Cilindro rotante in campo magnetico
Salve a tutti.
Aiutando un amico per Fisica 2 sono incappato in questo problema.
Un cilindro di rame (quindi conduttore) di raggio $r$ ed altezza $h>>r$ ruota con velocità angolare $w$ costante attorno al proprio asse. $vec(w)$ è antiparallela ad un campo di induzione magnetica $vec(B)$ costante. Calcolare la carica $Q$ generata all'interno del cilindro.
Ho ragionato in questo modo:
all'equilibrio, gli elettroni di conduzione si accumulano sulla superficie laterale creando un eccesso di carica $-Q$, uguale in modulo alla carica positiva $Q$ formatasi all'interno. Ogni elettrone è in equilibrio sotto l'azione della forza di Lorenz (radiale entrante) e della forza centrifuga (siamo ovviamente in un sistema solidale al cilindro), per cui, in modulo, $-e v B = (m v^2)/r -> e = - (m omega)/B$ ($v=omega r$ è il modulo della velocità traslazionale con cui gli elettroni ruotano in maniera solidale al cilindro).
Chiamo ora $n$ il numero di elettroni per unità di superficie che si sono accumulati sulla parete del cilindro; la carica $Q$ da cercare è quella sulla superficie del cilindro cambiata di segno:
$Q =- n e 2 pi r h = (2 h pi r m omega n)/B$
La soluzione corretta è però diversa sia per lo svolgimento che per il risultato.
Il testo, infatti, parla di un campo elettrico di richiamo (di "schermo") $vec(E)$ che si genera nel cilindro per effetto della forza di Lorentz:
$vec(E) = -(F_L)/q = vec(v) x vec(B)$
Applicando il teorema di Gauss è possibile calcolare la carica contenuta all'interno:
$int int vec(E)*hat(n) dS = E 2 pi r h = v B 2 pi r h = Q/(epsilon_0) -> Q = 2 pi epsilon_0 omega B r^2 h$
Questo procedimento suggerito mi è chiaro, però non mi è chiaro come mai il mio svolgimento è sbagliato!
Ho pensato che, se il mio risultato fosse giusto, bisognerebbe esplicitare il valore di $n$ in qualche modo per poter arrivare al secondo risultato.
"Barando", ho eguagliato le due espressioni antagoniste ottenendo $n = (epsilon_0 B^2 r)/m$, ma questo, ammesso sia giusto, non mi suggerisce nulla.
Sicuramente il mio risultato è almeno incompleto, in quanto $n$ non è un dato fornito dal problema.
Forse bisogna passare attraverso moli, densità di corrente ($j = n e v$), ecc...
Se c'è un errore, forse sta nell'aver eguagliato forza centrifuga e di Lorentz proprio sulla superficie: chi mi garantisce che i due moduli siano uguali proprio lì?
Suggerimenti? Grazie per l'aiuto!
Aiutando un amico per Fisica 2 sono incappato in questo problema.
Un cilindro di rame (quindi conduttore) di raggio $r$ ed altezza $h>>r$ ruota con velocità angolare $w$ costante attorno al proprio asse. $vec(w)$ è antiparallela ad un campo di induzione magnetica $vec(B)$ costante. Calcolare la carica $Q$ generata all'interno del cilindro.
Ho ragionato in questo modo:
all'equilibrio, gli elettroni di conduzione si accumulano sulla superficie laterale creando un eccesso di carica $-Q$, uguale in modulo alla carica positiva $Q$ formatasi all'interno. Ogni elettrone è in equilibrio sotto l'azione della forza di Lorenz (radiale entrante) e della forza centrifuga (siamo ovviamente in un sistema solidale al cilindro), per cui, in modulo, $-e v B = (m v^2)/r -> e = - (m omega)/B$ ($v=omega r$ è il modulo della velocità traslazionale con cui gli elettroni ruotano in maniera solidale al cilindro).
Chiamo ora $n$ il numero di elettroni per unità di superficie che si sono accumulati sulla parete del cilindro; la carica $Q$ da cercare è quella sulla superficie del cilindro cambiata di segno:
$Q =- n e 2 pi r h = (2 h pi r m omega n)/B$
La soluzione corretta è però diversa sia per lo svolgimento che per il risultato.
