Chiarimento equazioni cardinali della statica vs dinamica
Salve! Ho il seguente dubbio riguardo le equazioni cardinali della statica e della dinamica per corpi rigidi.
Per quanto riguarda quelle delle traslazioni, mi è tutto chiaro. In un caso risultante delle forze esterne applicate al sistema nulla e nell’altro pari al prodotto della massa del corpo e l’accelerazione del centro di massa (—> il corpo rigido, per quanto riguarda la traslazione, si muove come un punto materiale avente massa pari a quella del corpo e accelerazione del centro di massa di questo).
Anche la seconda cardinale della statica mi è chiara: la risultante dei momenti delle forze esterne è nulla, qualunque sia il polo scelto (centro di massa, punto a caso fisso, punto a caso in moto...) poiché, essendo nulla la risultante delle forze, il momento è invariante.
Qualche perplessità che vorrei definitivamente chiarire mi nasce per quanto riguarda l’equazione alla rotazione nel caso della dinamica.
Anzitutto ce ne sono due forme, o meglio una generale dalla quale si ricava quella che afferma che il momento delle forze esterne rispetto a O è uguale alla derivata nel tempo del momento angolare rispetto a O se O è fisso/ è il centro di massa/ ha velocità parallela al centro di massa.
1) Di fatto, in tutti gli esercizi che ho fatto, è solo questa la forma che ho sempre visto usare... questo è perché potendo io scegliere il polo, lo scelgo in maniera “furba” così da semplificare la formula?
2) dato che la risultante delle forze NON è nulla, allora il momento NON è invariante. Quindi fare il momento rispetto a un polo piuttosto che a un altro mi fa variare la seconda equazione. Come è possibile che sia vera una cosa del genere se comunque poi il moto da descrivere è uno soltanto?
Dubbio “opzionale” per chi sarà arrivato fino a qua
3) per quanto riguarda il momento angolare, esso è dato dalla derivata nel tempo della matrice di inerzia in O applicata al vettore velocità angolare. Affinché nel derivare questo termine nel tempo avrei la derivata del prodotto di due funzioni (e quindi la derivata della matrice di inerzia ...), mi conviene riferire tale matrice a un sdr solidale al corpo rigido, vero? Così la matrice di inerzia è costante e devo derivare solo la velocità angolare? Mi comparirà anche la derivata dei versori del sdr solidale nel tempo ma sempre meglio che derivarsi la matrice d’inerzia...
Per quanto riguarda quelle delle traslazioni, mi è tutto chiaro. In un caso risultante delle forze esterne applicate al sistema nulla e nell’altro pari al prodotto della massa del corpo e l’accelerazione del centro di massa (—> il corpo rigido, per quanto riguarda la traslazione, si muove come un punto materiale avente massa pari a quella del corpo e accelerazione del centro di massa di questo).
Anche la seconda cardinale della statica mi è chiara: la risultante dei momenti delle forze esterne è nulla, qualunque sia il polo scelto (centro di massa, punto a caso fisso, punto a caso in moto...) poiché, essendo nulla la risultante delle forze, il momento è invariante.
Qualche perplessità che vorrei definitivamente chiarire mi nasce per quanto riguarda l’equazione alla rotazione nel caso della dinamica.
Anzitutto ce ne sono due forme, o meglio una generale dalla quale si ricava quella che afferma che il momento delle forze esterne rispetto a O è uguale alla derivata nel tempo del momento angolare rispetto a O se O è fisso/ è il centro di massa/ ha velocità parallela al centro di massa.
1) Di fatto, in tutti gli esercizi che ho fatto, è solo questa la forma che ho sempre visto usare... questo è perché potendo io scegliere il polo, lo scelgo in maniera “furba” così da semplificare la formula?
2) dato che la risultante delle forze NON è nulla, allora il momento NON è invariante. Quindi fare il momento rispetto a un polo piuttosto che a un altro mi fa variare la seconda equazione. Come è possibile che sia vera una cosa del genere se comunque poi il moto da descrivere è uno soltanto?
Dubbio “opzionale” per chi sarà arrivato fino a qua
3) per quanto riguarda il momento angolare, esso è dato dalla derivata nel tempo della matrice di inerzia in O applicata al vettore velocità angolare. Affinché nel derivare questo termine nel tempo avrei la derivata del prodotto di due funzioni (e quindi la derivata della matrice di inerzia ...), mi conviene riferire tale matrice a un sdr solidale al corpo rigido, vero? Così la matrice di inerzia è costante e devo derivare solo la velocità angolare? Mi comparirà anche la derivata dei versori del sdr solidale nel tempo ma sempre meglio che derivarsi la matrice d’inerzia...
Risposte
Con la parte relativa alla statica , e con la prima equazione cardinale della dinamica ( moto del centro di massa) te la sei cavata, salvo alcune imprecisioni di linguaggio. MA con le "perplessità" sulla seconda equazione cardinale della dinamica sei proprio in errore. Dove hai studiato questa roba, le hai capite per bene ? Non lo so , ma credo di no. Procurati un libro serio di Fisica 1 , come il Mencuccini-Silvestrini, e guardaci con attenzione, per un primo approccio. Poi ci sono gli approcci di grado più avanzato, come quelli di Meccanica Razionale : ha bisogno anche di questi.
