Cilindro con compressione isoterma irreversibile
Ciao a tutti.
Ho un problema da risolvere che mi sta dando problemi.
Un cilindro contenente elio è posto a contatto con una sorgente di calore ed è chiuso da un pistone
di massa trascurabile che può scorrere senza attriti. Inizialmente il pistone si trova ad un’altezza h = 20 cm dalla base del sistema e la pressione atmosferica lo mantiene in equilibrio.
Successivamente si posa sul pistone una massa m =10 kg . Determinare il calore Q che il gas
scambia con la sorgente per raggiungere il nuovo stato di equilibrio.
So che è una compressione isoterma irreversibile ma non saprei come impostare il problema per determinare il calore scambiato.
La pressione finale dovrebbe essere la somma tra quella atmosferica e rapporto tra mg e area del pistone
Per il lavoro avrei pensato alla formula per le irreversibili che mi da nRTo(1-po/patm)
Qualcuno può aiutarmi?
Ho un problema da risolvere che mi sta dando problemi.
Un cilindro contenente elio è posto a contatto con una sorgente di calore ed è chiuso da un pistone
di massa trascurabile che può scorrere senza attriti. Inizialmente il pistone si trova ad un’altezza h = 20 cm dalla base del sistema e la pressione atmosferica lo mantiene in equilibrio.
Successivamente si posa sul pistone una massa m =10 kg . Determinare il calore Q che il gas
scambia con la sorgente per raggiungere il nuovo stato di equilibrio.
So che è una compressione isoterma irreversibile ma non saprei come impostare il problema per determinare il calore scambiato.
La pressione finale dovrebbe essere la somma tra quella atmosferica e rapporto tra mg e area del pistone
Per il lavoro avrei pensato alla formula per le irreversibili che mi da nRTo(1-po/patm)
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Se consideri il gas perfetto, le pressioni e i volumi dell’isoterma sono legati dall’equazione di Boyle-Mariotte:
$p_1v_2 = p_2v_2$
Il lavoro di dilatazione o compressione è definito dalla relazione generale : $l_(12) = \int_(p_1)^(p_2) pdv $
e per un gas perfetto puoi scrivere : $ l_(12) = RT ln ((v_2)/(v_1)) = RT ln ((p_1)/(p_2))$
La quantitá di calore fornita al sistema, o ceduta dal sistema, in una trasformazione isotermica è data da :
$dq = Tds$ , e essendo $T =$ costante : $q_(12) = T (s_2-s_1) $
la variazione di entropia in una trasformazione isotermica , per un gas perfetto, è data semplicemente da :
$s_2 (p_2,T) - s_1(p_1,T) = R ln ((p_1)/(p_2)) $
Ma non c’è neanche bisogno di questo. Infatti, per il 1º principio della termodinamica , siccome per un gas perfetto : $du = c_vdT $ , si ha :
$dq = c_vdT +pdv$
ed essendo la trasformazione isotermica : $dq= pdv$
Perciò, la quantità di calore fornito o sottratto al gas perfetto è uguale alla quantità di lavoro eseguito o subito dal gas perfetto, naturalmente nelle opportune unitá di misura :
$q_(12) = l_(12) $
$p_1v_2 = p_2v_2$
Il lavoro di dilatazione o compressione è definito dalla relazione generale : $l_(12) = \int_(p_1)^(p_2) pdv $
e per un gas perfetto puoi scrivere : $ l_(12) = RT ln ((v_2)/(v_1)) = RT ln ((p_1)/(p_2))$
La quantitá di calore fornita al sistema, o ceduta dal sistema, in una trasformazione isotermica è data da :
$dq = Tds$ , e essendo $T =$ costante : $q_(12) = T (s_2-s_1) $
la variazione di entropia in una trasformazione isotermica , per un gas perfetto, è data semplicemente da :
$s_2 (p_2,T) - s_1(p_1,T) = R ln ((p_1)/(p_2)) $
Ma non c’è neanche bisogno di questo. Infatti, per il 1º principio della termodinamica , siccome per un gas perfetto : $du = c_vdT $ , si ha :
$dq = c_vdT +pdv$
ed essendo la trasformazione isotermica : $dq= pdv$
Perciò, la quantità di calore fornito o sottratto al gas perfetto è uguale alla quantità di lavoro eseguito o subito dal gas perfetto, naturalmente nelle opportune unitá di misura :
$q_(12) = l_(12) $
Attenzione che le relazioni scritte da Shackle per il lavoro isotermo valgono solo nel caso di trasformazione reversibile.
In questo caso il lavoro va calcolato solo determinando di quanto si abbassa il pistone e conoscendo la pressione ambiente esterna e quella data dai pesi.
Infine applicando il primo principio come sottolineato da Shackle è possibile calcolare il calore scambiato visto che il gas è perfetto (quindi l'energia interna non varia se non varia la temperatura).
In questo caso il lavoro va calcolato solo determinando di quanto si abbassa il pistone e conoscendo la pressione ambiente esterna e quella data dai pesi.
Infine applicando il primo principio come sottolineato da Shackle è possibile calcolare il calore scambiato visto che il gas è perfetto (quindi l'energia interna non varia se non varia la temperatura).
