Chiarimento Teorema Conservazione Energia
Oggi a lezione abbiamo visto un'applicazione del teorema di conservazione dell'energia meccanica: il giro della morte.
Ciò che non comprendo è come considerazioni di tipo energetico siano sufficienti a dimostrare che il corpo effettivamente riuscirà a compiere il giro della morte. Che il teorema mi fornisca condizioni necessarie è chiaro, ma come dimostro che tali condizioni siano anche sufficienti?
Ad esempio:
Si consideri un corpo vincolato a muoversi su un binario privo di attrito che descrive la traiettoria classi del giro della morte.
La circonferenza descritta dal binario ha raggio $R$.
Il corpo è lasciato scivolare sul binario da una quota $h$ da suolo, quindi con velocità iniziale nulla.
Dato che le forze vincolari della guida non producono lavoro, l'unica forza che produce lavoro è la gravità che è conservativa e quindi vale il teorema di conservazione dell'energia meccanica.
Dato che voglio far arrivare il corpo al punto più alto della circonferenza che sarà ad una quota $2R$ dal suolo, si evince, per la conservazione dell'energia meccanica, che deve essere almeno $h$=$2R$.
Quindi come condizione necessaria affinché il corpo raggiunga il punto più alto della circonferenza è che parta da una quota $2R$ dal suolo.
Come dimostro che questa condizione sia anche sufficiente?
Probabilmente la questione è banale, ma dannazione mi sfugge!
Ciò che non comprendo è come considerazioni di tipo energetico siano sufficienti a dimostrare che il corpo effettivamente riuscirà a compiere il giro della morte. Che il teorema mi fornisca condizioni necessarie è chiaro, ma come dimostro che tali condizioni siano anche sufficienti?
Ad esempio:
Si consideri un corpo vincolato a muoversi su un binario privo di attrito che descrive la traiettoria classi del giro della morte.
La circonferenza descritta dal binario ha raggio $R$.
Il corpo è lasciato scivolare sul binario da una quota $h$ da suolo, quindi con velocità iniziale nulla.
Dato che le forze vincolari della guida non producono lavoro, l'unica forza che produce lavoro è la gravità che è conservativa e quindi vale il teorema di conservazione dell'energia meccanica.
Dato che voglio far arrivare il corpo al punto più alto della circonferenza che sarà ad una quota $2R$ dal suolo, si evince, per la conservazione dell'energia meccanica, che deve essere almeno $h$=$2R$.
Quindi come condizione necessaria affinché il corpo raggiunga il punto più alto della circonferenza è che parta da una quota $2R$ dal suolo.
Come dimostro che questa condizione sia anche sufficiente?
Probabilmente la questione è banale, ma dannazione mi sfugge!
Risposte
Supponi che non sia sufficiente: allora il corpo non riesce a fare il giro della morte quindi avrá velocitá nulla prima di arrivare all'altezza $ 2R $ ma quindi non si conserva l'energia. Però non essendoci forze non conservative che compiano lavoro questo non è possibile quindi è anche condizione sufficiente.
Infatti non è affatto sufficiente...mementomori chiaramente ci ha capito poco.
Se il corpo è vincolato sulla guida è sufficiente altrimenti no chiaramente.
Beh certo...ma un giro della morte vincolato non ha nessun senso, ma chi inventa certi problemi
"MementoMori":
Supponi che non sia sufficiente: allora il corpo non riesce a fare il giro della morte quindi avrá velocitá nulla prima di arrivare all'altezza $ 2R $ ma quindi non si conserva l'energia. Però non essendoci forze non conservative che compiano lavoro questo non è possibile quindi è anche condizione sufficiente.
Va bene mi è chiaro.
Ho un altro dubbio: nel caso di vincolo unilaterale, affinché il corpo arrivi nel punto più alto sulla circonferenza senza cadere giù ma continuando a percorrere la restante semicirconferenza è necessaria una certa quota.
