Cilindro e guida circolare!
Salve ragazzi vi sottopongo questo problema...
Un cilindro pieno di massa $ m = 0,5 kg $ e raggio $ r_0 = 0,01m $ rotola senza strisciare lungo una guida circolare di raggio $ R = 0,5 m $, partendo da fermo da una altezza $ h = R/2 $ rispetto al fondo della guida. Si trovi il modulo della velocità del cilindro e le reazione normale della guida $ N $ quando il cilindro raggiunge il punto più basso della guida. [Si consideri che $ r_0 < R $].
Usando la conservazione dell'energia dovrei riuscire a trovare la velocità del cilindro sul fondo della guida. Inizialmente l'energia è tutta potenziale; essa per effetto del moto viene trasferita in energia cinetica di rotazione rispetto al centro di massa e energia cinetica del centro di massa che sta traslando. Siccome la guida è liscia vale il teorema dell'energia cinetica:
$ \DeltaE=E_f-E_I $ da cui dovrei ricavare $ v $... è giuso? Perchè non mi trovo affatto... e come si calcola la reazione normale $ N $?
mi desta qualche dubbio quel suggerimento in aggiunta!
Un cilindro pieno di massa $ m = 0,5 kg $ e raggio $ r_0 = 0,01m $ rotola senza strisciare lungo una guida circolare di raggio $ R = 0,5 m $, partendo da fermo da una altezza $ h = R/2 $ rispetto al fondo della guida. Si trovi il modulo della velocità del cilindro e le reazione normale della guida $ N $ quando il cilindro raggiunge il punto più basso della guida. [Si consideri che $ r_0 < R $].
Usando la conservazione dell'energia dovrei riuscire a trovare la velocità del cilindro sul fondo della guida. Inizialmente l'energia è tutta potenziale; essa per effetto del moto viene trasferita in energia cinetica di rotazione rispetto al centro di massa e energia cinetica del centro di massa che sta traslando. Siccome la guida è liscia vale il teorema dell'energia cinetica:
$ \DeltaE=E_f-E_I $ da cui dovrei ricavare $ v $... è giuso? Perchè non mi trovo affatto... e come si calcola la reazione normale $ N $?
mi desta qualche dubbio quel suggerimento in aggiunta!
Risposte
Le risposte dovrebbero essere $ v = 3,31 m/s $ e $ N = 8,2 N $
Aiutatemi... vi prego
Aiutatemi... vi prego
Ciao Alfy!
Posso chiederti da dove hai preso questo esercizio? Quei risultati mi sembrano strani.. prendiamo ad esempio la normale, nel punto più basso essa dovrà bilanciare esattamente la forza peso del cilindro, per cui dovrebbe risultare:
$N=mg => m=\frac{N}{g}=0.92 kg$
Valore ben diverso da quello fornito nel testo del problema..
Posso chiederti da dove hai preso questo esercizio? Quei risultati mi sembrano strani.. prendiamo ad esempio la normale, nel punto più basso essa dovrà bilanciare esattamente la forza peso del cilindro, per cui dovrebbe risultare:
$N=mg => m=\frac{N}{g}=0.92 kg$
Valore ben diverso da quello fornito nel testo del problema..
La guida può muoversi? Comunque @DelCrossB nel punto più basso se il cilindro fosse fermo sarebbe valido quanto da te detto, ma se consideri il centro di massa del cilindro, questo descrive una traiettoria circolare, e dunque la risultante delle forze su di esso agente deve essere pari ad una accelerazione centripeta! Giusto?
È una traccia d'esame... comunque anche io credo che ci sia anche una accelerazione centripeta! Ma in ambo i casi questi risultati sono "sballati"! Più che i risultati alla fine mi interessa che il ragionamento sia quello giusto. grazie ragazzi...
Il fatto che il centro di massa del cilindro descriva una circonferenza non implica che lo faccia a velocità costante (e che quindi non vi sia componente tangenziale dell'accelerazione).
