Cilindro, carrucola e piano inclinato

[saffo1]

Sto provando a risolvere questo problema di una vecchia prova d'esame ma non riesco ad andare oltre alle equazioni delle forze e dei momenti perché ho troppe incognite. Grazie mille a chi mi dà una mano!

Un filo `e arrotolato attorno ad un cilindro di massa m1 e raggio R inizialmente in quiete su un piano che forma un angolo α con il terreno. Il filo rimane parallelo al piano inclinato, passa senza attrito sopra ad un piolo ed è agganciato ad una massa m2. Il cilindro, una volta in movimento, può unicamente rotolare senza strisciare.

a) determinare l'accelerazione a1 del centro di massa del cilindro e l'accelerazione a2 della massa sospesa.
b) determinare il rapporto m1/m2 per il quale il cilindro rotola giù.



Questo è ciò che ho scritto:

m2g-T2=m2a2
N-m1gcos(alfa)=0
m1gsen(alfa)-T1=m1a1
T1R=1/2 (m1aR)

[professorkappa]

Usi l'editor e riscrivi le formule per favore? Una figura poi toglierebbe ogni dubbio sulla configurazione del sistema.
Grazie.

[professorkappa]

Se interpreto bene il sistema, mi pare che non ci sei con le formule.

L'equazione di momento rispetto al punto di contatto del cilindro, detta T la tensione della fune e;

$2TR-m_1gRsinalpha=[3m_1R^2]/2ddottheta$ (1)

L'equazione delle forze per il corpo 2 e'

$m_2g-T=m_2ddoty$ (2)

La relazione che lega $y$ a $theta$ e' $y=2Rtheta$, che derivata 2 volte rispetto al tempo fornisce:

$ddoty=2Rddottheta$ (3)

Risolto il sistema di equazioni (1), (2), e (3) si ottiene l'equazione del moto (in $ddottheta$ o $ddoty$, come preferisci tu).

Io preferisco risolvere per $ddottheta$, e a me da un risultato: $ddottheta=[2g(2m_2-m_1sinalpha)]/[(3m_1+8m_2)R]$ (4)

L'accelerazione del CdM del rotolo e' pertanto $a_[cm]=[2g(2m_2-m_1sinalpha)]/[(3m_1+8m_2)]$

Quella della massa sospesa e', dalla (3) e tenendo conto di (4),

$ddoty=[4g(2m_2-m_1sinalpha)]/[(3m_1+8m_2)]=2a_[cm]$

Il cilindro rotola verso il basso quando $2m_2-m_1sinalpha<0$, ovvero quando $m_2/m_1

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[saffo1]

Grazie dell'aiuto! Adesso mi torna.

[saffo1]

Non capisco però una cosa. Come mai se scelgo come polo il centro di massa non viene?

[professorkappa]

Viene. Sbagli qualcosa ovviamente. Scrivi le equazioni (con l editor) e vediamo dove è l'errore. Buon anno

[saffo1]

Ho riscritto le equazioni così. Con $ a1 $ ho indicato l'accelerazione del cilindro, $ a2 $ è quella dell'altra massa e $ a(cm) $ è l'accelerazione del centro di massa del cilindro. Spero si capisca meglio



$ (m2*g)-T=m2*a2 $
$ (m1*g*senalpha )-T=m1*a1 $
$ (m1*g*cosalpha )-N=0 $
$ a1=a(cm)*alpha R=2a(cm) $
$ T*R=1/2*m1R*a(cm) $

[professorkappa]

Manca la forza di attrito tra disco e piano, nella seconda e nella quarta la devi considerare.
La terza e' corretta ma non ti serve.

[saffo1]

Perfetto! Grazie mille dell'aiuto. Buon anno!

[Jeronimus]

Ciao. Sto facendo questo stesso esercizio e non capisco questa equazione

$a1=a_(cm)⋅αR=2a_(cm)$

Come la ricavo?