Chiarimento Differenza di Potenziale
Salve a tutti, sono nuovo del forum^^
Ho aperto questo post perchè vorrei delle delucidazioni su un argomento che mi sta facendo impazzire: Potenziale Elettrostatico.
In realtà non è che non abbia capito in cosa consiste e la da dove derivi, il mio dubbio...forte dubbio....sta proprio nel segno di questo integrale:
$ V(B) - V(A) = - \int_{A}^{B} E ds$
cioè se io svolgo un integrale da A a B, il risultato è (valore in B meno il valore in A) o sbaglio lol ?
e in quanto al potenziale nel punto generico ho capito che si parla comunque di ddp del punto rispetto all'infinito, ma il problema è sempre il segno di quell'integrale dato che il libro dice:
$ V(r) = - \int_{prop}^{r} E ds$
potreste darmi una mano nella comprensione di questo macello^^ ... vi ringrazion in anticipo .
Ho aperto questo post perchè vorrei delle delucidazioni su un argomento che mi sta facendo impazzire: Potenziale Elettrostatico.
In realtà non è che non abbia capito in cosa consiste e la da dove derivi, il mio dubbio...forte dubbio....sta proprio nel segno di questo integrale:
$ V(B) - V(A) = - \int_{A}^{B} E ds$
cioè se io svolgo un integrale da A a B, il risultato è (valore in B meno il valore in A) o sbaglio lol ?
e in quanto al potenziale nel punto generico ho capito che si parla comunque di ddp del punto rispetto all'infinito, ma il problema è sempre il segno di quell'integrale dato che il libro dice:
$ V(r) = - \int_{prop}^{r} E ds$
potreste darmi una mano nella comprensione di questo macello^^ ... vi ringrazion in anticipo .
Risposte
Scriviamolo così:
$ V(A) - V(B) = \int_{A}^{B} E ds$
è la stessa cosa però secondo me rende meglio l'idea.
Pensa una zona di spazio con un campo elettrico E diretto dal punto A verso il punto B. Se metti in A una carica q positiva, questa viene spinta dal campo verso B, e il campo compie un lavoro
$W=q \int_{A}^{B} E ds$
Ebbene questo lavoro si può anche esprimere come differenza di due grandezze, la prima presente in A la seconda presente in B:
$W=qV_A-qV_B$
Insomma il campo è qualcosa che porta le cariche positiva da zone a potenziale maggiore verso zone a potenziale minore, così come la forza di gravità tende a spostare i corpi da punti a potenziale più alto (più alti dal suolo) verso punti a potenziale più basso (meno alti rispetto al suolo).
Se il punto B è situato all'infinito, sostituendo nella prima relazione si ha:
$ V(A) - V(\infty) = \int_{A}^{\infty} E ds$
Siccome ciò che conta non è il potenziale in valore assoluto ma solo la differenza di potenziale tra due punti, è possibile scegliere per il potenziale un riferimanto arbitrario, e allora in tal senso è stato scelto di porre il potenziale all'infinito uguale a zero. Allora la relazione scritta diventa:
$ V(A) = \int_{A}^{\infty} E ds$
Da cui si deduce che una carica positiva produce potenziali >0 nello spazio, mentre una carica negativa produce valori <0 nello spazio (si inverte il verso di E nello spazio).
$ V(A) - V(B) = \int_{A}^{B} E ds$
è la stessa cosa però secondo me rende meglio l'idea.
Pensa una zona di spazio con un campo elettrico E diretto dal punto A verso il punto B. Se metti in A una carica q positiva, questa viene spinta dal campo verso B, e il campo compie un lavoro
$W=q \int_{A}^{B} E ds$
Ebbene questo lavoro si può anche esprimere come differenza di due grandezze, la prima presente in A la seconda presente in B:
$W=qV_A-qV_B$
Insomma il campo è qualcosa che porta le cariche positiva da zone a potenziale maggiore verso zone a potenziale minore, così come la forza di gravità tende a spostare i corpi da punti a potenziale più alto (più alti dal suolo) verso punti a potenziale più basso (meno alti rispetto al suolo).
Se il punto B è situato all'infinito, sostituendo nella prima relazione si ha:
$ V(A) - V(\infty) = \int_{A}^{\infty} E ds$
Siccome ciò che conta non è il potenziale in valore assoluto ma solo la differenza di potenziale tra due punti, è possibile scegliere per il potenziale un riferimanto arbitrario, e allora in tal senso è stato scelto di porre il potenziale all'infinito uguale a zero. Allora la relazione scritta diventa:
$ V(A) = \int_{A}^{\infty} E ds$
Da cui si deduce che una carica positiva produce potenziali >0 nello spazio, mentre una carica negativa produce valori <0 nello spazio (si inverte il verso di E nello spazio).
