Chiarimenti sui tensori

[ing.nunziom]

Sto preparando ormai l'ennesimo esame in cui ho a che fare con questi "oggetti" e mi ritrovo a manipolarli senza sapere nulla alla fine. Considero inaccettabile l'idea di studiare la Meccanica dei Continui senza sapere cosa è matematicamente un tensore.
Non ne faccio un discorso di completezza, ma non riesco ad accettare questa situazione.
Ho scoperto (perchè nessuno me lo ha mai detto) che per costruire un tensore occorrono uno spazio vettoriale $V$ e il suo duale $\tildeV$.
Lo spazio vettoriale duale è lo spazio vettoriale formato da tutti i funzionali lineari $f:V->K$.
Come si dovrebbe procedere?

[Sk_Anonymous]

E' un po' lunga, per me, spiegarti come si deve procedere, paralndo in generale.

Preferisco darti questo link, dove ci sono altri link a dispense e corsi sui tensori.

viewtopic.php?f=38&p=920050#p919349

i più chiari sono Nearing e Sharipov, a mio parere. Poi in Freescience trovi anche il link al libro di Heinblockel .

[ing.nunziom]

Ti ringrazio! Effettivamente la mia domanda è troppo generica.
Vorrei chiarire questa questione:

Sia $S_n$ uno spazio vettoriale e sia $(e_1,e_2,...,e_n)$ una ennupla di vettori linearmente indipendenti appartenenti ad $S_n$. Il sistema $( x,e_1,e_2, ...,e_n )$ è necessariamente linearmente dipendente e ciò implica che esistono $n$ scalari tali che:

$\barx=\sum_{i=1}^3 x^ie^i$

Le $x_i$ sono dette componenti controvarianti del vettore $\barx$ nella base assegnata.
Perchè?

[Sk_Anonymous]

"ing.nunziom":Ti ringrazio! Effettivamente la mia domanda è troppo generica.
Vorrei chiarire questa questione:

Sia $S_n$ uno spazio vettoriale e sia $(e_1,e_2,...,e_n)$ una ennupla di vettori linearmente indipendenti appartenenti ad $S_n$. Il sistema $( x,e_1,e_2, ...,e_n )$ è necessariamente linearmente dipendente e ciò implica che esistono $n$ scalari tali che:

$\barx=\sum_{i=1}^3 x^ie^i$

Le $x_i$ sono dette componenti controvarianti del vettore $\barx$ nella base assegnata.
Perchè?

Perché passando da una base ${e_i}$ a un altra base ${e'_j} $ "variano" , cioè si trasformano nella maniera opposta a quella in cui si trasformano le basi .
Le basi devi scriverle con l'indice in basso. Il simbolo di sommatoria lo puoi sottintendere, secondo la convenzione di Einstein, essendo implicito che si intende la somma rispetto a un indice che compare una volta in alto e una volta in basso.

Guardati bene la dispensa di Elio Fabri per la storia del "controvariante e covariante".

Lo so, all'inizio è un casino, perché noi siamo abituati, nelle coordinate cartesiane ortogonali , al fatto che le componenti covarianti e quelle controvarianti di un vettore sono indistinguibili.

Ma ti faccio un semplicissimo esempio, dove pure con un vettore in due dimensioni puoi vedere la differenza tra componenti covarianti e componenti controvarianti.

Su un foglio di carta , disegna un riferimento $O(x,y)$ con gli assi NON ortogonali , ma formanti per esempi un angolo $\alpha$ acuto . Poi da O traccia un vettore $vec(OP)$ qualsiasi.

I due assi hanno i versori soliti $veci$ e $vecj$ , che ora non sono a 90° .

DA P , traccia le parallele agli due assi, cioè "scomponi" $vec(OP)$ secondo questi assi : queste sono le componenti "controvarianti" . È facile scrivere la solita espressione in componenti, no ?

Se invece "proietti perpendicolarmente" da P sui due assi , ottieni le componenti "covarianti" . Ti rendi conto della differenza?

Poi, in questa semplice figura, puoi vedere la base data e la base duale . Apri l'immagine in un altro pannello, non si vede completa qui, non so perché.

Stasera se ho tempo scannerizzo qualche pagina di questo libro, dove è chiarita semplicemente , nel caso in esame, la differenza tra "base" e "base duale" . E siamo solo in $R^2$ !

[ing.nunziom]

Grazie!

[Sk_Anonymous]

Non ho avuto tempo. Comunque ho verificato , avrei dovuto scannerizzare più di una decina di pagine per fare un quadro completo. Piuttosto, ti dò altre indicazioni . Nelle seguenti dispense puoi andare a pag. 161 e cominciare dal paragrafo 8.2 "Algebra tensoriale" . Poi ti fermi dove vuoi:
http://www.webalice.it/dghisi/scritti/relativita.pdf

In queste note di Carroll invece, vai al cap. 1 , da pag 7 ( dove dice : " To probe the structure of Minkowski space…. ") e leggi anche qui fin dove vuoi. Io leggerei una ventina di pagine.
http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019

Comunque la spiegazione più chiara sui significati "controvariante" e " covariante" è quella di Fabri :
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/varie/tensori.pdf

Se qualcosa non ti è chiaro, chiedi pure. Se sono in grado rispondo, altrimenti te lo dico. Nessuno inventa niente qui.

Ciao.