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[msb0ne]

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[professorkappa]

E la derivata di un prodotto di funzioni. Anche se sono parziali, le regole sono le stesse.

[msb0ne]

"professorkappa":E la derivata di un prodotto di funzioni. Anche se sono parziali, le regole sono le stesse.

ti ringrazio tantissimo, non ci avevo pensato (non ho occhiato bene!).. ma mi puoi dire quali sono i vari passaggi? io dovrei sviluppare ogni termine e poi fare i calcoli.. per poi appunto arrivare all'uguaglianza.. ho usato un riferimento cartesiano

[professorkappa]

E' piu' complicata la scrittura della dimostrazione, che la dimostrazione in se'.....

$vecnabla\Psi=(partialPsi)/(partialx),(partialPsi)/(partialy),(partialPsi)/(partialz)$

e

$Phi*vecnabla\Psi=Phi(partialPsi)/(partialx),Phi(partialPsi)/(partialy),Phi(partialPsi)/(partialz)$

Ne consegue che
$vecnabla(Phi*vecnabla\Psi)=[(partial)/(partialx),(partial)/(partialy),(partial)/(partialz)]*[Phi(partialPsi)/(partialx),Phi(partialPsi)/(partialy),Phi(partialPsi)/(partialz)]=(partial)/(partialx)[Phi(partialPsi)/(partialx)]+(partial)/(partialy)[Phi(partialPsi)/(partialy)]+(partial)/(partialz)[Phi(partialPsi)/(partialz)]$

Ora, applicando la derivata di prodotto di funzione, si ottiene:

$(partial)/(partialx)[Phi(partialPsi)/(partialx)]=(partialPhi)/(partialx)*(partialPsi)/(partialx)+Phi*(partial^2Psi)/(partialx^2)$

e, analogamente,

$(partial)/(partialy)[Phi(partialPsi)/(partialy)]=(partialPhi)/(partialy)*(partialPsi)/(partialy)+Phi*(partial^2Psi)/(partialy^2)$
$(partial)/(partialz)[Phi(partialPsi)/(partialz)]=(partialPhi)/(partialz)*(partialPsi)/(partialz)+Phi*(partial^2Psi)/(partialz^2)$

e quindi,

$vecnabla(Phi*vecnabla\Psi)=(partialPhi)/(partialx)*(partialPsi)/(partialx)+Phi*(partial^2Psi)/(partialx^2)+(partialPhi)/(partialy)*(partialPsi)/(partialy)+Phi*(partial^2Psi)/(partialy^2)+(partialPhi)/(partialz)*(partialPsi)/(partialz)+Phi*(partial^2Psi)/(partialz^2)$

Banalmente, $(partialPhi)/(partialx)*(partialPsi)/(partialx)+(partialPhi)/(partialy)*(partialPsi)/(partialy)+(partialPhi)/(partialz)*(partialPsi)/(partialz)=vecnablaphi*vecnablapsi$

e

$Phi*(partial^2Psi)/(partialx^2)+Phi*(partial^2Psi)/(partialy^2)+Phi*(partial^2Psi)/(partialz^2)=Phinabla^2Psi$

da cui
$vecnabla(Phi*vecnabla\Psi)=vecnablaphi*vecnablapsi+Phinabla^2Psi$

Cosa a cui arrivavi immediatamente come ti ho scritto nel primo post, trattando $vecnabla$ come un dfferenziale normale e derivando il prodotto $(Phi*vecnabla\Psi)$ usando la famosa litania "derivata del primo fattore per il secondo non derivato piu' primo fattore per la derivata del secondo fattore", ovvero $[d(fg)]/[dx]=(f'g+fg')dx$