Ad ogni modo, se la guida è liscia (e fissa) si conserva l'energia meccanica del cilindro. Nota che $\DeltaE=E_{f}-E_i$ è un'identità. La condizione fondamentale è che in questo caso si ha $\DeltaE=0$.
Inizialmente l'energia è tutta potenziale: $E_{i}= R/2 mg$. Nel punto più basso l'energia sarà interamente cinetica e può essere calcolata col teorema di Konig:
$E_{f} = 1/2mv^2+1/2I\omega^2$
Dove $v$ è la velocità del CM e $\omega$ la velocità angolare della rotazione del cilindro intorno al suo asse principale. Usando la condizione di puro rotolamento $v=\omega r$ si può trovare il valore numerico di $v$ (che però non corrisponde col risultato atteso).
Per la normale, il ragionamento credo sia quello che ti ho espresso poco sopra.. nel punto più basso della guida $N$ dovrà bilanciare perfettamente la forza peso, pertanto:
$N=mg$
Ad ogni modo, se la guida è liscia (e fissa) si conserva l'energia meccanica del cilindro. Nota che $\DeltaE=E_{f}-E_i$ è un'identità. La condizione fondamentale è che in questo caso si ha $\DeltaE=0$.
Inizialmente l'energia è tutta potenziale: $E_{i}= R/2 mg$. Nel punto più basso l'energia sarà interamente cinetica e può essere calcolata col teorema di Konig:
$E_{f} = 1/2mv^2+1/2I\omega^2$
Dove $v$ è la velocità del CM e $\omega$ la velocità angolare della rotazione del cilindro intorno al suo asse principale. Usando la condizione di puro rotolamento $v=\omega r$ si può trovare il valore numerico di $v$ (che però non corrisponde col risultato atteso).
Per la normale, il ragionamento credo sia quello che ti ho espresso poco sopra.. nel punto più basso della guida $N$ dovrà bilanciare perfettamente la forza peso, pertanto:
$N=mg$
Ragazzi, ragioniamo.
LA guida è ferma, immagino.
La precisazione che $r
Detto questo, la reazione normale nel punto più basso deve non solo equilibrare il peso del cilindro, ma fornire anche la forza centripeta agente sul cilindro in quel punto. Perciò è maggiore, in valore, del peso. Se volessimo ragionare con la forza centrifuga in un sistema di coordinate rotante, direi che : $N = F_c + P $ .
Detto anche quest'altro, occorre tener conto della conservazione dell'energia, certamente. Essa è tutta potenziale all'inizio: $E_p = mgh$, e si trasforma in cinetica. Però giustamente una parte di questa energia se la prende la rotazione del cilindro, che ha massa e quindi un momento di inerzia assiale non trascurabile, e un'altra parte se la prende la traslazione verticale.
MA ora bisogna fare attenzione : la velocità angolare del cilindro non è costante nella discesa, aumenta.
Infatti, è la forza di attrito statico che dà un momento rispetto all'asse del cilindro, e questo momento causa variazione del momento angolare del cilindro stesso, quindi accelerazione angolare, perciò velocità angolare crescente da zero a un max nel punto più basso.
Da che cosa è data la forza di attrito statico? In un punto qualsiasi della discesa si considera il peso del cilindro, che si scompone in due forze, una normale e l'altra tangente alla guida : la forza di attrito statico che la guida esercita sul cilindro è opposta alla componente tangente del peso.
Tale forza quindi è variabile da zero al valore max nel punto più basso. E perciò è variabile il momento.
Ora bisogna tradurre in equazioni questo ragionamento, sperando di non aver detto sciocchezze.