Non vedo quale sia il problema. Il segno $-$ consegue dal fatto che dalla prima equazione di Maxwell statica si ha:
$\nabla\xx\vecE=0$
Il campo elettrico è detto irrotazionale ed ammette potenziale (se vuoi, guardandola da un punto di vista matematico, posso introdurre il concetto di potenziale tenendo conto del fatto che il rotore di un gradiente è sempre nullo. Prova a dimostrarlo). Per cui posso porre, per convenzione, $\vecE=-\nablaV$ dove $V$ è definito potenziale elettrostatico. Quella scritta da te è la versione integrale.
$\nabla\xx\vecE=0$
Il campo elettrico è detto irrotazionale ed ammette potenziale (se vuoi, guardandola da un punto di vista matematico, posso introdurre il concetto di potenziale tenendo conto del fatto che il rotore di un gradiente è sempre nullo. Prova a dimostrarlo). Per cui posso porre, per convenzione, $\vecE=-\nablaV$ dove $V$ è definito potenziale elettrostatico. Quella scritta da te è la versione integrale.
mhm....adesso è molto più chiaro. in effetti la differenza di potenziale è uguale a un certo valore cambiato di segno, cioè dal risultato dell'integrale cambiato di segno....io invece confondevo lo svolgimento dell'integrale con la differenza di potenziale a primo membro...(che idiota! XD ) e quindi quel segno negativo non mi tornava proprio. Grazie di tutto.
ps: klomax visto ke riporti l'esempio del rotore , potresti spiegarmi la differenza tra il rot E e la div E. (anche in termini spiccioli se non ti va di dilungarti)
ps: klomax visto ke riporti l'esempio del rotore , potresti spiegarmi la differenza tra il rot E e la div E. (anche in termini spiccioli se non ti va di dilungarti)
Innanzitutto cominciamo con il dire che ha senso effettuare il rotore o la divergenza solo di quantità vettoriali. D'altra parte, mentre il primo restituisce a sua volta una quantità vettoriale, il secondo ne fornisce una scalare. Questo risulta evidente dalle definizioni, infatti:
$\nabla\xx\vecA=|(\hatx,\haty,\hatz),(del/(delx),del/(dely),del/(delz)),(A_x,A_y,A_z)|$
ed è dunque un prodotto vettoriale, mentre
$\nabla*\vecA=(delA_x)/(delx)+(delA_y)/(dely)+(delA_z)/(delz)$
è un prodotto scalare. Guardando le equazioni di Maxwell ne hai un'interpretazione fisica. Infatti, se ti trovi in condizioni dinamiche, il rotore del campo elettrico sarà uguale alla variazione temporale di flusso magnetico $\Phi$ (prima eq), mentre la divergenza è uguale alla densità di carica elettrica normalizzata alla permittività del mezzo (terza eq, o se vuoi legge di gauss in forma differenziale). In condizioni statiche, così come ti ho accennato nel precedente post, il campo elettrico è irrotazionale (rotore nullo).
$\nabla\xx\vecA=|(\hatx,\haty,\hatz),(del/(delx),del/(dely),del/(delz)),(A_x,A_y,A_z)|$
ed è dunque un prodotto vettoriale, mentre
$\nabla*\vecA=(delA_x)/(delx)+(delA_y)/(dely)+(delA_z)/(delz)$
è un prodotto scalare. Guardando le equazioni di Maxwell ne hai un'interpretazione fisica. Infatti, se ti trovi in condizioni dinamiche, il rotore del campo elettrico sarà uguale alla variazione temporale di flusso magnetico $\Phi$ (prima eq), mentre la divergenza è uguale alla densità di carica elettrica normalizzata alla permittività del mezzo (terza eq, o se vuoi legge di gauss in forma differenziale). In condizioni statiche, così come ti ho accennato nel precedente post, il campo elettrico è irrotazionale (rotore nullo).
Se posso inserirmi in questa spiegazione rotore-divergenza, vorrei aggiungere qualcosa.