"Faussone":
Attenzione che le relazioni scritte da Shackle per il lavoro isotermo valgono solo nel caso di trasformazione reversibile.
Si certo, si tratterebbe di una trasformazione che puoi rappresentare sul piano (p,v) con una iperbole. Chiedo venia.
"Shackle":
[quote="Faussone"]Attenzione che le relazioni scritte da Shackle per il lavoro isotermo valgono solo nel caso di trasformazione reversibile.
Si certo, si tratterebbe di una trasformazione che puoi rappresentare sul piano (p,v) con una iperbole. Chiedo venia.[/quote]
Sì, ma se la trasformazione è IRreversibile non conosci a rigore gli stadi intermedi del gas, ma solo inizio e fine (per questo le trasformazioni irreversibili si rappresentano con linee tratteggiate). Quindi ci fai poco con con quella curva, se lo scopo è calcolare il lavoro.
Grazie mille per il vostro aiuto.
Però ho un problema quando determino il Lavoro per una trasformazione irreversibile
\(\displaystyle L=-\lmoustache pext \Delta V \)
con
\(\displaystyle Po= Pa + mg/S (S=\pi r^2 h) \)
\(\displaystyle \Delta V = Vb - Va \) di cui non dispongo ma posso ricavare con l'equazione dei gas ideali
e avrei \(\displaystyle NRT0/Po - NRT0/Pa \) ma non ho neanche N o T
E qui mi fermo perchè non ho idea di come continuare
Un'altra idea che mi è venuta è quello di calcolare il calore utilizzando le formule viste per il principio di equivalenza calore - lavoro ovvero \(\displaystyle L = mgh \)
Però ho un problema quando determino il Lavoro per una trasformazione irreversibile
\(\displaystyle L=-\lmoustache pext \Delta V \)
con
\(\displaystyle Po= Pa + mg/S (S=\pi r^2 h) \)
\(\displaystyle \Delta V = Vb - Va \) di cui non dispongo ma posso ricavare con l'equazione dei gas ideali
e avrei \(\displaystyle NRT0/Po - NRT0/Pa \) ma non ho neanche N o T
E qui mi fermo perchè non ho idea di come continuare
Un'altra idea che mi è venuta è quello di calcolare il calore utilizzando le formule viste per il principio di equivalenza calore - lavoro ovvero \(\displaystyle L = mgh \)
Considera che hai le seguenti relazioni:
$p_1 V_1 = p_2 V_2$
(per trasformazioni isoterme vale tale relazione che deriva dalla equazione dei gas perfetti)
$p_2=p_1+(mg)/S$
$V_1=h_1S$
$V_2=h_2 S$
Se sai $S$ puoi trovare tutto, altrimenti mi pare che in effetti manchi un dato.
$p_1 V_1 = p_2 V_2$
(per trasformazioni isoterme vale tale relazione che deriva dalla equazione dei gas perfetti)
$p_2=p_1+(mg)/S$
$V_1=h_1S$
$V_2=h_2 S$
Se sai $S$ puoi trovare tutto, altrimenti mi pare che in effetti manchi un dato.
Sì, ma se la trasformazione è reversibile non conosci a rigore gli stadi intermedi del gas, ma solo inizio e fine (per questo le trasformazioni irreversibili si rappresentano con linee tratteggiate). Quindi ci fai poco con con quella curva, se lo scopo è calcolare il lavoro.
ma è quello che ho inteso dire, forse non sono stato chiaro ? Correggi il lapis.
@Shackle.
Ok se volevi dire quello va bene, io avevo inteso che volessi dire che il lavoro si dovesse calcolare in questo problema direttamente dall'integrale e quindi dalla relazione che conseguiva facendo quell'integrale usando in ogni punto della curva la legge dei gas perfetti, il che non è visto che la trasformazione è appunto IRreversibile.
Correggo il lapsus (refuso) nel messaggio precedente grazie. Tu correggi il lapis (:-D, lo so che era un battuta, vabbè poi più che il lapis qui sono le dita che sono state pigre).
Ok se volevi dire quello va bene, io avevo inteso che volessi dire che il lavoro si dovesse calcolare in questo problema direttamente dall'integrale e quindi dalla relazione che conseguiva facendo quell'integrale usando in ogni punto della curva la legge dei gas perfetti, il che non è visto che la trasformazione è appunto IRreversibile.
Correggo il lapsus (refuso) nel messaggio precedente grazie. Tu correggi il lapis (:-D, lo so che era un battuta, vabbè poi più che il lapis qui sono le dita che sono state pigre).
Ok , era proprio quello che volevo dire. Ogni tanto mi piace scherzare, ricordando il grande Totó , che diceva “lapis” . 
"Faussone":
Considera che hai le seguenti relazioni:
$p_1 V_1 = p_2 V_2$
(per trasformazioni isoterme vale tale relazione che deriva dalla equazione dei gas perfetti)
$p_2=p_1+(mg)/S$
$V_1=h_1S$
$V_2=h_2 S$
Se sai $S$ puoi trovare tutto, altrimenti mi pare che in effetti manchi un dato.
Ho provato ma niente da fare...
Credo che ci sia qualcosa che manchi
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