Cifre significative
Buongiorno!
Vorrei avere qualche chiarimento in merito alle cifre significative.
Correggetemi se sbaglio:
le cifre significative di una misura sono calcolate a partire dal primo numero diverso da zero leggendo da sinistra verso destra,
ad esempio $0,0004$ ha una sola cifra significativa, mentre $1,0004$ ne ha cinque.
Quando si fanno operazioni con cifre significative bisogna sempre tenere quelle della misura meno precisa (quindi che ha meno cifre significative) e l'ultima la si approssima col numero successivo se quella successiva è $>=5$, altrimenti con quello precedente.
Mi chiedevo, nella risoluzione di problemi di fisica quando si scrive il risultato ci si basa sulle cifre significative dei dati forniti (fornendo quelle della misura meno precisa)?
Per esempio (i dati sono abbastanza assurdi ma è solo per capire):
Se io ho un punto materiale che percorre $3856Km$ in $0,00004 min$, la sua velocità media si calcola facendo:
$DeltaS=(3856*1000)m=3856000m$;
$Deltat=(0,00004*60)s=0,0024s$.
Quindi $V_m=(DeltaS)/(Deltat)=1,61*10^9m/s$.
Il risultato che fornisco però è:
$V_m=2m/s$ perche $Deltat$ aveva una sola cifra significativa e dopo $1$ c'è $6$ che è $>5$.
Corretto? Quindi guardo solo i dati e il risultato finale per fornire le cifre, non ne devo in qualche modo tenere conto durante lo svolgimento, giusto (questa domanda diventa chiaramente importante in un problema con tanti calcoli da fare)?
Grazie mille e buona giornata!
Vorrei avere qualche chiarimento in merito alle cifre significative.
Correggetemi se sbaglio:
le cifre significative di una misura sono calcolate a partire dal primo numero diverso da zero leggendo da sinistra verso destra,
ad esempio $0,0004$ ha una sola cifra significativa, mentre $1,0004$ ne ha cinque.
Quando si fanno operazioni con cifre significative bisogna sempre tenere quelle della misura meno precisa (quindi che ha meno cifre significative) e l'ultima la si approssima col numero successivo se quella successiva è $>=5$, altrimenti con quello precedente.
Mi chiedevo, nella risoluzione di problemi di fisica quando si scrive il risultato ci si basa sulle cifre significative dei dati forniti (fornendo quelle della misura meno precisa)?
Per esempio (i dati sono abbastanza assurdi ma è solo per capire):
Se io ho un punto materiale che percorre $3856Km$ in $0,00004 min$, la sua velocità media si calcola facendo:
$DeltaS=(3856*1000)m=3856000m$;
$Deltat=(0,00004*60)s=0,0024s$.
Quindi $V_m=(DeltaS)/(Deltat)=1,61*10^9m/s$.
Il risultato che fornisco però è:
$V_m=2m/s$ perche $Deltat$ aveva una sola cifra significativa e dopo $1$ c'è $6$ che è $>5$.
Corretto? Quindi guardo solo i dati e il risultato finale per fornire le cifre, non ne devo in qualche modo tenere conto durante lo svolgimento, giusto (questa domanda diventa chiaramente importante in un problema con tanti calcoli da fare)?
Grazie mille e buona giornata!
Risposte
Le regole sull'uso delle cifre significative sono un tentativo di tenere conto dell'errore nelle misure senza includere tale errore direttamente nei calcoli. Quando scrivi \(4\) (una cifra significativa) puoi insomma avere in realtà qualsiasi valore in \([3.5, 4.5)\). Ma se scrivessi \(4.0\) allora i valori possibili sono inclusi in \([3.95, 4.05)\) che è un intervallo molto inferiore.
Per lavorare in modo più formale, un numero (che assumo positivo per comodità) con \(k\) cifre significative può essere scritto nella forma
\[ (M + \epsilon) \times 10^D \]
dove la mantissa \(10^{k-1} \leq M < 10^k\) e l'esponente \(D\) sono numero interi e \(-0.5 \leq \epsilon < 0.5\) è l'errore.
Per sommare due numeri di questo tipo devi prima portarli alla potenza di \(10\) più grande e quindi farne la somma per poi eliminare la parte frazionaria. Supponiamo che \(D_1 \ge D_2\) per comodità. Avremo quindi
\[
(M_1 + \epsilon_1) \times 10^{D_1} + (M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2} \approx \big(\textrm{round}(M_1 + M_2 \times 10^{D_2 - D_1}) + \epsilon_+\big)\times 10^{D_1},
\]
dove
\[
\epsilon_+ = \big((M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2 - D_1} - \textrm{round}((M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2 - D_1})\big) + \epsilon_1.