Come posso dedurre che il corpo percorrerà effettivamente il binario anzichè staccarsi da esso prima di arrivare?
Basta farlo arrivare con sufficiente velocita' nel punto piu' alto....e qual e' questa velocita', secondo te?
la velocità deve essere tale da bilanciare almeno la forza peso, che deve essere centripeta nel punto più alto, quindi deve essere $mg=mv^2/R$ da cui $v=\sqrt(Rg)$, ma ciò che non capisco è cosa mi garantisce che il corpo non si staccherà prima dal binario.
Perche il punto piu in alto e quello in cui la forza centrifuga e' minima e la componente cetripeta della forza peso e' massima. Se non si stacca li, non si stacca da nessuna parte.
Fai attenzione.
Immaginiamo di avere una guida liscia, costituita da un tratto iniziale di forma qualsiasi ( la guida è liscia, il campo gravitazionale è conservativo , non c'è perdita energia: la forma della guida nel primo tratto non ha importanza) , che ad un certo punto si raccorda con una guida circolare , sempre liscia , di raggio $R$ , posta nel piano verticale . Il vincolo è unilaterale.
L'altezza $h_0$ del punto iniziale in cui lasci andare la massa $m$ senza velocità non può esser uguale a : $h_0 = 2R$ , come hai scritto nel primo post. Guarda questo esercizio . Si vede che , affinché $m$ arrivi nel punto più alto della curva circolare , che si trova a $2R$ dal punto più basso, con la minima velocità richiesta perché $m$ non si stacchi : $v = sqrt(gR)$ , l'altezza di partenza deve essere :
$h_0 = 2.5R $
Del resto, senza fare conti : se fosse $h_0 = 2R$ , il punto mobile ritornerebbe alla stesa altezza di partenza con energia cinetica nulla e quindi velocità nulla , cosí com'è partita , e questo per il principio di conservazione dell'energia .
Invece, noi vogliamo che $m$ arrivi nel punto più alto del tratto circolare con una velocità ben maggiore, cioè con la velocità che assicura almeno l'uguaglianza tra forza centripeta e forza di gravità :
$mv^2/R = mg \rightarrow v = sqrt(gR)$
perciò , in conclusione , l'altezza di partenza deve essere $h_0 = 2.5 R$ .
Immaginiamo di avere una guida liscia, costituita da un tratto iniziale di forma qualsiasi ( la guida è liscia, il campo gravitazionale è conservativo , non c'è perdita energia: la forma della guida nel primo tratto non ha importanza) , che ad un certo punto si raccorda con una guida circolare , sempre liscia , di raggio $R$ , posta nel piano verticale . Il vincolo è unilaterale.
L'altezza $h_0$ del punto iniziale in cui lasci andare la massa $m$ senza velocità non può esser uguale a : $h_0 = 2R$ , come hai scritto nel primo post. Guarda questo esercizio . Si vede che , affinché $m$ arrivi nel punto più alto della curva circolare , che si trova a $2R$ dal punto più basso, con la minima velocità richiesta perché $m$ non si stacchi : $v = sqrt(gR)$ , l'altezza di partenza deve essere :
$h_0 = 2.5R $
Del resto, senza fare conti : se fosse $h_0 = 2R$ , il punto mobile ritornerebbe alla stesa altezza di partenza con energia cinetica nulla e quindi velocità nulla , cosí com'è partita , e questo per il principio di conservazione dell'energia .
Invece, noi vogliamo che $m$ arrivi nel punto più alto del tratto circolare con una velocità ben maggiore, cioè con la velocità che assicura almeno l'uguaglianza tra forza centripeta e forza di gravità :
$mv^2/R = mg \rightarrow v = sqrt(gR)$
perciò , in conclusione , l'altezza di partenza deve essere $h_0 = 2.5 R$ .
"Shackle":
Fai attenzione.