Il testo, infatti, parla di un campo elettrico di richiamo (di "schermo") $vec(E)$ che si genera nel cilindro per effetto della forza di Lorentz:
$vec(E) = -(F_L)/q = vec(v) x vec(B)$
Applicando il teorema di Gauss è possibile calcolare la carica contenuta all'interno:
$int int vec(E)*hat(n) dS = E 2 pi r h = v B 2 pi r h = Q/(epsilon_0) -> Q = 2 pi epsilon_0 omega B r^2 h$
Questo procedimento suggerito mi è chiaro, però non mi è chiaro come mai il mio svolgimento è sbagliato!
Ho pensato che, se il mio risultato fosse giusto, bisognerebbe esplicitare il valore di $n$ in qualche modo per poter arrivare al secondo risultato.
"Barando", ho eguagliato le due espressioni antagoniste ottenendo $n = (epsilon_0 B^2 r)/m$, ma questo, ammesso sia giusto, non mi suggerisce nulla.
Sicuramente il mio risultato è almeno incompleto, in quanto $n$ non è un dato fornito dal problema.
Forse bisogna passare attraverso moli, densità di corrente ($j = n e v$), ecc...
Se c'è un errore, forse sta nell'aver eguagliato forza centrifuga e di Lorentz proprio sulla superficie: chi mi garantisce che i due moduli siano uguali proprio lì?
Suggerimenti? Grazie per l'aiuto!
Risposte
Non ho provato a risolvere il problema o a leggere con attenzione le due soluzioni; è solo una sensazione, ma non potrebbero esserci dei problemi quando dici di metterti nel sistema di riferimento non inerziale solidale al cilindro in rotazione e poi calcoli la forza di Lorentz agente sugli elettroni prendendo come velocità quella tangenziale di rotazione, quando invece nel tuo sistema di riferimento gli elettroni sono a riposo?
P.S. 1.38
P.S. 1.38
Hai ragione, a questo non ci avevo pensato.
Però il problema si può aggirare facilmente: in un sistema inerziale, si può imporre che la forza di Lorentz sia uguale alla forza centripeta.
In questo modo continuerebbe a valere la relazione $- e v B = (m v^2)/r$
Però il problema si può aggirare facilmente: in un sistema inerziale, si può imporre che la forza di Lorentz sia uguale alla forza centripeta.
In questo modo continuerebbe a valere la relazione $- e v B = (m v^2)/r$
Forse ho trovato qualcosa...
Premetto che quella che vi propongo non è una vera e propria soluzione, ma serve a far vedere che i due risultati sono equivalenti.
Il numero $N$ di elettroni totali si può scrivere come la carica totale $Q$ diviso la carica dell'elettrone:
$N = Q/e -> n = N/(2 pi r h) = Q/(e 2 pi r h)$
Per il teorema di Gauss, si ha che $E = Q/(2 pi r h epsilon_0)$, quindi $n = (epsilon_0 E)/e$
Il campo $E$ è la forza di Lorentz per unità di carica ($E = v B = omega r B$), perciò si ha $n = (epsilon_0 omega r B)/e$
Dall'uguaglianza fra forza di Lorentz e forza centripeta si ottiene $e = (m omega)/B$, per cui $n = (epsilon_0 r B^2)/m$
Sostituendo l'espressione di $n$ nella relazione $Q = (2 m omega n pi r h)/B$ si ottiene $Q = 2 pi epsilon_0 omega B r^2 h$
Premetto che quella che vi propongo non è una vera e propria soluzione, ma serve a far vedere che i due risultati sono equivalenti.
Il numero $N$ di elettroni totali si può scrivere come la carica totale $Q$ diviso la carica dell'elettrone:
$N = Q/e -> n = N/(2 pi r h) = Q/(e 2 pi r h)$
Per il teorema di Gauss, si ha che $E = Q/(2 pi r h epsilon_0)$, quindi $n = (epsilon_0 E)/e$
Il campo $E$ è la forza di Lorentz per unità di carica ($E = v B = omega r B$), perciò si ha $n = (epsilon_0 omega r B)/e$
Dall'uguaglianza fra forza di Lorentz e forza centripeta si ottiene $e = (m omega)/B$, per cui $n = (epsilon_0 r B^2)/m$
Sostituendo l'espressione di $n$ nella relazione $Q = (2 m omega n pi r h)/B$ si ottiene $Q = 2 pi epsilon_0 omega B r^2 h$
La tua spiegazione che la forza di Lorentz e' contrastata dalla forza centrifuga e' sostanzialmente corretta.
Pero' nel mondo reale la forza centrifuga che si puo' manifestare in un cilindro rotante e' veramente piccola.
