della puleggia $ \vec(L) = I*omega*\vec(k) $ , secondo la nota relazione : $\vec(M) = d(\vec(L))/(dt) $ , quindi si ha in definitiva la relazione scalare :
$ (T_1-T_2)*r = I*alpha $ ,dove $alpha $ è la accelerazione angolare $ (d omega ) / (dt) $
Da che cosa è data l’accelerazione angolare ? Evidentemente , l ‘accelerazione $ a$ del cavo si trasmette alla puleggia e diventa la accelerazione tangenziale di questa , cioè $ a = alpha *r $ , da cui si ricava che : $ alpha = a/r $ . Sostituendo nella precedente espressione : $ (T_1-T_2)*r = I*alpha $ , e dividendo per $r$ , si trova che : $ T_1-T_2 = a* I / r^2 $ .
Sostituendo questa nella $ (3)$ , si ha : $ (m_1 +m_2 + I / r^2 )*a = (m_1-m_2)*g $ (4)
E infine dalla (4) si ricava : $ a = ((m_1-m_2)/ (m_1 +m_2 + I / r^2 ))*g $ (5)
Le equazioni (5) , (1) e (2) permettono di ricavare l’accelerazione lineare $a$ e le due tensioni .
Nota l’accelerazione , essendo il moto uniformemente accelerato è facile esprimere la velocità e lo spazio in funzione di $a$ e del tempo . Si ricava il tempo da una e si sostituisce nell’altra , e così si determina la velocità , poiché lo spazio è noto .
L’accelerazione angolare si calcola con : $ alpha = a/r $ .
Nota : la (4) s i poteva dedurre , almeno qualitativamente , come segue .
Consideriamo il sistema nel suo complesso : le forze esterne agenti sono i pesi della due masse , di cui quello di m_1 supera quello di m_2 . In totale , abbiamo una forza motrice pari alla differenza tra le due , cioè : $ (m_1 - m_2)*g $ .
Tale forza deve accelerare le due masse e la puleggia . La “ massa inerziale” da accelerare è quindi somma di tre termini : la massa m_1 , la massa m_2 , e una massa che rappresenta l’inerzia della puleggia , chiamiamola m_ip . Queste tre masse , sommate insieme , per la II legge della Dinamica avranno una accelerazione $a$ tale che : $ (m_1 +m_2 + m_(ip) )*a = (m_1 - m_2)*g $ , che è proprio la ( 4) , salvo determinare la m_ip col metodo prima detto . Attenzione , m_ip non è la massa della puleggia !!
Se l’inerzia della puleggia è trascurabile , si ottiene la formula di Atwood
$ m_1*a*\vec( i ) = ( m_1*g-T_1) * \vec(i) $ , da cui la rel scalare : $ m_1*a = m_1*g-T_1 $ $(1)$
Analogamente per $m_2$ , tenendo presente che ora l’accelerazione è diretta verso l’alto , e le forze sono : la tensione di modulo T_2 diretta verso l’alto e il peso $ m_2*g $ . Si ha :
$ -m_2*a*\vec( i ) = ( m_2*g-T_2) * \vec(i) $ , da cui la rel scalare : $ -m_2*a = m_2*g-T_2 $ , che con i segni cambiati diventa : $ m_2*a = T_2-m_2*g $ $ (2)$
L a somma della (1) e della (2) dà : $ (m_1+m_2)*a + T_1-T_2 = (m_1-m_2)*g $ $(3)$
Nella $(3)$ dobbiamo valutare ancora $ T_1-T_2 $ .
A tale scopo consideriamo la puleggia , che ha momento di inerzia assiale $I$ calcolabile dalla sua massa e dal raggio $r$ . Le tensioni sui due tratti di cavo a destra e a sinistra della puleggia sono ora , in valore , uguali a $T_1 e T_2 $ , ma dirette entrambe verso il basso perché sono trasmesse dalle masse al cavo .
Deve essere : $ T_1 > T_2 $ , come già detto . Le forze $ T_1 *\vec(i) $ e $ T_2 *\vec(i) $ hanno un momento risultante, rispetto al centro della puleggia : $ (T_1-T_2)*r *\vec(k) $ , diretto verso il retro del foglio .
Questo momento causa la variazione del momento angolare della puleggia $ \vec(L) = I*omega*\vec(k) $ , secondo la nota relazione : $\vec(M) = d(\vec(L))/(dt) $ , quindi si ha in definitiva la relazione scalare :
$ (T_1-T_2)*r = I*alpha $ ,dove $alpha $ è la accelerazione angolare $ (d omega ) / (dt) $
Da che cosa è data l’accelerazione angolare ? Evidentemente , l ‘accelerazione $ a$ del cavo si trasmette alla puleggia e diventa la accelerazione tangenziale di questa , cioè $ a = alpha *r $ , da cui si ricava che : $ alpha = a/r $ . Sostituendo nella precedente espressione : $ (T_1-T_2)*r = I*alpha $ , e dividendo per $r$ , si trova che : $ T_1-T_2 = a* I / r^2 $ .
Sostituendo questa nella $ (3)$ , si ha : $ (m_1 +m_2 + I / r^2 )*a = (m_1-m_2)*g $ (4)
E infine dalla (4) si ricava : $ a = ((m_1-m_2)/ (m_1 +m_2 + I / r^2 ))*g $ (5)
Le equazioni (5) , (1) e (2) permettono di ricavare l’accelerazione lineare $a$ e le due tensioni .
Nota l’accelerazione , essendo il moto uniformemente accelerato è facile esprimere la velocità e lo spazio in funzione di $a$ e del tempo . Si ricava il tempo da una e si sostituisce nell’altra , e così si determina la velocità , poiché lo spazio è noto .
L’accelerazione angolare si calcola con : $ alpha = a/r $ .
Nota : la (4) s i poteva dedurre , almeno qualitativamente , come segue .
Consideriamo il sistema nel suo complesso : le forze esterne agenti sono i pesi della due masse , di cui quello di m_1 supera quello di m_2 . In totale , abbiamo una forza motrice pari alla differenza tra le due , cioè : $ (m_1 - m_2)*g $ .
Tale forza deve accelerare le due masse e la puleggia . La “ massa inerziale” da accelerare è quindi somma di tre termini : la massa m_1 , la massa m_2 , e una massa che rappresenta l’inerzia della puleggia , chiamiamola m_ip . Queste tre masse , sommate insieme , per la II legge della Dinamica avranno una accelerazione $a$ tale che : $ (m_1 +m_2 + m_(ip) )*a = (m_1 - m_2)*g $ , che è proprio la ( 4) , salvo determinare la m_ip col metodo prima detto . Attenzione , m_ip non è la massa della puleggia !!
Se l’inerzia della puleggia è trascurabile , si ottiene la formula di Atwood
[mod="Fioravante Patrone"]@LordLurdia
Ti ricordo che su questo forum non sono consentiti titoli come quello che hai dato al tuo post.
Correggi in accordo al regolamento, grazie.[/mod]
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