Chiarimenti su momento di inerzia in un esercizio
L'esercizio è il seguente:
Io svolgendo l'esercizio, applicando la formula $ tau = I*alpha $ al disco centrale ho considerato come polo il centro del disco stesso e quindi, dato che il momento di inerzia per il disco che ruota attorno al suo asse principale è $ I = m*R^2/2 $ e dato che il momento meccanico $ tau $ rispetto a tale polo è pari a zero (il braccio è nullo sia per $ T_2 $ che per $ T_3 $) si ottiene:
$ tau = I*alpha -> 0 = m*R^2/2*alpha $ ma $ alpha = a_(CM)/R $ da cui si ottiene: $ 0 = m*R^2/2*a_(CM)/R $ cioè $ a_(CM)=0$
Perchè mi esce che l'accelerazione del centro di massa (CM) è sempre pari a 0? Cosa sbaglio? E' necessario applicare Steiner nel punto di contatto con il piano? Il mio ragionamento l'avevo fatto per semplificare i calcoli...(infatti il momento meccanico con il polo che ho considerato era pari a 0)...Cosa c'è che non va nel mio ragionamento?
Grazie
Io svolgendo l'esercizio, applicando la formula $ tau = I*alpha $ al disco centrale ho considerato come polo il centro del disco stesso e quindi, dato che il momento di inerzia per il disco che ruota attorno al suo asse principale è $ I = m*R^2/2 $ e dato che il momento meccanico $ tau $ rispetto a tale polo è pari a zero (il braccio è nullo sia per $ T_2 $ che per $ T_3 $) si ottiene:
$ tau = I*alpha -> 0 = m*R^2/2*alpha $ ma $ alpha = a_(CM)/R $ da cui si ottiene: $ 0 = m*R^2/2*a_(CM)/R $ cioè $ a_(CM)=0$
Perchè mi esce che l'accelerazione del centro di massa (CM) è sempre pari a 0? Cosa sbaglio? E' necessario applicare Steiner nel punto di contatto con il piano? Il mio ragionamento l'avevo fatto per semplificare i calcoli...(infatti il momento meccanico con il polo che ho considerato era pari a 0)...Cosa c'è che non va nel mio ragionamento?
Grazie
Risposte
Nessuno mi sa dare una mano? 
Il momento che agisce sul disco centrale è dovuto alla forza di attrito esercitata dal piano, quindi non è nullo: il problema ti dice che rotola senza strisciare
Perfetto... mi dimenticavo della forza di attrito.....in ogni caso provando a svolgere il sistema introducendo la forza di attrito non riesco a trovare l'espressione e il valore di $ a $ che c'è nella soluzione. Volevo chiedere ancora un paio di cose quindi:
le due carrucole sbaglio oppure non sono soggette ad accelerazione? Nel risolvere il mio sistema io ci metto anche queste equazioni:
$(T_2 - T_1)r_c=1/2 M_c*alpha_c -> (T_2 - T_1)r_c=1/2 M_c * a/r_c$
$(T_2 - T_1)=M_c*a$
$(T_4 - T_3)r_c=1/2 M_c*alpha_c -> (T_4 - T_3)r_c=1/2 M_c * a/r_c$
$(T_4 - T_3)=M_c*a$
Le quattro equazioni derivano dalle: $tau_c=I_c*alpha_c$ e $F_c=M_c*a$ applicate rispettivamente alle due carrucole (per l'inerzia si considerano le carrucole come dei dischi).
Ma essendo le accelerazioni delle due carrucole nulle allora si ottengono: $(T_2 - T_1=0 ->T_2=T_1)$ e $(T_4 - T_3=0 ->T_4=T_3)$
mentre per quanto riguarda il disco le equazioni che scrivo nel sistema sono le seguenti:
$r_d*F_a=1/2M_d*(r_d)^2*alpha_d$ e sostituendo $alpha_d=a/r_d$ si ottiene: $F_a=1/2M_d*a$
$T_2-F_a+T_3=M_d*a$
dove la prima è sempre ricavata da $tau_d=I_d*alpha_d$ e la seconda da $F_d=M_d*a$ dove $F_a$ è la forza di attrito del piano (il momento di inerzia è stato calcolato rispetto al centro di massa del disco)
Infine ho scritto le equazioni della dinamica per le due masse: $T_1-M_1*g=M_1*a$ e $M_2*g-T_4=M_2*a$
con tutte queste equazioni ho provato più e più volte a risolvere il sistema ma mai e poi mai mi risulta nell'espressione della accelerazione la massa $M_c$ della carrucola... cosa diamine sbaglio???