Immaginiamo di avere una guida liscia, costituita da un tratto iniziale di forma qualsiasi ( la guida è liscia, il campo gravitazionale è conservativo , non c'è perdita energia: la forma della guida nel primo tratto non ha importanza) , che ad un certo punto si raccorda con una guida circolare , sempre liscia , di raggio $R$ , posta nel piano verticale . Il vincolo è unilaterale.
L'altezza $h_0$ del punto iniziale in cui lasci andare la massa $m$ senza velocità non può esser uguale a : $h_0 = 2R$ , come hai scritto nel primo post. Guarda questo esercizio . Si vede che , affinché $m$ arrivi nel punto più alto della curva circolare , che si trova a $2R$ dal punto più basso, con la minima velocità richiesta perché $m$ non si stacchi : $v = sqrt(gR)$ , l'altezza di partenza deve essere :
$h_0 = 2.5R $
Del resto, senza fare conti : se fosse $h_0 = 2R$ , il punto mobile ritornerebbe alla stesa altezza di partenza con energia cinetica nulla e quindi velocità nulla , cosí com'è partita , e questo per il principio di conservazione dell'energia .
Invece, noi vogliamo che $m$ arrivi nel punto più alto del tratto circolare con una velocità ben maggiore, cioè con la velocità che assicura almeno l'uguaglianza tra forza centripeta e forza di gravità :
$mv^2/R = mg \rightarrow v = sqrt(gR)$
perciò , in conclusione , l'altezza di partenza deve essere $h_0 = 2.5 R$ .
Il mio primo post analizzava il sistema nel caso di vincolo bilaterale, e avevo già ottenuto una risposta in quel caso.
Nel mio secondo post la domanda è ben diversa se noti. professorkappa mi ha risposto a questa con
"professorkappa":
Perche il punto piu in alto e quello in cui la forza centrifuga e' minima e la componente cetripeta della forza peso e' massima. Se non si stacca li, non si stacca da nessuna parte.
ma non sono del tutto convinto, dovrò rivedere da me.
ma ciò che non capisco è cosa mi garantisce che il corpo non si staccherà prima dal binario.
Se $v$ è la velocità minima per non staccarsi nel punto più alto, in quel punto vale allora $v^2/R=g$, allora prima e dopo, per la conservazione dell'energia,la velocità $V$ del punto è maggiore di $v$, inoltre nei punti diversi dal punto più alto, la proiezione della forza peso in direzione ortogonale alla guida è minore di $g$, chiamiamo G questa proiezione, pertanto nei punti diversi dal punto massimo non vale $V^2/R=G$, perché a sinistra si ha qualcosa maggiore di $v$ e a destra qualcosa minore di $g$, pertanto parte della forza centripeta deve essere fornita dalla guida, quindi se c'è la forza centripeta fornita dalla guida, significa che c'è contatto tra punto e guida, ossia il punto non si stacca.
p.s. non penso di essermi mai espresso così male, ma spero di essere stato chiaro
...ma non sono del tutto convinto, dovrò rivedere da me.
Sicuramente rivedere da te sarà molto utile . Ma perchè non sei del tutto convinto? La massa $m$ non si stacca dalla guida fintanto che la guida esercita una reazione non nulla su di essa , cioè una forza, che funziona da forza centripeta. La forza esercitata dalla guida potrebbe anche essere maggiore di quella minima , sufficiente appena per evitare il distacco.
E perciò, la velocità potrebbe essere anche maggiore di $sqrt(gR)$ . Pensa a una pietra legata a un filo , e messa in rotazione nel piano verticale. Nessuno ti impedisce di farla roteare con una velocità che, nel punto più alto , superi abbondantemente il valore detto. Allora il filo rimarrà teso . Ma se la velocità nel punto più alto è inferiore, il filo si affloscia prima.
Probabilmente non mi sono spiegato bene.
Riformulo la mia seconda domanda:
abbandoniamo il giro della morte e consideriamo un punto materiale in un piano sui cui è presente solo un campo di forze costante diretto verso il basso.