Per mondo reale intendo oggetti che si possono trovare nelle applicazioni reali. Ad esempio in un motore elettrico.
Se prendiamo un esempio, ad esempio n ciclindro con raggio 1 m, rotante a 1 rad/s, un campo magnetico di 0,01 T, allora la forza centrifuga e' risibile in confronto alla forza di Lorentz.
Ad esempio la forza di Lorentz sul singolo elettrone e' nell'ordine dei $ 10^-19 N $, mentre la forza centrifuga e' sui $ 10^-31N $, piu' di un miliardo di volte piu' piccola.
Chiaramente il problema non specifica ne' B, ne $ omega $, per cui si puo' ipotizzare di tutto. Pero' credo che chi ha pensato il problema avesse in mente valori "umani".
Per questo credo che la spiegazione del libro sia sostanzialmente corretta, cioe' all'interno del cilindro si forma un campo elettrico radiale tale da contrastare la forza di Lorentz.
Il campo elettrico e' formato dalle cariche stesse che si addensano verso l'interno (esterno).
Si dovrebbero disporre le cariche su un raggio singolo (tanto il cilindro ha simmetria radiale) e disporre le cariche in modo che il campo elettrico contrasti la densita' di carica stessa per la velocita'.
Se ho tempo faccio due calcoli, intanto se vuoi puoi seguire la traccia che ho scritto.
Qui invece non sei corretto.
Gli elettroni non si dispongono solo sulla superficie, ma variano la propria densita' per volume in modo da creare un campo elettrico.
Quello che dici tu vale se il ciclindro fosse complessivamente carico, ma qui il ciclindro e' neutro elettricamente, per cui non c'e' nessuna carica in eccesso da distribuire.
Inoltre, il ciclindro e' internamente soggetto alle forza di Lorentz, mentre nel cilindro (o sfera) carichi elettricamente, all'interno non c'e' campo elettrico, ma non ci sono neanche forze da contrastare.
Se le forze di Lorentz fossero costanti e aventi direzione come il raggio, allora all'interno del cilindro si dovrebbe formare un campo elettrico uniforme, in modo che in ogni punto la f.d.L. e' contrastata dal campo elettrico.
Ma siccome la fdL e' proporzionale alla velocita', allora il campo elettrico deve crescere in maniera radiale.
Credo che alla fine la distribuzione di carica possa avere la forma di un paraboloide circolare, ovviamente se si guarda ad una singola fetta circolare del disco.
Spero di essere stato chiaro, ed esatto soprattutto. Ma ci vorrebbe una conferma matematica a tutto cio'.
Pero' nel mondo reale la forza centrifuga che si puo' manifestare in un cilindro rotante e' veramente piccola.
Per mondo reale intendo oggetti che si possono trovare nelle applicazioni reali. Ad esempio in un motore elettrico.
Se prendiamo un esempio, ad esempio n ciclindro con raggio 1 m, rotante a 1 rad/s, un campo magnetico di 0,01 T, allora la forza centrifuga e' risibile in confronto alla forza di Lorentz.
Ad esempio la forza di Lorentz sul singolo elettrone e' nell'ordine dei $ 10^-19 N $, mentre la forza centrifuga e' sui $ 10^-31N $, piu' di un miliardo di volte piu' piccola.
Chiaramente il problema non specifica ne' B, ne $ omega $, per cui si puo' ipotizzare di tutto. Pero' credo che chi ha pensato il problema avesse in mente valori "umani".
Per questo credo che la spiegazione del libro sia sostanzialmente corretta, cioe' all'interno del cilindro si forma un campo elettrico radiale tale da contrastare la forza di Lorentz.
Il campo elettrico e' formato dalle cariche stesse che si addensano verso l'interno (esterno).
Si dovrebbero disporre le cariche su un raggio singolo (tanto il cilindro ha simmetria radiale) e disporre le cariche in modo che il campo elettrico contrasti la densita' di carica stessa per la velocita'.
Se ho tempo faccio due calcoli, intanto se vuoi puoi seguire la traccia che ho scritto.
Chiamo ora n il numero di elettroni per unità di superficie che si sono accumulati sulla parete del cilindro; la carica Q da cercare è quella sulla superficie del cilindro cambiata di segno:
Qui invece non sei corretto.
Gli elettroni non si dispongono solo sulla superficie, ma variano la propria densita' per volume in modo da creare un campo elettrico.
Quello che dici tu vale se il ciclindro fosse complessivamente carico, ma qui il ciclindro e' neutro elettricamente, per cui non c'e' nessuna carica in eccesso da distribuire.
