Cifre significative dei parametri del best-fit
Ho un set di misure dello spazio con 3 cifre significative e un set di misure della temperatura con 4 cifre significative.
In un grafico cartesiano T-x ho rappresentato i punti sperimentali e con un programma ho determinato i parametri(e relativi errori) della curva che passa meglio per i punti sperimentali. Il problema è che il programma mi comunica i parametri con 4 cifre significative decimali. Quante cifre significative devo prendere per comunicare i parametri?
In un grafico cartesiano T-x ho rappresentato i punti sperimentali e con un programma ho determinato i parametri(e relativi errori) della curva che passa meglio per i punti sperimentali. Il problema è che il programma mi comunica i parametri con 4 cifre significative decimali. Quante cifre significative devo prendere per comunicare i parametri?
Risposte
forse devi dire di più della curva che citi. E' un polinomio interpolatore, o è un polinomio di best-fit di grado inferiore, o cos'altro?
ho fatto una domanda sciocca nel post prcedente, perché effettivamente già nel titolo parli di best-fit.
E' un problema che non mi sono mai posto, quindi non dispongo di una risposta; ti dico come ragionerei io (da ingegnere), poi vedi se è applicabile alla tua curva. Magari qualche matematico interverrà per indirizzare meglio il tema.
Sia $y=f(x)$ la funzione che hai trovato, e $C_i$ gli $N$ parametri che la individuano. Ad una data coppia di dati sperimentali $(x_i,y_i)$ la curva associa un errore $e_i=y_i-f(x_i)$. Sia $r$ il punto a cui corrisponde l'errore massimo. Vediamo come questo errore dipende dal parametro $C_j$, calcolando il differenziale di questo errore rispetto a questo parametro (mantenendo gli altri costanti).
Abbiamo quindi che $de_r=-(delf(x_r))/(delC_j)dC_j$ e anche $(dC_j)/(C_j)=-e_r/(C_j)1/((delf(x_r))/(delC_j))(de_r)/(e_r)$.
A questo punto, decidi qual'è l'errore percentuale che puoi accettare per effetto del troncamento, per esempio che deve essere $(de_r)/(e_r)=0.1$. Sostituisci questo valore nella relazione trovata, insieme con tutti gli altri valori, e trovi il valore $(dC_j)/(C_j)$ che poi accettare, da cui il numero di cifre da utilizzare.
Se fai questo per ogni parametro, potrai decidere di utilizzare per tutti il numero di cifre che hai per il parametro più "demanding".
Sicuramente si potranno usare altri approcci. Mi viene da pensare per esempio ad uno simile, che però traguarda non solo l'errore massimo, ma la somma dei quadrati degli errori, per poi ragionare in modo simile. Vedi tu come è meglio per te.
Bisognerebbe riflettere anche su come si cumulano gli errori di troncamento di tutti i parametri.
Magari in una seconda puntata.
E' un problema che non mi sono mai posto, quindi non dispongo di una risposta; ti dico come ragionerei io (da ingegnere), poi vedi se è applicabile alla tua curva. Magari qualche matematico interverrà per indirizzare meglio il tema.
Sia $y=f(x)$ la funzione che hai trovato, e $C_i$ gli $N$ parametri che la individuano. Ad una data coppia di dati sperimentali $(x_i,y_i)$ la curva associa un errore $e_i=y_i-f(x_i)$. Sia $r$ il punto a cui corrisponde l'errore massimo. Vediamo come questo errore dipende dal parametro $C_j$, calcolando il differenziale di questo errore rispetto a questo parametro (mantenendo gli altri costanti).
Abbiamo quindi che $de_r=-(delf(x_r))/(delC_j)dC_j$ e anche $(dC_j)/(C_j)=-e_r/(C_j)1/((delf(x_r))/(delC_j))(de_r)/(e_r)$.
A questo punto, decidi qual'è l'errore percentuale che puoi accettare per effetto del troncamento, per esempio che deve essere $(de_r)/(e_r)=0.1$. Sostituisci questo valore nella relazione trovata, insieme con tutti gli altri valori, e trovi il valore $(dC_j)/(C_j)$ che poi accettare, da cui il numero di cifre da utilizzare.
Se fai questo per ogni parametro, potrai decidere di utilizzare per tutti il numero di cifre che hai per il parametro più "demanding".
Sicuramente si potranno usare altri approcci. Mi viene da pensare per esempio ad uno simile, che però traguarda non solo l'errore massimo, ma la somma dei quadrati degli errori, per poi ragionare in modo simile. Vedi tu come è meglio per te.
Bisognerebbe riflettere anche su come si cumulano gli errori di troncamento di tutti i parametri.
Magari in una seconda puntata.
nella notazione che ho usato nel post precedente non sono stato preciso, anzi, riguardo la funzione.
Penso comunque che sia chiaro che quando dico che voglio valutare la dipendenza dell'errore dai parametri da cui dipende la funzione, intendo che, fissato il punto $r$, devo considerare la funzione dei parametri, non più dei punti. In altre parole, quando ho scritto $f(x_r)$, questa va intesa come $f(C_1,C_2,...,C_N,x_r)$. Quindi quando ho scritto $(delf(x_r))/(delC_j)$ bisogna intenderla come $(delf(C_1,C_2,.,C_j,..,C_N,x_r))/(delC_j)$.
Penso comunque che sia chiaro che quando dico che voglio valutare la dipendenza dell'errore dai parametri da cui dipende la funzione, intendo che, fissato il punto $r$, devo considerare la funzione dei parametri, non più dei punti. In altre parole, quando ho scritto $f(x_r)$, questa va intesa come $f(C_1,C_2,...,C_N,x_r)$. Quindi quando ho scritto $(delf(x_r))/(delC_j)$ bisogna intenderla come $(delf(C_1,C_2,.,C_j,..,C_N,x_r))/(delC_j)$.
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