Cilindro magnetizzato

[Nagato2]

Ciao a tutti, qualcuno può dare un occhio a questa soluzione?

Un cilindro indefinito e omogeneo di raggio $a$ è magnetizzato, con \(\displaystyle \mathbf{M}=M_0\frac{r}{a}\mathbf{e}_\theta \). Si scrivano:

(a) La densità di corrente di magnetizzazione.

La densità di corrente di superficie è data da \(\displaystyle \mathbf{J}_{m, s}=\mathbf{M}\times\mathbf{e}_n \); la normale al clindro è il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_r \), dunque \(\displaystyle \mathbf{J}_{m,s}=M_0r/a\mathbf{e}_z \). Invece, la densità di corrente di volume è data dal rotore in coordinate cilindriche: \[\displaystyle \mathbf{J}_{m,v}=\text{rot} \mathbf{M}=(...)=\frac{1}{r}\frac{d(rM_\theta)}{dr}\mathbf{e}_r=\frac{2M_0}{a}. \] (b) Il valore della corrente di magnetizzazione totale che scorre nel cilindro.

Dalla definizione di corrente di volume, ho \[\displaystyle \mathbf{I}_{m,v}=\int_\mathcal{S}\mathbf{J}_{m,v}da_{\perp}; \] la corrente scorre in direzione $z$, dunque la sezione del cilindro è semplicemente \(\displaystyle \pi a^2 \), e siccome \(\displaystyle \mathbf{J}_{m,v} \) non dipende da \(\displaystyle r \) o da \(\displaystyle \theta \), si ha semplicemente \(\displaystyle \mathbf{I}_{m,v}=2\pi M_0 a \).

Per la corrente superficiale, ho un dubbio: so che la definizione è \[\displaystyle \mathbf{I}_{m,v}=\int\mathbf{J}_{m,v}dl_{\perp}, \] ma non capisco se in questo caso dovrei integrare rispetto a \(\displaystyle \theta \) sulla circonferenza, o rispetto alla variabile $r$.

(c) Determinare i campi \(\displaystyle \mathbf{B}, \mathbf{H} \).

Il testo del problema non parla di correnti concatenate libere, quindi deduco che \(\displaystyle \mathbf{H}=0 \). A questo punto potrei ottenere \(\displaystyle \mathbf{B} \) dal teorema di Ampère, oppure dalla relazione tra i due campi e la magnetizzazione. (edit: no, in questo caso non è vero, perché non conosco la costante \(\displaystyle \mu_0 \) del materiale). Quindi scelgo come anello amperiano una circonferenza di raggio \(\displaystyle r \) e calcolo \[\displaystyle \int_\gamma \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=2\pi rB=0+I_{m}; \] rimane da distinguere il caso \(\displaystyle ra \) in cui conta anche quella di superficie.
Nel primo, \(\displaystyle B=M_0a/r \); per il secondo aspetto il vostro parere sul punto (b)

[RenzoDF]

"Nagato":... La densità di corrente di superficie è data da \(\displaystyle \mathbf{J}_{m, s}=\mathbf{M}\times\mathbf{e}_n \); la normale al clindro è il vettore \(\displaystyle \mathbf{e}_r \), dunque \(\displaystyle \mathbf{J}_{m,s}=M_0r/a\mathbf{e}_z \).

Direi

$\mathbf{J}_{m,s}=-M_0 \mathbf{e}_z$

"Nagato":... Invece, la densità di corrente di volume è data dal rotore in coordinate cilindriche: \[\displaystyle \mathbf{J}_{m,v}=\text{rot} \mathbf{M}=(...)=\frac{1}{r}\frac{d(rM_\theta)}{dr}\mathbf{e}_r=\frac{2M_0}{a}. \] (b) Il valore della corrente di magnetizzazione totale che scorre nel cilindro.

Direi

$\mathbf{J}_{m,v}=\frac{2M_0}{a}\mathbf{e}_z$

"Nagato":... Dalla definizione di corrente di volume... si ha semplicemente \(\displaystyle \mathbf{I}_{m,v}=2\pi M_0 a \).

Ok

"Nagato":... Per la corrente superficiale, ho un dubbio: so che la definizione è \[\displaystyle \mathbf{I}_{m,v}=\int\mathbf{J}_{m,v}dl_{\perp}, \] ma non capisco se in questo caso dovrei integrare rispetto a \(\displaystyle \theta \) sulla circonferenza, o rispetto alla variabile $r$.

Errori di battitura a parte, l'integrazione di linea la dovrai fare sulla circonferenza del magnete, ottenendo

$\mathbf{I}_{m,s}=-2\pi a M_0$

che andrà a compensare quella volumetrica.

Potrai quindi ricavare B uguagliando l'integrale di linea a $\mu_0\mathbf{I}_{m,v}(r)$ internamente, mentre esternamente dovrai considerare anche la corrente superficiale.

[Nagato2]

Ciao, scusa ho dimenticato il segno meno, ma non dovrebbe essere \( \displaystyle \mathbf{J}_{m,s}=-M_0r/a \ \mathbf{e}_z \)?
Per il resto ti ringrazio: quindi in definita si ha \[\displaystyle \begin{cases}\mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0a}{r}\mathbf{e}_z & \text{se } r\le a, \\ \mathbf{B}=0 & \text{se } r>a, \\ \mathbf{H}=0 & \text{ovunque}. \end{cases} \]

[RenzoDF]

"Nagato":Ciao, scusa ho dimenticato il segno meno, ma non dovrebbe essere \( \displaystyle \mathbf{J}_{m,s}=-M_0r/a \ \mathbf{e}_z \)?

Se é "superficiale", $r$ non può che essere uguale ad $a$, non credi?
Non capisco poi il calcolo di B per r

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[Nagato2]

Hai perfettamente ragione

La corrente corretta sarebbe \( \displaystyle \mathbf{I}_{m,v}=2\pi M_0 r^2/a \) quindi il campo di conseguenza è \( \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_0M_0r}{a}\mathbf{e}_\theta\). Dovremmo esserci?

[RenzoDF]

Ci siamo!