Cilindro conduttore con densità di carica non uniforme
Salve a tutti! Sto svolgendo il seguente esercizio di Fisica II e ho qualche dubbio sui punti che ho fatto finora e sull'ultimo punto richiesto, vi chiedo perciò aiuto. Grazie in anticipo!
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(a)
Per la determinazione della corrente che scorre nel cilindro conduttore, ho considerato la definizione della corrente in funzone della densità di corrente, ossia:
\(\displaystyle I = \int_{S} \overline{J} d\overline{S} = \int_{R}^{2R} (\beta r \hat{z}) \hat{n} 2 \pi r dr = \int_{R}^{2R} 2 \pi \beta r^{2} dr = 2\pi \beta [{r^{3} \over 3}]_{R}^{2R} \Rightarrow I = { 14 \over 3} \pi \beta R^{3}\)
Una volta determinata così la corrente che scorre nel filo, per la determinazione dell'andamento del campo magnetico è possibile applicare il teorema della circuitazione di Ampère, considerando prima una curva circolare con centro sull'asse del cilindro e raggio \(\displaystyle R2R \) ed infine una con \(\displaystyle 0
\(\displaystyle B(r) = {7 \over 3r} \mu_{0} \beta R^{3} \) per \(\displaystyle R2R \)
\(\displaystyle B(r) = 0 \) per \(\displaystyle 0
(b)
Per la determinazione della caduta di potenziale su 1m di filo, possiamo utilizzare la definizione di conducibilità elettrica, espressa dalla relazione:
\(\displaystyle \sigma = {J l \over \Delta V} = {J_{0} l \over \Delta V} \)
La differenza di potenziale è quindi su 1m di filo, pari a :
\(\displaystyle \Delta V = {J_{0} ( 1m) \over (1,7 \cdot 10^{8} {S\over m})} \)
(c)
Per ques'ultim punto, possiamo subito individuare la direzione della forza che si esercita sull'elettrone, diretta con verso entrante nel foglio ed ortogonale all'asse z, ed il suo modulo, tramite la relazione:
\(\displaystyle \overline{F}_{L} = (e^{-}) \overline{v_{0}} \times \overline{B}(3R) \)
Quindi deduciamo che la distribuzione di carica volumica \(\displaystyle \rho_{0} \) deve andare a generare una forza uguale ed opposta a quella appena calcolata. Tuttavia mi verrebbe da dire che tale distribuzione deve generare una corrente diretta in verso opposto rispetto a quella che scorre sul cilindro conduttore, di modo da generare un campo magnetico opposto. Come procedere quindi? Ho sbagliato qualcosa nei punti precedenti? Grazie a tutti per l'aiuto!
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(a)
Per la determinazione della corrente che scorre nel cilindro conduttore, ho considerato la definizione della corrente in funzone della densità di corrente, ossia:
\(\displaystyle I = \int_{S} \overline{J} d\overline{S} = \int_{R}^{2R} (\beta r \hat{z}) \hat{n} 2 \pi r dr = \int_{R}^{2R} 2 \pi \beta r^{2} dr = 2\pi \beta [{r^{3} \over 3}]_{R}^{2R} \Rightarrow I = { 14 \over 3} \pi \beta R^{3}\)
Una volta determinata così la corrente che scorre nel filo, per la determinazione dell'andamento del campo magnetico è possibile applicare il teorema della circuitazione di Ampère, considerando prima una curva circolare con centro sull'asse del cilindro e raggio \(\displaystyle R
\(\displaystyle B(r) = {7 \over 3r} \mu_{0} \beta R^{3} \) per \(\displaystyle R
\(\displaystyle B(r) = 0 \) per \(\displaystyle 0
(b)
Per la determinazione della caduta di potenziale su 1m di filo, possiamo utilizzare la definizione di conducibilità elettrica, espressa dalla relazione:
\(\displaystyle \sigma = {J l \over \Delta V} = {J_{0} l \over \Delta V} \)
La differenza di potenziale è quindi su 1m di filo, pari a :
\(\displaystyle \Delta V = {J_{0} ( 1m) \over (1,7 \cdot 10^{8} {S\over m})} \)
(c)
Per ques'ultim punto, possiamo subito individuare la direzione della forza che si esercita sull'elettrone, diretta con verso entrante nel foglio ed ortogonale all'asse z, ed il suo modulo, tramite la relazione:
\(\displaystyle \overline{F}_{L} = (e^{-}) \overline{v_{0}} \times \overline{B}(3R) \)
Quindi deduciamo che la distribuzione di carica volumica \(\displaystyle \rho_{0} \) deve andare a generare una forza uguale ed opposta a quella appena calcolata. Tuttavia mi verrebbe da dire che tale distribuzione deve generare una corrente diretta in verso opposto rispetto a quella che scorre sul cilindro conduttore, di modo da generare un campo magnetico opposto. Come procedere quindi? Ho sbagliato qualcosa nei punti precedenti? Grazie a tutti per l'aiuto!
