Cilindro magnetizzato con dipendenza dal raggio
Ciao a tutti, ho un altro problema con il famigerato cilindro magnetizzato. Stavolta il testo così recita:
Un cilindro infinitamente lungo di raggio $R$ possiede una magnetizzazione nota \(\displaystyle \mathbf{M} = J_0 r\mathbf{e}_z \), dove $J_0$ è una costante nota e $r$ è la distanza dall’asse del cilindro (la coordinata radiale in coordinate cilindriche). Non ci sono correnti libere.
Innanzitutto devo calcolarmi le densità di correnti, e mi esce \(\displaystyle \mathbf{J}_s=\mathbf{M}\times\mathbf{e}_r=J_0R\mathbf{e}_\phi \), e \(\displaystyle \mathbf{J}_v=-J_0\mathbf{e}_\phi \). Adesso, i campi. Chiaramente per $r
Come prima cosa: il calcolo di $I_v$ richiederebbe la conoscenza della lunghezza ma questa è infinita, perché la sezione perpendicolare è una generatrice. Comunque avrei \(\displaystyle I_v=-2\pi L J_0 \), e allo stesso modo \(\displaystyle I_s=L J_0 R \). Adesso: come al solito ho problemi a capire quale circuito amperiano scegliere per il calcolo del campo. In questo caso l'unico modo per cavarsela sarebbe che il campo è costante su una generatrice, in modo da prendere un circuito rettangolare con un lato $L$ nel cilindro e scrivere \(\displaystyle B=-2\pi\mu_0 L J_0 \). Ma per la direzione, come faccio a capirla?
Un cilindro infinitamente lungo di raggio $R$ possiede una magnetizzazione nota \(\displaystyle \mathbf{M} = J_0 r\mathbf{e}_z \), dove $J_0$ è una costante nota e $r$ è la distanza dall’asse del cilindro (la coordinata radiale in coordinate cilindriche). Non ci sono correnti libere.
Innanzitutto devo calcolarmi le densità di correnti, e mi esce \(\displaystyle \mathbf{J}_s=\mathbf{M}\times\mathbf{e}_r=J_0R\mathbf{e}_\phi \), e \(\displaystyle \mathbf{J}_v=-J_0\mathbf{e}_\phi \). Adesso, i campi. Chiaramente per $r
Come prima cosa: il calcolo di $I_v$ richiederebbe la conoscenza della lunghezza ma questa è infinita, perché la sezione perpendicolare è una generatrice. Comunque avrei \(\displaystyle I_v=-2\pi L J_0 \), e allo stesso modo \(\displaystyle I_s=L J_0 R \). Adesso: come al solito ho problemi a capire quale circuito amperiano scegliere per il calcolo del campo. In questo caso l'unico modo per cavarsela sarebbe che il campo è costante su una generatrice, in modo da prendere un circuito rettangolare con un lato $L$ nel cilindro e scrivere \(\displaystyle B=-2\pi\mu_0 L J_0 \). Ma per la direzione, come faccio a capirla?
Risposte
Mi chiedo, perché non vi abituate a rileggere il vostro scritto e a correggere gli errori di battitura? 
Ho fatto una correzione... 
Ok, ora ti chiedo di controllare i segni di quelle densità di corrente, che non possono coincidere.
La circuitazione di B andremo a farla su un percorso rettangolare di base L e generica altezza r [nota]Con il lato L sovrapposto all'asse z.[/nota], cosa c'entra quel due pigreco?
La corrente volumetrica relativa al generico raggio r la otterrai moltiplicando la densità volumetrica per Lr, mentre la corrente superficiale sarà data dalla densità superficiale per L.
Il campo B sarà quindi funzione lineare di r e presenterà una discontinuità per r=R, causata dal contributo amperiano.
La circuitazione di B andremo a farla su un percorso rettangolare di base L e generica altezza r [nota]Con il lato L sovrapposto all'asse z.[/nota], cosa c'entra quel due pigreco?
La corrente volumetrica relativa al generico raggio r la otterrai moltiplicando la densità volumetrica per Lr, mentre la corrente superficiale sarà data dalla densità superficiale per L.
Il campo B sarà quindi funzione lineare di r e presenterà una discontinuità per r=R, causata dal contributo amperiano.
Giusto, ho corretto ancora... dimentichiamo il 2pigreco, dovrei avere \(\displaystyle I_v=-LJ_0 \), quindi \(\displaystyle B=-\mu_0J_0 \) dato che la circuitazione del campo dovrebbe essere $BL$; e sbaglio a dire che deve essere lungo $z$?
Scusa della domanda, ma leggi quello che scrivo?
Leggendo la tua risposta, direi proprio di no.
Leggendo la tua risposta, direi proprio di no.
Mi scuso, sono un po' fuso... ricapitolando. Dal fatto che la corrente è circonferenziale mi aspetterei che il campo magnetico sia longitudinale. Quindi ok con il circuito di base $L$ e di altezza $r$ che hai proposto. Mi confonde l'aver chiamato l'altezza $r$, quando il raggio lo immagino orizzontale comunque effettivamente nel calcolo della circuitazione a questo punto $r$ non conta, no? Perché risulta ortogonale al campo... mentre sulla densità volumetrica ci siamo: \(\displaystyle da_\perp \) è un rettangolo, e considerando la superficie concatenata viene effettivamente \(\displaystyle J_v rL \). Quindi \(\displaystyle B=-\mu_0J_0r \).
Allo stesso modo per $r$ maggiori di $R$ mi basta aggiungere la corrente di superficie. In questo caso \(\displaystyle dl_\perp \) è una generatrice, lunga $L$ nel calcolo rispetto all'anello amperiano. Quindi \(\displaystyle B=\mu_0(I_v+I_s)=\mu_0J_0(r+LR) \).
comunque effettivamente nel calcolo della circuitazione a questo punto $r$ non conta, no? Perché risulta ortogonale al campo... mentre sulla densità volumetrica ci siamo: \(\displaystyle da_\perp \) è un rettangolo, e considerando la superficie concatenata viene effettivamente \(\displaystyle J_v rL \). Quindi \(\displaystyle B=-\mu_0J_0r \).Allo stesso modo per $r$ maggiori di $R$ mi basta aggiungere la corrente di superficie. In questo caso \(\displaystyle dl_\perp \) è una generatrice, lunga $L$ nel calcolo rispetto all'anello amperiano. Quindi \(\displaystyle B=\mu_0(I_v+I_s)=\mu_0J_0(r+LR) \).
A dire il vero, rispetto a quanto precedentemente scritto, ipotizzando di non aver già valutato che il campo B risulta nullo sull'asse del cilindro, per la circuitazione conviene partire da "fuori", ovvero ipotizzare che il rettangolo della circuitazione sia mezzo fuori e mezzo dentro il cilindro, ed essendo B=0 esternamente, avremo che
$\vec B=\mu_0(|\vec J_s|-|\vec J_v|(R-r))\hat e_z=\mu_0J_0r \hat e_z$
$\vec B=\mu_0(|\vec J_s|-|\vec J_v|(R-r))\hat e_z=\mu_0J_0r \hat e_z$
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