Dal teorema di Gauss si sa che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica racchiusa in essa. Allora se noi prendiamo il flusso suddetto e lo dividiamo per il volume racchiuso nella superficie medesima, otteniamo un rapporto che al tendere di tale volume a zero diventa proprio la divergenza del campo. E analogamente dividendo la carica contenuta nella suddetta superficie chiusa per il volume e portando il rapporto al limite per volume tendente a zero otteniamo la densità di carica. Da qui si deduce che la divergenza è proporzionale alla densità di carica.
Analogamente è possibile dare un significato intuitivo al rotore, anche se è un po' più complicato (a proposito ho visto che la spegazione su Wikipedia versione italiana è sbagliata; prendere invece per buona la spiegazione su Wikipedia USA).
Nel caso di un campo per il quale la circuitazione lungo una linea chiusa sia diversa da zero (ovviamente non è il caso di un campo gradiente, altrimenti non esisterebbe la funzione potenziale), il valore di questa circuitazione è l'integrale di linea del campo stesso lungo la curva chiusa suddetta. Se consideriamo adesso una superficie avente per bordo la linea chiusa di cui sopra e calcoliamo il rapporto tra la circuitazione suddetta e l'area di questa superficie, e poi facciamo il limite stringendo la curva fino a ridurre la superficie a un valore infinitesimo di area $dA$, notiamo che questo rapporto tende a un valore finito. Allora se prendiamo questo valore e assumiamo che sia il modulo di un secondo vettore ortogonale alla superficie $dA$, possiamo dire che il flusso di questo vettore attraverso la superficie $dA$ è proprio uguale alla circuitazione del vettore campo lungo il suo bordo. Se adesso orientiamo la superficie $dA$ nello spazio in modo che la circuitazione attraverso il suo bordo sia massima, il vettore ortogonale a questa particolare superficie (il cui flusso attraverso essa è uguale a tale circuitazione massima) è chiamato il rotore del vettore campo originario, e gode della proprietà che il suo flusso attraverso una qualsiasi superficie avente come bordo una linea chiusa è uguale alla circuitazione del vettore campo lungo tale linea.
Queste non sono affatto delle dimostrazioni, sia chiaro. Sono solo un altro esempio di considerazioni scimmiesche sulle quali si è ampiamente dibattuto in altro topic.
Dal teorema di Gauss si sa che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica racchiusa in essa. Allora se noi prendiamo il flusso suddetto e lo dividiamo per il volume racchiuso nella superficie medesima, otteniamo un rapporto che al tendere di tale volume a zero diventa proprio la divergenza del campo. E analogamente dividendo la carica contenuta nella suddetta superficie chiusa per il volume e portando il rapporto al limite per volume tendente a zero otteniamo la densità di carica. Da qui si deduce che la divergenza è proporzionale alla densità di carica.
Analogamente è possibile dare un significato intuitivo al rotore, anche se è un po' più complicato (a proposito ho visto che la spegazione su Wikipedia versione italiana è sbagliata; prendere invece per buona la spiegazione su Wikipedia USA).
Nel caso di un campo per il quale la circuitazione lungo una linea chiusa sia diversa da zero (ovviamente non è il caso di un campo gradiente, altrimenti non esisterebbe la funzione potenziale), il valore di questa circuitazione è l'integrale di linea del campo stesso lungo la curva chiusa suddetta. Se consideriamo adesso una superficie avente per bordo la linea chiusa di cui sopra e calcoliamo il rapporto tra la circuitazione suddetta e l'area di questa superficie, e poi facciamo il limite stringendo la curva fino a ridurre la superficie a un valore infinitesimo di area $dA$, notiamo che questo rapporto tende a un valore finito. Allora se prendiamo questo valore e assumiamo che sia il modulo di un secondo vettore ortogonale alla superficie $dA$, possiamo dire che il flusso di questo vettore attraverso la superficie $dA$ è proprio uguale alla circuitazione del vettore campo lungo il suo bordo. Se adesso orientiamo la superficie $dA$ nello spazio in modo che la circuitazione attraverso il suo bordo sia massima, il vettore ortogonale a questa particolare superficie (il cui flusso attraverso essa è uguale a tale circuitazione massima) è chiamato il rotore del vettore campo originario, e gode della proprietà che il suo flusso attraverso una qualsiasi superficie avente come bordo una linea chiusa è uguale alla circuitazione del vettore campo lungo tale linea.
Queste non sono affatto delle dimostrazioni, sia chiaro. Sono solo un altro esempio di considerazioni scimmiesche sulle quali si è ampiamente dibattuto in altro topic.
grazie davvero ragazzi per i vostri chiarimenti, sono stati davvero utili^^ .
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