Quali sarebbero le due forme della seconda equazione cardinale ?
Quando scegli il polo fisso , oppure coincidente con G, o in moto parallelamente a G , non stai facendo una furbata. Stai semplicemente servendoti del fatto che, con questa scelta del polo, il momento delle forze esterne rispetto al polo causa variazione del momento angolare calcolato rispetto allo stesso polo , e basta : quando il polo non è fisso, c'è a secondo membro un termine aggiuntivo, di cui occorre tenere conto. Prendendo in esame il caso semplice di un solo punto materiale, il cui momento angolare è riferito ad un polo mobile, ti rimando a questo mio messaggio di qualche tempo fa.
Inoltre, qui c'è un esempio di esercizio con il polo mobile.
Qui ci sono altre risposte, di un utente che non non c'è più . Prendile in considerazione.
LA risultante delle forze non è nulla. Ma tale risultante determina il moto del CM del corpo, come dice la prima equazione cardinale. Sistemato il moto del CM , rimane da considerare il moto del corpo rispetto al CM , che è del tutto equivalente a un moto di corpo rigido con un punto fisso. Quindi si prende questo punto come polo (anche se talvolta conviene prendere altri poli...) e si calcola tutto riferendosi a questo polo, a partire dal momento delle forze e dal momento angolare.
Niente affatto, è tutto sbagliato. In un corpo rigido , puoi prendere un punto qualsiasi, che assumi come polo ; traccia tre assi cartesiani con questa origine , che siano inchiodati nel corpo : questa è la terna mobile, solidale al corpo, che ruota istantaneamente attorno al polo rispetto al riferimento assoluto. LA matrice di inerzia del corpo rigido è determinata dai momenti di inerzia e dai momenti centrifughi del corpo rispetto questa terna di riferimento, e non varia nel tempo , cioè la matrice di inerzia non deve essere derivata. Il momento angolare del corpo rigido è dato da :
$vecL = vecomega$
dove $$ è appunto la matrice di inerzia detta. I vettori $vecL$ e $vecomega$ non sono , in generale , paralleli .
Di solito , per semplificare le cose , il polo lo si sceglie coincidente col CM del corpo, come detto (per poter utilizzare la prima equazione cardinale), e la terna solidale la si sceglie coincidente con la terna centrale di inerzia. Se un asse di rotazione coincide con un asse centrale di inerzia i vettori $vecL$ e $vecomega$ sono paralleli, e sono assi liberi di rotazione: non c'è bisogno di forze o momenti , per mantenere in rotazione un corpo attorno a un asse libero. Ne abbiamo parlato spesso. Sul momento angolare, leggiti il cap. 8 di queste lezioni, che non sono molto avanzate. Una trattazione più approfondita la trovi nelle lezioni di David Morin, di cui questa è relativa al momento angolare .
Anzitutto ce ne sono due forme...
Di fatto, in tutti gli esercizi che ho fatto, è solo questa la forma che ho sempre visto usare... questo è perché potendo io scegliere il polo, lo scelgo in maniera “furba” così da semplificare la formula?
Quali sarebbero le due forme della seconda equazione cardinale ?
Quando scegli il polo fisso , oppure coincidente con G, o in moto parallelamente a G , non stai facendo una furbata. Stai semplicemente servendoti del fatto che, con questa scelta del polo, il momento delle forze esterne rispetto al polo causa variazione del momento angolare calcolato rispetto allo stesso polo , e basta : quando il polo non è fisso, c'è a secondo membro un termine aggiuntivo, di cui occorre tenere conto. Prendendo in esame il caso semplice di un solo punto materiale, il cui momento angolare è riferito ad un polo mobile, ti rimando a questo mio messaggio di qualche tempo fa.
Inoltre, qui c'è un esempio di esercizio con il polo mobile.
Qui ci sono altre risposte, di un utente che non non c'è più . Prendile in considerazione.
2) dato che la risultante delle forze NON è nulla, allora il momento NON è invariante. Quindi fare il momento rispetto a un polo piuttosto che a un altro mi fa variare la seconda equazione. Come è possibile che sia vera una cosa del genere se comunque poi il moto da descrivere è uno soltanto?
LA risultante delle forze non è nulla. Ma tale risultante determina il moto del CM del corpo, come dice la prima equazione cardinale. Sistemato il moto del CM , rimane da considerare il moto del corpo rispetto al CM , che è del tutto equivalente a un moto di corpo rigido con un punto fisso. Quindi si prende questo punto come polo (anche se talvolta conviene prendere altri poli...) e si calcola tutto riferendosi a questo polo, a partire dal momento delle forze e dal momento angolare.