Io prenderei un sistema di coordinate polari, con origine nel centro della guida semicircolare….secondo me viene fuori qualche eq. differenziale in funzione dell'angolo $\theta = \theta(t)$ di questo sistema di coordinate….Per scriverla, direi che bisogna considerare una posizione angolare generica e variare l'angolo di $d\theta$…
Secondo me, il moto qui è armonico…Se pensiamo al cilindro lasciato libero, esso inizia a scendere ruotando con vel angolare crescente, e quando è nel punto più basso sale dall'altra parte con vel angolare decrescente, si arresta, e poi torna giù, e così via: senza dissipazione di energia questo moto durerebbe in eterno.
Alfy, ma tu non hai scritto proprio niente ?
LA guida è ferma, immagino.
La precisazione che $r
Detto questo, la reazione normale nel punto più basso deve non solo equilibrare il peso del cilindro, ma fornire anche la forza centripeta agente sul cilindro in quel punto. Perciò è maggiore, in valore, del peso. Se volessimo ragionare con la forza centrifuga in un sistema di coordinate rotante, direi che : $N = F_c + P $ .
Detto anche quest'altro, occorre tener conto della conservazione dell'energia, certamente. Essa è tutta potenziale all'inizio: $E_p = mgh$, e si trasforma in cinetica. Però giustamente una parte di questa energia se la prende la rotazione del cilindro, che ha massa e quindi un momento di inerzia assiale non trascurabile, e un'altra parte se la prende la traslazione verticale.
MA ora bisogna fare attenzione : la velocità angolare del cilindro non è costante nella discesa, aumenta.
Infatti, è la forza di attrito statico che dà un momento rispetto all'asse del cilindro, e questo momento causa variazione del momento angolare del cilindro stesso, quindi accelerazione angolare, perciò velocità angolare crescente da zero a un max nel punto più basso.
Da che cosa è data la forza di attrito statico? In un punto qualsiasi della discesa si considera il peso del cilindro, che si scompone in due forze, una normale e l'altra tangente alla guida : la forza di attrito statico che la guida esercita sul cilindro è opposta alla componente tangente del peso.
Tale forza quindi è variabile da zero al valore max nel punto più basso. E perciò è variabile il momento.
Ora bisogna tradurre in equazioni questo ragionamento, sperando di non aver detto sciocchezze.
Io prenderei un sistema di coordinate polari, con origine nel centro della guida semicircolare….secondo me viene fuori qualche eq. differenziale in funzione dell'angolo $\theta = \theta(t)$ di questo sistema di coordinate….Per scriverla, direi che bisogna considerare una posizione angolare generica e variare l'angolo di $d\theta$…
Secondo me, il moto qui è armonico…Se pensiamo al cilindro lasciato libero, esso inizia a scendere ruotando con vel angolare crescente, e quando è nel punto più basso sale dall'altra parte con vel angolare decrescente, si arresta, e poi torna giù, e così via: senza dissipazione di energia questo moto durerebbe in eterno.
Alfy, ma tu non hai scritto proprio niente ?
Ciao Navigatore!
Forse mi sono lanciato in una soluzione troppo affrettata, ci sono dei punti di questo esercizio che effettivamente mi lasciano qualche dubbio. In primis come sia possibile che la guida sia liscia perché si instauri un moto di puro rotolamento (giustamente tiri in ballo la forza d'attrito statico).
Effettivamente ponendosi in un s.d.r. solidale al cilindro per calcolare la normale viene naturale aggiungere il termine di forza centrifuga. Non avevo riflettuto sul fatto che il cilindro debba continuare a muoversi su una circonferenza e che quindi abbia bisogno di una spintarella extra verso il centro
Per il calcolo della velocità del centro di massa ti trovi?
Forse mi sono lanciato in una soluzione troppo affrettata, ci sono dei punti di questo esercizio che effettivamente mi lasciano qualche dubbio. In primis come sia possibile che la guida sia liscia perché si instauri un moto di puro rotolamento (giustamente tiri in ballo la forza d'attrito statico).
Effettivamente ponendosi in un s.d.r. solidale al cilindro per calcolare la normale viene naturale aggiungere il termine di forza centrifuga. Non avevo riflettuto sul fatto che il cilindro debba continuare a muoversi su una circonferenza e che quindi abbia bisogno di una spintarella extra verso il centro
Per il calcolo della velocità del centro di massa ti trovi?