\]
La ragione dell'uso di \(\approx\) nella formula è che l'errore così scritto non è più della forma scritta in precedenza. In effetti l'errore possibile è un po' più grande di quello considerato in precedenza e non è più uniformemente distribuito. Tuttavia, è scelto in modo che solo le cifre che hanno qualche informazione sul valore finale sono considerate e ogni scelta diversa porterebbe o una riduzione dell'informazione o a informazioni false/casuali.
Facciamo un esempio: \(4.23 + 12.3\). In questo caso hai che entrambi hanno \(3\) cifre significative. Tuttavia il primo numero è preciso fino ai centesimi e il secondo fino ai decimi. Quindi il risultato andrà scritto solo fino ai decimi. Nella forma che ho scritto sopra i due numeri sarebbero uguali a \(423 \times 10^{-2}\) e \(123 \times 10^{-1}\). Il risultato sarà scritto nella forma \(165 \times 10^{-1} = 16.5\). Nota che se volessimo scrivere i numeri come intervalli avremmo
\[ [4.225, 2.235) + [12.25, 12.35) = [16.475, 16.585) \nsubseteq [16.45, 16.55). \]
Quindi il metodo fornisce solo un'approssimazione dell'errore corretto. Tuttavia qualsiasi cifra successiva non fornirebbe alcuna informazione utile in quanto sarebbe tutto errore e rimuovere l'ultima cifra toglierebbe troppa informazione (il valore corretto è infatti intorno ai 5 decimi). La sottrazione si calcola nello stesso modo.
Se ora consideriamo il prodotto, prenderemo il numero di cifre significative più piccolo tra le due. Siano \(K \ge L\) i due numeri di cifre significative e \(D_1 \ge D_2\) i due esponenti. Abbiamo che
\[
\begin{align*}
\big((M_1 + \epsilon_1) \times 10^{D_1}\big) \times \big((M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2}\big) &= (M_1 \times M_2 + M_1 \times \epsilon_2 + \epsilon_1 \times M_2 + \epsilon_1 \times \epsilon_2) \times 10^{D_1 + D_2} \\
&\approx \big(\textrm{round}(M_1 \times M_2 \times 10^{-A}) + \epsilon_\times) \times 10^{D_1 + D_2 + A},
\end{align*}
\]
dove \(A\) è uguale al numero di cifre di \(M_1 \times M_2\) meno \(L\). Anche in questo caso il calcolo facendo uso di intervalli porterebbe ad un errore maggiore, ma l'errore è scelto in modo da avere solo informazioni utili. Facciamo un esempio: \(1.34 \times (1.2 \times 10^2)\). Nella forma che ho scritto sopra avremo
\[ 134 \times 10^{-2} \times 12 \times 10^{2} \approx \mathrm{round}(1608 \times 10^{-2}) \times 10^2 = 16 \times 10^{2}. \]
Nota che usando intervalli avremmo
\[ [1.335, 1.345) \times [1150, 1250) = [1535.25, 1681.25) \nsubseteq [1550, 1650). \]
La divisione è simile.
Per quanto riguarda il tuo esempio abbiamo quindi
\[ \Delta S = 3856\,\mathrm{km} = 3.856 \times 10^6\,\mathrm{m} \]
in un tempo di
\[ \Delta t = 4 \times 10^{-5} \,\mathrm{min} = 2.\underline{4} \times 10^{-3} \,\mathrm{s}. \]
Quindi la velocità sarà
\[
\frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{3.856 \times 10^6 \,\mathrm{m}}{2.\underline{4} \times 10^{-3} \,\mathrm{s}} = 1 \times 10^9 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\]
Puoi notare che ho scritto \(2.\underline{4}\) per indicare che in realtà abbiamo solo una cifra significativa ma che continuo a metterne qualcuna di più per ridurre l'errore totale. La ragione è che l'arrotondamento aggiunge a sua volta un qualche errore. Per cui, conviene farlo solo alla fine memorizzando il numero di cifre effettivamente significative nei calcoli intermedi.
Facciamo un piccolo eserizio, quale sarebbe il valore di
\[ (0.2 + 12.08) \times 34 \]
Per lavorare in modo più formale, un numero (che assumo positivo per comodità) con \(k\) cifre significative può essere scritto nella forma
\[ (M + \epsilon) \times 10^D \]
dove la mantissa \(10^{k-1} \leq M < 10^k\) e l'esponente \(D\) sono numero interi e \(-0.5 \leq \epsilon < 0.5\) è l'errore.
Per sommare due numeri di questo tipo devi prima portarli alla potenza di \(10\) più grande e quindi farne la somma per poi eliminare la parte frazionaria. Supponiamo che \(D_1 \ge D_2\) per comodità. Avremo quindi
\[
(M_1 + \epsilon_1) \times 10^{D_1} + (M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2} \approx \big(\textrm{round}(M_1 + M_2 \times 10^{D_2 - D_1}) + \epsilon_+\big)\times 10^{D_1},
\]
dove
\[
\epsilon_+ = \big((M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2 - D_1} - \textrm{round}((M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2 - D_1})\big) + \epsilon_1.