3) per quanto riguarda il momento angolare, esso è dato dalla derivata nel tempo della matrice di inerzia in O applicata al vettore velocità angolare. Affinché nel derivare questo termine nel tempo avrei la derivata del prodotto di due funzioni (e quindi la derivata della matrice di inerzia ...), mi conviene riferire tale matrice a un sdr solidale al corpo rigido, vero? Così la matrice di inerzia è costante e devo derivare solo la velocità angolare? Mi comparirà anche la derivata dei versori del sdr solidale nel tempo ma sempre meglio che derivarsi la matrice d’inerzia...
Niente affatto, è tutto sbagliato. In un corpo rigido , puoi prendere un punto qualsiasi, che assumi come polo ; traccia tre assi cartesiani con questa origine , che siano inchiodati nel corpo : questa è la terna mobile, solidale al corpo, che ruota istantaneamente attorno al polo rispetto al riferimento assoluto. LA matrice di inerzia del corpo rigido è determinata dai momenti di inerzia e dai momenti centrifughi del corpo rispetto questa terna di riferimento, e non varia nel tempo , cioè la matrice di inerzia non deve essere derivata. Il momento angolare del corpo rigido è dato da :
$vecL = vecomega$
dove $$ è appunto la matrice di inerzia detta. I vettori $vecL$ e $vecomega$ non sono , in generale , paralleli .
Di solito , per semplificare le cose , il polo lo si sceglie coincidente col CM del corpo, come detto (per poter utilizzare la prima equazione cardinale), e la terna solidale la si sceglie coincidente con la terna centrale di inerzia. Se un asse di rotazione coincide con un asse centrale di inerzia i vettori $vecL$ e $vecomega$ sono paralleli, e sono assi liberi di rotazione: non c'è bisogno di forze o momenti , per mantenere in rotazione un corpo attorno a un asse libero. Ne abbiamo parlato spesso. Sul momento angolare, leggiti il cap. 8 di queste lezioni, che non sono molto avanzate. Una trattazione più approfondita la trovi nelle lezioni di David Morin, di cui questa è relativa al momento angolare .
Grazie! Avrei però ancora un dubbio sulla domanda 2... mi torna ciò che hai detto ma l’aspetto che mi continua a sfuggire è che cambiando polo (perché come hai detto posso scegliere il CM o anche un altro polo) il momento delle forze esterne cambia... quindi cosa accade? Nascono equazioni di moto differente? Mi sembra strano...
l’aspetto che mi continua a sfuggire è che cambiando polo (perché come hai detto posso scegliere il CM o anche un altro polo) il momento delle forze esterne cambia... quindi cosa accade? Nascono equazioni di moto differente?
LA cosa importante è che il fenomeno fisico è sempre lo stesso, naturalmente. Prendendo poli diversi, le equazioni che descrivono lo stesso fenomeno fisico sono diverse , e chi se ne importa ? Magari con un certo polo alcune equazioni sono più facili , altre meno . Ma l'importante è arrivare sempre allo stesso risultato . Guardati questa discussione come esempio. Navigatore aveva risolto il problema con due poli diversi, ma il risultato è lo stesso.
"AndrewX":
Grazie! Avrei però ancora un dubbio sulla domanda 2... mi torna ciò che hai detto ma l’aspetto che mi continua a sfuggire è che cambiando polo (perché come hai detto posso scegliere il CM o anche un altro polo) il momento delle forze esterne cambia... quindi cosa accade? Nascono equazioni di moto differente? Mi sembra strano...
Il cambio di polo cambia il momento delle forze. Ma cambia anche il momento angolare $vecL$ del corpo.
E siccome la risultante dei momenti $vectau$ è pari a $(dvecL)/(dt)$......
giusto, non avevo considerato che ovviamente c’è anche il termine della derivata del momento angolare e quindi mi torna che possiamo arrivare allo stesso risultato in casi differenti perché vi sono 2 grandezze che cambiano e non 1...
Solo che credo che mi sfugga ancora qualcosa... quei puntini a fine cosa mi dovrebbero suggerire?
non ci arrivo...
Solo che credo che mi sfugga ancora qualcosa... quei puntini a fine cosa mi dovrebbero suggerire?
non ci arrivo...
non c'è "anche il termine". C'è solo quello. Per principio, la derivata rispetto al tempo del momento angolare è uguale alla risultante dei momenti. Non c'e altro da aggiungere, se non trovare su qualche testo la dimostrazione completa e formale dell'arbitrarietà del polo, che ovviamente non influisce sulla formulazione della legge oraria. Dimostrazione abbastanza banale, tra l'altro.
No lo so che non c’è “anche un altro temine”. Quello che intendevo dire era che nella seconda cardinale compaiono due quantità, momento delle forze e derivata del momento angolare e che non considerando che variando il polo per il momento delle forze mi varia anche il polo rispetto al quale calcolo il momento angolare, non mi tornava come come facessero a venire le stesse equazioni di moto al variare del polo.
Ma, appunto, essendo due le quantità che si “modificano” nell’equazione, esse varieranno in modo poi da dare uno stesso risultato.
Ma, appunto, essendo due le quantità che si “modificano” nell’equazione, esse varieranno in modo poi da dare uno stesso risultato.
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