Inseriamo un vincolo unilaterale il cui bordo descrive una semicirconferenza di un certo raggio $R$.
Le condizioni iniziali del sistema sono:
Il punto materiale all'istante iniziale si trova sul punto "estremale" del bordo del vincolo, quindi su un estremo della circonferenza.
La sua velocità iniziale è nulla.
è chiaro che il problema così posto non ha soluzione nel dominio iniziale, poiché l'equazione del moto nell'intero piano descriverebbe un moto rettilineo uniformemente accelerato e quindi il corpo andrebbe fuori la restrizione sul dominio considerata all'inizio.
In che modo posso formulare il problema in maniera rigorosa e senza riferimenti "empirici", in modo che rappresenti il problema reale?
Dovrei inserire nel campo di forze un qualcosa che mi rappresenti la reazione vincolare del binario.
Una volta formulato bene il problema, come potrei trarre informazioni sulla descrizione del moto senza risolvere proprio l'equazione del moto?
Perché a me pare che ogni considerazione finora fatta non sia del tutto rigorosa anche se corretta.
Riformulo la mia seconda domanda:
abbandoniamo il giro della morte e consideriamo un punto materiale in un piano sui cui è presente solo un campo di forze costante diretto verso il basso.
Inseriamo un vincolo unilaterale il cui bordo descrive una semicirconferenza di un certo raggio $R$.
Le condizioni iniziali del sistema sono:
Il punto materiale all'istante iniziale si trova sul punto "estremale" del bordo del vincolo, quindi su un estremo della circonferenza.
La sua velocità iniziale è nulla.
è chiaro che il problema così posto non ha soluzione nel dominio iniziale, poiché l'equazione del moto nell'intero piano descriverebbe un moto rettilineo uniformemente accelerato e quindi il corpo andrebbe fuori la restrizione sul dominio considerata all'inizio.
In che modo posso formulare il problema in maniera rigorosa e senza riferimenti "empirici", in modo che rappresenti il problema reale?
Dovrei inserire nel campo di forze un qualcosa che mi rappresenti la reazione vincolare del binario.
Una volta formulato bene il problema, come potrei trarre informazioni sulla descrizione del moto senza risolvere proprio l'equazione del moto?
Perché a me pare che ogni considerazione finora fatta non sia del tutto rigorosa anche se corretta.
Fino ad ora e' rigorosa.
Siccome non capisco bene la tua configurazione, ti imposto le equazioni del giro della morte.
Giro in senso antiorario. Angoli contati dalla verticale passante per il centro della circonferenza.
Quando il corpo entra nel cerchio, l'equazione cardinale e'
$mvecg+vecN=mveca$, con N reazione del vincolo.
In un punto generico, l'equazione lungo la componente radiale si scompone come:
$-mgcostheta+N=mv^2/R$
Il corpo sta esercitando una forza sul vincolo (e dunque per certo lo sta toccando), quando il vincolo reagisce, cioe' quando $N>0$ cioe' quando:
$N=mv^2/R+mgcostheta>0$
Anche $v$ e' ovviamente esprimibile come funzione di $theta$. Studia un po quella funzione e trai le conclusioni, possibilmente su un post pubblico.
Siccome non capisco bene la tua configurazione, ti imposto le equazioni del giro della morte.
Giro in senso antiorario. Angoli contati dalla verticale passante per il centro della circonferenza.
Quando il corpo entra nel cerchio, l'equazione cardinale e'
$mvecg+vecN=mveca$, con N reazione del vincolo.
In un punto generico, l'equazione lungo la componente radiale si scompone come:
$-mgcostheta+N=mv^2/R$
Il corpo sta esercitando una forza sul vincolo (e dunque per certo lo sta toccando), quando il vincolo reagisce, cioe' quando $N>0$ cioe' quando:
$N=mv^2/R+mgcostheta>0$
Anche $v$ e' ovviamente esprimibile come funzione di $theta$. Studia un po quella funzione e trai le conclusioni, possibilmente su un post pubblico.
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