Inoltre, il ciclindro e' internamente soggetto alle forza di Lorentz, mentre nel cilindro (o sfera) carichi elettricamente, all'interno non c'e' campo elettrico, ma non ci sono neanche forze da contrastare.
Se le forze di Lorentz fossero costanti e aventi direzione come il raggio, allora all'interno del cilindro si dovrebbe formare un campo elettrico uniforme, in modo che in ogni punto la f.d.L. e' contrastata dal campo elettrico.
Ma siccome la fdL e' proporzionale alla velocita', allora il campo elettrico deve crescere in maniera radiale.
Credo che alla fine la distribuzione di carica possa avere la forma di un paraboloide circolare, ovviamente se si guarda ad una singola fetta circolare del disco.
Spero di essere stato chiaro, ed esatto soprattutto. Ma ci vorrebbe una conferma matematica a tutto cio'.
Ciao Quinzio, grazie per la risposta.
La seconda parte del tuo intervento rispecchia sostanzialmente il dubbio che avevo: gli elettroni si dispongono tutti sulla superficie laterale del cilindro oppure danno luogo ad una densità volumetrica di carica negativa?
Usando l'approccio del testo il problema non si pone: il teorema di Gauss non tiene conto della effettiva distribuzione della carica, ma solo della quantità di carica contenuta entro la superficie di integrazione.
Nel mio svolgimento, invece, è praticamente obbligatorio conoscere la distribuzione degli elettroni.
Il punto è che la mia soluzione è identica a quella riportata dal testo, quindi è corretta: l'unica differenza sta nei parametri utilizzati per descrivere il sistema (nella mia soluzione compare il termine $n$ che, come ho fatto vedere, si può esplicitare opportunamente per ottenere l'altra soluzione).
Il fatto che la mia soluzione sia corretta non è garanzia anche per la correttezza del ragionamento svolto?
La seconda parte del tuo intervento rispecchia sostanzialmente il dubbio che avevo: gli elettroni si dispongono tutti sulla superficie laterale del cilindro oppure danno luogo ad una densità volumetrica di carica negativa?
Usando l'approccio del testo il problema non si pone: il teorema di Gauss non tiene conto della effettiva distribuzione della carica, ma solo della quantità di carica contenuta entro la superficie di integrazione.
Nel mio svolgimento, invece, è praticamente obbligatorio conoscere la distribuzione degli elettroni.
Il punto è che la mia soluzione è identica a quella riportata dal testo, quindi è corretta: l'unica differenza sta nei parametri utilizzati per descrivere il sistema (nella mia soluzione compare il termine $n$ che, come ho fatto vedere, si può esplicitare opportunamente per ottenere l'altra soluzione).
Il fatto che la mia soluzione sia corretta non è garanzia anche per la correttezza del ragionamento svolto?
Credo di aver messo fine ad ogni dubbio: con l'equazione di Maxwell associata alla legge di Gauss si può infatti dimostrare che la densità di carica positiva all'interno è costante.
Il campo elettrico si può scrivere come $vec(E) = omega r B hat(r)$ ($r$ è ovviamente un raggio generico, non quello del cilindro).
L'equazione di Maxwell in questione è $vec(nabla)*vec(E) = (rho)/(epsilon_0)$, da cui:
$omega B vec(nabla)*(r hat(r)) = (rho)/(epsilon_0) -> rho = omega B epsilon_0$
Questa carica positiva è dovuta ai nuclei degli atomi di rame (uniformemente distribuiti) rimasti senza elettroni di conduzione esterni: questi ultimi danno
luogo ad una densità di carica superficiale di eguale modulo ma di segno opposto.
Qui ovviamente si ha a che fare con una contraddizione: da una parte si ammette che la carica è quantizzata, mentre dall'altra si parla di densità di carica.
E' per questa incompletezza, credo, che si ha la (secondo me) "strana" dipendenza lineare di $rho$ da $B$: all'aumentare del campo magnetico, infatti, aumenta anche la forza di Lorentz, quindi gli elettroni dovrebbero rimanere all'interno in numero maggiore diminuendo la densità di carica positiva anzichè aumentarla. Ma il teorema di Gauss, ovviamente, non tiene conto della natura quantizzata della carica! La dipendenza lineare di $rho$ da $omega$, invece, è intuitivamente ovvia.
Il campo elettrico si può scrivere come $vec(E) = omega r B hat(r)$ ($r$ è ovviamente un raggio generico, non quello del cilindro).