\]
La ragione dell'uso di \(\approx\) nella formula è che l'errore così scritto non è più della forma scritta in precedenza. In effetti l'errore possibile è un po' più grande di quello considerato in precedenza e non è più uniformemente distribuito. Tuttavia, è scelto in modo che solo le cifre che hanno qualche informazione sul valore finale sono considerate e ogni scelta diversa porterebbe o una riduzione dell'informazione o a informazioni false/casuali.
Facciamo un esempio: \(4.23 + 12.3\). In questo caso hai che entrambi hanno \(3\) cifre significative. Tuttavia il primo numero è preciso fino ai centesimi e il secondo fino ai decimi. Quindi il risultato andrà scritto solo fino ai decimi. Nella forma che ho scritto sopra i due numeri sarebbero uguali a \(423 \times 10^{-2}\) e \(123 \times 10^{-1}\). Il risultato sarà scritto nella forma \(165 \times 10^{-1} = 16.5\). Nota che se volessimo scrivere i numeri come intervalli avremmo
\[ [4.225, 2.235) + [12.25, 12.35) = [16.475, 16.585) \nsubseteq [16.45, 16.55). \]
Quindi il metodo fornisce solo un'approssimazione dell'errore corretto. Tuttavia qualsiasi cifra successiva non fornirebbe alcuna informazione utile in quanto sarebbe tutto errore e rimuovere l'ultima cifra toglierebbe troppa informazione (il valore corretto è infatti intorno ai 5 decimi). La sottrazione si calcola nello stesso modo.
Se ora consideriamo il prodotto, prenderemo il numero di cifre significative più piccolo tra le due. Siano \(K \ge L\) i due numeri di cifre significative e \(D_1 \ge D_2\) i due esponenti. Abbiamo che
\[
\begin{align*}
\big((M_1 + \epsilon_1) \times 10^{D_1}\big) \times \big((M_2 + \epsilon_2) \times 10^{D_2}\big) &= (M_1 \times M_2 + M_1 \times \epsilon_2 + \epsilon_1 \times M_2 + \epsilon_1 \times \epsilon_2) \times 10^{D_1 + D_2} \\
&\approx \big(\textrm{round}(M_1 \times M_2 \times 10^{-A}) + \epsilon_\times) \times 10^{D_1 + D_2 + A},
\end{align*}
\]
dove \(A\) è uguale al numero di cifre di \(M_1 \times M_2\) meno \(L\). Anche in questo caso il calcolo facendo uso di intervalli porterebbe ad un errore maggiore, ma l'errore è scelto in modo da avere solo informazioni utili. Facciamo un esempio: \(1.34 \times (1.2 \times 10^2)\). Nella forma che ho scritto sopra avremo
\[ 134 \times 10^{-2} \times 12 \times 10^{2} \approx \mathrm{round}(1608 \times 10^{-2}) \times 10^2 = 16 \times 10^{2}. \]
Nota che usando intervalli avremmo
\[ [1.335, 1.345) \times [1150, 1250) = [1535.25, 1681.25) \nsubseteq [1550, 1650). \]
La divisione è simile.
Per quanto riguarda il tuo esempio abbiamo quindi
\[ \Delta S = 3856\,\mathrm{km} = 3.856 \times 10^6\,\mathrm{m} \]
in un tempo di
\[ \Delta t = 4 \times 10^{-5} \,\mathrm{min} = 2.\underline{4} \times 10^{-3} \,\mathrm{s}. \]
Quindi la velocità sarà
\[
\frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{3.856 \times 10^6 \,\mathrm{m}}{2.\underline{4} \times 10^{-3} \,\mathrm{s}} = 1 \times 10^9 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\]
Puoi notare che ho scritto \(2.\underline{4}\) per indicare che in realtà abbiamo solo una cifra significativa ma che continuo a metterne qualcuna di più per ridurre l'errore totale. La ragione è che l'arrotondamento aggiunge a sua volta un qualche errore. Per cui, conviene farlo solo alla fine memorizzando il numero di cifre effettivamente significative nei calcoli intermedi.
Facciamo un piccolo eserizio, quale sarebbe il valore di
\[ (0.2 + 12.08) \times 34 \]
Per completare il discorso forse già troppo lungo. L'alternativa all'uso delle cifre significative sarebbe quello di rappresentare tutto come intervalli o scrivendo l'errore in modo esplicito. Quindi nel tuo esempio avremmo ad esempio \(3856 \pm 0.5 \mathrm{km} = 3856000 \pm 500 \mathrm{m}\) e \(0.00004 \pm 0.000005 \mathrm{min} = 0.0024 \pm 0.0003 \mathrm{s}.\) A questo punto il risultato sarebbe più o meno \( (1.6 \pm 0.2) \times 10^9 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}.\)
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