Risposte
"Cosmoi":
Quindi deduciamo che la distribuzione di carica volumica \(\displaystyle \rho_{0} \) deve andare a generare una forza uguale ed opposta a quella appena calcolata. Tuttavia mi verrebbe da dire che tale distribuzione deve generare una corrente diretta in verso opposto rispetto a quella che scorre sul cilindro conduttore, di modo da generare un campo magnetico opposto.
Guarda che si tratta di cariche ferme, la forza è di tipo elettrostatico
Sì, giusto perdonami, non mi ero accorto di questa cosa ovvia. Quindi avrò una distribuzione di carica volumica positiva che genererà un campo elettrico che con la forza di Coulomb, in questo caso attrattiva, andrà ad equilibrare la forza di Lorentz che si produce invece sull'elettrone a causa della presenza del campo magnetico generato dalla corrente sul cilindro conduttore.
Allora avrei svolto così l'ultimo punto:
(c)
Sappiamo che l'elettrone si muove con velocità costante \(\displaystyle v_{0} \) diretta verso l'alto lungo l'asse \(\displaystyle z \) e che è immerso nel campo induzione magnetica generato dalla corrente che scorre nel cilindro. Il campo induzione magnetica è diretto lungo il versore \(\displaystyle \hat{\phi} \) rispetto ad un sistema di coordinate cilindriche che vede l'asse \(\displaystyle z \) coincidente con l'asse del cilindro. Sull'elettrone si genera quindi una forza di Lorentz data da:
\(\displaystyle \overline{F}_{L} = (e^{-})\overline{v}_{0} \times \overline{B}(3R) = (e^{-})v_{0}\hat{z} \times B(3R) \hat{\phi}= F_{L} (-\hat{r}) \Rightarrow \overline{F}_{L} = -(e^{-})v_{0}{7\over 9} \mu_{0} \beta R^{2} \hat{r}\)
Tale forza sarà diretta lungo il versore \(\displaystyle -\hat{r} \), di conseguenza deduciamo che la forza di natura elettrostatica dovuta alla distribuzione di carica volumica \(\displaystyle \rho_{0} \) dovrà essere di tipo repulsivo. Determiniamo tale distribuzione di carica imponendo la condizione che la forza elettrostatica esercitata da tale distribuzione e la forza di Lorentz sull'elettrone diano risultante nullo, cioè:
\(\displaystyle \overline{F}_{e} + \overline{F}_{L} = 0 \Rightarrow \overline{F}_{e} = -\overline{F}_{L} \Rightarrow {(e^{-}) (\rho_{0}) \over 4\pi \epsilon_{0} (2R)^{2}} =-(e^{-})v_{0}{7\over 9} \mu_{0} \beta R^{2} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \rho_{0} = -16\pi \epsilon_{0} \mu_{0} \beta {7 \over 9} v_{0} \)
Giusto o mi sto perdendo qualcosa?
(c)
Sappiamo che l'elettrone si muove con velocità costante \(\displaystyle v_{0} \) diretta verso l'alto lungo l'asse \(\displaystyle z \) e che è immerso nel campo induzione magnetica generato dalla corrente che scorre nel cilindro. Il campo induzione magnetica è diretto lungo il versore \(\displaystyle \hat{\phi} \) rispetto ad un sistema di coordinate cilindriche che vede l'asse \(\displaystyle z \) coincidente con l'asse del cilindro. Sull'elettrone si genera quindi una forza di Lorentz data da:
\(\displaystyle \overline{F}_{L} = (e^{-})\overline{v}_{0} \times \overline{B}(3R) = (e^{-})v_{0}\hat{z} \times B(3R) \hat{\phi}= F_{L} (-\hat{r}) \Rightarrow \overline{F}_{L} = -(e^{-})v_{0}{7\over 9} \mu_{0} \beta R^{2} \hat{r}\)
Tale forza sarà diretta lungo il versore \(\displaystyle -\hat{r} \), di conseguenza deduciamo che la forza di natura elettrostatica dovuta alla distribuzione di carica volumica \(\displaystyle \rho_{0} \) dovrà essere di tipo repulsivo. Determiniamo tale distribuzione di carica imponendo la condizione che la forza elettrostatica esercitata da tale distribuzione e la forza di Lorentz sull'elettrone diano risultante nullo, cioè:
\(\displaystyle \overline{F}_{e} + \overline{F}_{L} = 0 \Rightarrow \overline{F}_{e} = -\overline{F}_{L} \Rightarrow {(e^{-}) (\rho_{0}) \over 4\pi \epsilon_{0} (2R)^{2}} =-(e^{-})v_{0}{7\over 9} \mu_{0} \beta R^{2} \)
\(\displaystyle \Rightarrow \rho_{0} = -16\pi \epsilon_{0} \mu_{0} \beta {7 \over 9} v_{0} \)
Giusto o mi sto perdendo qualcosa?
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