L'equazione di Maxwell in questione è $vec(nabla)*vec(E) = (rho)/(epsilon_0)$, da cui:
$omega B vec(nabla)*(r hat(r)) = (rho)/(epsilon_0) -> rho = omega B epsilon_0$
Questa carica positiva è dovuta ai nuclei degli atomi di rame (uniformemente distribuiti) rimasti senza elettroni di conduzione esterni: questi ultimi danno
luogo ad una densità di carica superficiale di eguale modulo ma di segno opposto.
Qui ovviamente si ha a che fare con una contraddizione: da una parte si ammette che la carica è quantizzata, mentre dall'altra si parla di densità di carica.
E' per questa incompletezza, credo, che si ha la (secondo me) "strana" dipendenza lineare di $rho$ da $B$: all'aumentare del campo magnetico, infatti, aumenta anche la forza di Lorentz, quindi gli elettroni dovrebbero rimanere all'interno in numero maggiore diminuendo la densità di carica positiva anzichè aumentarla. Ma il teorema di Gauss, ovviamente, non tiene conto della natura quantizzata della carica! La dipendenza lineare di $rho$ da $omega$, invece, è intuitivamente ovvia.
"VINX89":
Ciao Quinzio, grazie per la risposta.
La seconda parte del tuo intervento rispecchia sostanzialmente il dubbio che avevo: gli elettroni si dispongono tutti sulla superficie laterale del cilindro oppure danno luogo ad una densità volumetrica di carica negativa?
Usando l'approccio del testo il problema non si pone: il teorema di Gauss non tiene conto della effettiva distribuzione della carica, ma solo della quantità di carica contenuta entro la superficie di integrazione.
Nel mio svolgimento, invece, è praticamente obbligatorio conoscere la distribuzione degli elettroni.
Il punto è che la mia soluzione è identica a quella riportata dal testo, quindi è corretta: l'unica differenza sta nei parametri utilizzati per descrivere il sistema (nella mia soluzione compare il termine $n$ che, come ho fatto vedere, si può esplicitare opportunamente per ottenere l'altra soluzione).
Il fatto che la mia soluzione sia corretta non è garanzia anche per la correttezza del ragionamento svolto?
a) Ok, ma qual e' la soluzione riportata dal libro ? Qual e' alla fine questa distribuzione della carica ?
b ) Cosa c'entra n ? Per questi problemi la carica non si assume mai quantizzata, ma continua, come se fosse un fluido.
c ) Il cilindro fermo e' elettricamente neutro, per cui anche il cilindro rotante e' elett. neutro. Non ci sono fuoriuscite o entrate di carica.
La carica si redistribuisce al suo interno. Per cui se prendi una superficie di Gauss esterna al cilindro, da questa superficie non esce nulla, ne' entra nulla. Perche' al suo interno non c'e' una carica netta diversa da zero.
a) La soluzione del libro riporta la carica totale $Q$, non la distribuzione; il valore di tale carica è quello che ho già riportato nel primo post. Nell'ultimo post ho fatto vedere che la densità volumetrica di carica positiva è costante, ma questa è una informazione in più non richiesta esplicitamente dal testo.
b) Se divido la carica totale per il valore della carica elementare $e$, ottengo il numero di elettroni che, complessivamente, danno luogo a quella carica; questo sempre e comunque.
c) Hai ragione, anche il cilindro in moto è elettricamente neutro: infatti c'è una carica $Q$ che si distribuisce nel volume del cilindro ed una carica $-Q$ (dovuta agli elettroni) distribuita invece sulla superficie esterna.
Per il teorema di Gauss, come dici tu, il flusso attraverso una superficie esterna al cilindro è nullo, ma non è nullo il flusso attraverso la superficie stessa del cilindro o una superficie contenuta al suo interno.
b) Se divido la carica totale per il valore della carica elementare $e$, ottengo il numero di elettroni che, complessivamente, danno luogo a quella carica; questo sempre e comunque.
c) Hai ragione, anche il cilindro in moto è elettricamente neutro: infatti c'è una carica $Q$ che si distribuisce nel volume del cilindro ed una carica $-Q$ (dovuta agli elettroni) distribuita invece sulla superficie esterna.
Per il teorema di Gauss, come dici tu, il flusso attraverso una superficie esterna al cilindro è nullo, ma non è nullo il flusso attraverso la superficie stessa del cilindro o una superficie contenuta al suo interno.
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