Ciao DelCossB. Il saluto è indice di civiltà, e volentieri contraccambio !
Non preoccuparti, qui si può anche sbagliare.
Possiamo sbagliare tutti, me per primo, ma lo scopo del forum è quello di capire e aiutare. E per questo, occorre pensare...
Dunque, vediamo…
non mi sembra che il testo parli di guida liscia. Quindi è proprio la forza di attrito statico a dare il momento rispetto all'asse del cilindro rotante, che passa per il cdm $C$ dl cilindro. Però chiarisco: il riferimento rotante a cui penso ha l'origine nel centro $O$ della guida semicircolare di raggio $R$, e asse $OC$, che ruota nel piano del foglio descrivendo l'angolo $\theta(t)$ variabile da zero a 180º rispetto all'orizzontale.
Certamente ruota anche il cilindro attorno al proprio asse, e siccome il punto di contatto è centro di istantanea rotazione la velocità relativa è zero.
Ma ho paura che battere la strada della equazione del moto ci porti ad una eq. differenziale che poi non sappiamo risolvere….è la stessa situazione in cui ci si trova quando si considera un pendolo , che è lasciato cadere dalla posizione orizzontale: come sappiamo, siamo in grado di risolvere l'eq. del moto solo per piccoli valori di $\theta$, per cui sostituiamo $sen\theta$ con $\theta$ . Ma qui non li si può fare.
Non ho scritto ancora alcuna equazione, non saprei risponderti. Certamente occorre sfruttare la conservazione dell'energia, mi sa che è l'unica, ma la vel angolare del cilindro attorno al proprio asse (e di conseguenza anche dell'asse rotante di cui sopra, visto il vincolo di contatto) è variabile…..
Non preoccuparti, qui si può anche sbagliare.
Possiamo sbagliare tutti, me per primo, ma lo scopo del forum è quello di capire e aiutare. E per questo, occorre pensare...
Dunque, vediamo…
non mi sembra che il testo parli di guida liscia. Quindi è proprio la forza di attrito statico a dare il momento rispetto all'asse del cilindro rotante, che passa per il cdm $C$ dl cilindro. Però chiarisco: il riferimento rotante a cui penso ha l'origine nel centro $O$ della guida semicircolare di raggio $R$, e asse $OC$, che ruota nel piano del foglio descrivendo l'angolo $\theta(t)$ variabile da zero a 180º rispetto all'orizzontale.
Certamente ruota anche il cilindro attorno al proprio asse, e siccome il punto di contatto è centro di istantanea rotazione la velocità relativa è zero.
Ma ho paura che battere la strada della equazione del moto ci porti ad una eq. differenziale che poi non sappiamo risolvere….è la stessa situazione in cui ci si trova quando si considera un pendolo , che è lasciato cadere dalla posizione orizzontale: come sappiamo, siamo in grado di risolvere l'eq. del moto solo per piccoli valori di $\theta$, per cui sostituiamo $sen\theta$ con $\theta$ . Ma qui non li si può fare.
Non ho scritto ancora alcuna equazione, non saprei risponderti. Certamente occorre sfruttare la conservazione dell'energia, mi sa che è l'unica, ma la vel angolare del cilindro attorno al proprio asse (e di conseguenza anche dell'asse rotante di cui sopra, visto il vincolo di contatto) è variabile…..
