Cilindro che rotola con molla
Ho allegato l'immagine del problema, di cui voglio ottenere l'equazione del modo del baricentro $ xg $ .
Ho utilizzato prima i metodi della riduzione ad un sistema equivalente sull'asse $ xg $ e il metodo di d'Alambert (lavori=variazione energia cinetica) ottenendo in entrambi casi l'equazione:
$ acg((Ig)/r^2 +m)+xg((4k)/r^2 (a+r)^2)=0 $ con $ acg $ = accelerazione del baricentro e $ xg $ il suo spostamento,
$ Ig $ = momento d'inerzia rispetto al baricentro.
Invece se provo a risolvere con le equazioni di corpo libero mi trovo un risultato diverso:
$ { ( F*r-Ig*acTheta-2k*xa*a=0),( m*acg-2k*xa-F=0 ):} $ con $ acTheta $ = accelerazione angolare, $ F $ = forza d'attrito, $ xa $ = spostamento del punto in cui sono collegate le due molle..Non vi scrivo il risultato che mi esce con questo sistema,potete solo aiutarmi a capire dove sbaglio ad impostarlo? (Penso che il risultato che ottengo con i primi due metodi sia giusto).
Grazie in anticipo e scusate per come ho scritto le formule ma sono alle prime armi nel forum!
Ho utilizzato prima i metodi della riduzione ad un sistema equivalente sull'asse $ xg $ e il metodo di d'Alambert (lavori=variazione energia cinetica) ottenendo in entrambi casi l'equazione:
$ acg((Ig)/r^2 +m)+xg((4k)/r^2 (a+r)^2)=0 $ con $ acg $ = accelerazione del baricentro e $ xg $ il suo spostamento,
$ Ig $ = momento d'inerzia rispetto al baricentro.
Invece se provo a risolvere con le equazioni di corpo libero mi trovo un risultato diverso:
$ { ( F*r-Ig*acTheta-2k*xa*a=0),( m*acg-2k*xa-F=0 ):} $ con $ acTheta $ = accelerazione angolare, $ F $ = forza d'attrito, $ xa $ = spostamento del punto in cui sono collegate le due molle..Non vi scrivo il risultato che mi esce con questo sistema,potete solo aiutarmi a capire dove sbaglio ad impostarlo? (Penso che il risultato che ottengo con i primi due metodi sia giusto).
Grazie in anticipo e scusate per come ho scritto le formule ma sono alle prime armi nel forum!
Risposte
Mah. E perche complicarsi la vita?
Un'equazione di momento nel punto di contatto ti elimina la forza di attrito.
Al netto di errori, usando la dinamica a me risulta:
$ 3/2mR^2\ddotx+2k(R+a)^2x=0 $
Non ho controllato come fai tu, anche perche mi devo riscrivere le formule che hai scritto un po' male.
Un'equazione di momento nel punto di contatto ti elimina la forza di attrito.
Al netto di errori, usando la dinamica a me risulta:
$ 3/2mR^2\ddotx+2k(R+a)^2x=0 $
Non ho controllato come fai tu, anche perche mi devo riscrivere le formule che hai scritto un po' male.
Ciao. Nella tua formula non si dovrebbe dividere il secondo termine per R , essendo lo spostamento del punto in cui sono collegate le molle $ xa=(xg)/r*(a+r) $ ?
Guarda che la tua prima formula e la mia soluzione sono quasi uguali.
L'unica cosa che non torna e' che tu usi 4k, io invece mi trovo con un 2k (puo' darsi che abbia sbagliato io, dovrei ricontrollare, ma ora sono fuori). Il resto e' identico (per me $x$ e' la coordinata del baricentro, il tuo $x_g$.
Dovresti riaggiustare le formule, per come le metti viene veramente male a leggerle, specialmente da un Ipad
L'unica cosa che non torna e' che tu usi 4k, io invece mi trovo con un 2k (puo' darsi che abbia sbagliato io, dovrei ricontrollare, ma ora sono fuori). Il resto e' identico (per me $x$ e' la coordinata del baricentro, il tuo $x_g$.
Dovresti riaggiustare le formule, per come le metti viene veramente male a leggerle, specialmente da un Ipad
Si hai ragione, sono praticamente uguali. Infatti io sono convinto che la soluzione sia esatta, però non mi spiego come mai non riesca ad ottenere la stessa soluzione con il diagramma di corpo libero, mettendo a sistema un'equazione per i momenti e una per le forze. Potresti aiutarmi a capire dove sbaglio ad impostare quel determinato sistema (mi va bene anche solo se mi riscrivi le due equazioni corrette,senza risolverlo e senza andare a leggere il mio sistema sbagliato)? Te ne sarei infinitamente grato.
Rispetto a un polo fisso parallelo all'asse del cilindro e situato alla stessa quota (R):
$ { ( -2K(x_g+a\theta)+F_a=m\ddotx_g ),( -2k(x_g+a\theta)a-F_aR=I_G\ddot\theta):} $
Dove $\theta=x_G/R$ e ovviamente $\ddot\theta=\ddotx_G/R$
Risolvi (basta moltlplicare la prima per R e sommare membro a membro per eliminare la $F_a$ e vedi che ti esce. Non riesco a capire come hai scritto tu le tue.
$ { ( -2K(x_g+a\theta)+F_a=m\ddotx_g ),( -2k(x_g+a\theta)a-F_aR=I_G\ddot\theta):} $
Dove $\theta=x_G/R$ e ovviamente $\ddot\theta=\ddotx_G/R$
Risolvi (basta moltlplicare la prima per R e sommare membro a membro per eliminare la $F_a$ e vedi che ti esce. Non riesco a capire come hai scritto tu le tue.
Adesso mi trovo, grazie moltissimo per l'aiuto.
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