Salve ragazzi... innanzitutto saluto e ringrazio tutti! In effetti la guida circolare non potrebbe essere liscia in quanto, se lo fosse, non potrebbe instaurarsi un moto di puro rotolamento! Ma nel testo del problema non è nemmeno indicato un coefficienti di attrico statico. L'unica cosa che mi è venuta in mente per il calcolo della velocità nel punto più basso della guida è il teorema di conservazione dell'energia, applicando anche il teorema di Konig, considerando che il cilindro ruota e il suo centro di massa trasla, come voi giustamente avete detto... chiaramente la forza di attrito non compie lavoro in quanto il punto di contatto è istante per istante fermo rispetto alla guida. Gli unici dati del problema sono la massa $ m=0,5kg $, il raggio del cilindro ($ r=0,01m $) e il raggio della guida circolare ( $ R=0,5m $) e il fatto che il cilindro cade da una altezza h (con $ h = R/2 $, e quindi $ h=0,25m $). Non credo si arrivi a trattare il moto armonico perchè questo tipo di problema non è mai stato trattato a lezione... quindi non so che dire.
Ragazzi tutto ok... ho rifatto i conti e mi sono accorto che nel calcolare la velocità era stato omesso il calcolo della radice: usando il teorema dell'energia meccanica, si arriva a scrivere che: $ v^2=sqrt(2/3grR) $, il cuo risultato è $ v = 1,81 m/s $ e non $ v = 3,3 m/s $ che rappresenta invece il risultato privo di radice; infatti si ha che $ sqrt(3,3m/s) = 1,81 m/s $. Se procediamo con il calcolo della reazione normale, si ha che $ N - mg = ma $ e cioè $ N - mg = m(v^2/R) $ da cui si ricava $ N = 8,2 N $. La cosa strana è che la reazione normale è stata calcolata con la velocità giusta... forse errore di trascrizione.
Guarda, stavo per scriverti….mi hai risparmiato un post!
Comunque è da tener presente questo, sempre : quando una circonferenza piccola $(C,r)$ rotola senza strisciare su una circonferenza grande $(O,R)$ , il punto di contatto $P$ ha la stessa velocità periferica $v_P$ rispetto a entrambe le circonferenze . In altri termini , si ha :
$v_P = \omega*r = \Omega*R$
dove $\Omega$ è la velocita angolare del raggio vettore $OP$.
Quindi l'eq. della conservazione dell'energia nel tuo caso ti permette di ricavare l'unica incognita $\omega$ nel punto più basso della traiettoria. Nota $\omega$ , calcoli forza centripeta e tutto quello che ti serve.
Comunque è da tener presente questo, sempre : quando una circonferenza piccola $(C,r)$ rotola senza strisciare su una circonferenza grande $(O,R)$ , il punto di contatto $P$ ha la stessa velocità periferica $v_P$ rispetto a entrambe le circonferenze . In altri termini , si ha :
$v_P = \omega*r = \Omega*R$
dove $\Omega$ è la velocita angolare del raggio vettore $OP$.
Quindi l'eq. della conservazione dell'energia nel tuo caso ti permette di ricavare l'unica incognita $\omega$ nel punto più basso della traiettoria. Nota $\omega$ , calcoli forza centripeta e tutto quello che ti serve.
Grazie di tutto... ecco perchè c'era la piccola precisazione! Grazie di cuore ragazzi.
Alphy, quello che ti ho detto vale anche se le circonferenze hanno raggi uguali o comunque non trascurabili uno rispetto all'altro, sia chiaro! È una relazione fondamentale, per esempio, nello studio degli ingranaggi : pensa a un pignone che muove una ruota condotta.
La precisazione che $r$ è piccolo rispetto a $R$ serve, nel tuo caso, per semplificare il calcolo della variazione di quota e quindi di $E_p $ : ti riferisci infatti al punto di contatto in basso, e non al reale abbassamento di $C$, che sarebbe : $h = R/2-r$ !
Occhio!
La precisazione che $r$ è piccolo rispetto a $R$ serve, nel tuo caso, per semplificare il calcolo della variazione di quota e quindi di $E_p $ : ti riferisci infatti al punto di contatto in basso, e non al reale abbassamento di $C$, che sarebbe : $h = R/2-r$ !
Occhio!
Perfetto... tutto chiarissimo! Grazie ancora... siete fantastici XD
Comunque il mio nome è Alfonso
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