le due carrucole sbaglio oppure non sono soggette ad accelerazione? Nel risolvere il mio sistema io ci metto anche queste equazioni:
$(T_2 - T_1)r_c=1/2 M_c*alpha_c -> (T_2 - T_1)r_c=1/2 M_c * a/r_c$
$(T_2 - T_1)=M_c*a$
$(T_4 - T_3)r_c=1/2 M_c*alpha_c -> (T_4 - T_3)r_c=1/2 M_c * a/r_c$
$(T_4 - T_3)=M_c*a$
Le quattro equazioni derivano dalle: $tau_c=I_c*alpha_c$ e $F_c=M_c*a$ applicate rispettivamente alle due carrucole (per l'inerzia si considerano le carrucole come dei dischi).
Ma essendo le accelerazioni delle due carrucole nulle allora si ottengono: $(T_2 - T_1=0 ->T_2=T_1)$ e $(T_4 - T_3=0 ->T_4=T_3)$
mentre per quanto riguarda il disco le equazioni che scrivo nel sistema sono le seguenti:
$r_d*F_a=1/2M_d*(r_d)^2*alpha_d$ e sostituendo $alpha_d=a/r_d$ si ottiene: $F_a=1/2M_d*a$
$T_2-F_a+T_3=M_d*a$
dove la prima è sempre ricavata da $tau_d=I_d*alpha_d$ e la seconda da $F_d=M_d*a$ dove $F_a$ è la forza di attrito del piano (il momento di inerzia è stato calcolato rispetto al centro di massa del disco)
Infine ho scritto le equazioni della dinamica per le due masse: $T_1-M_1*g=M_1*a$ e $M_2*g-T_4=M_2*a$
con tutte queste equazioni ho provato più e più volte a risolvere il sistema ma mai e poi mai mi risulta nell'espressione della accelerazione la massa $M_c$ della carrucola... cosa diamine sbaglio???
Le accelerazioni delle carrucole non è detto affatto che siano nulle.
Cosa sono poi le equazioni tipo
$T_2-T_1 = M_c a$ ?
Le equazioni corrette sono quelle mostrate nella soluzione, al limite se vuoi scrivere per il disco i momenti rispetto al centro del disco e non rispetto al punto di contatto devi cambiare allora la terza equazione scritta lì e introdurre l'attrito, quindi aggiungere una equazione di bilancio di quantità di moto per il disco:
$A*r_d= I _d*alpha_d$
$T_3-A-T_2=m_d a_d$
in questo casi $I_d$ è rispetto al centro del disco.
Cosa sono poi le equazioni tipo
$T_2-T_1 = M_c a$ ?
Le equazioni corrette sono quelle mostrate nella soluzione, al limite se vuoi scrivere per il disco i momenti rispetto al centro del disco e non rispetto al punto di contatto devi cambiare allora la terza equazione scritta lì e introdurre l'attrito, quindi aggiungere una equazione di bilancio di quantità di moto per il disco:
$A*r_d= I _d*alpha_d$
$T_3-A-T_2=m_d a_d$
in questo casi $I_d$ è rispetto al centro del disco.
Le accelerazioni delle carrucole non è detto affatto che siano nulle.
Perchè? Me lo potresti spiegare?
Cosa sono poi le equazioni tipo
$T_2-T_1=M_c*a$?
Sono le equazioni classiche della dinamica: $F=m*a$ come mai alle carrucole non possono essere applicate? Grazie e scusa se le mie domande sono stupide ma sono un po' confuso!!
"Expboy":Le accelerazioni delle carrucole non è detto affatto che siano nulle.
Perchè? Me lo potresti spiegare?
Perché nessuno ti dice che le tensioni si annullino (condizione per avere velocità angolare delle carrucole costante).
Un chiarimento: per accelerazioni io intendo le accelerazioni angolari delle carrucole, è ovvio infatti che le carrucole sono ferme!
"Expboy":
Sono le equazioni classiche della dinamica: $F=m*a$ come mai alle carrucole non possono essere applicate? Grazie e scusa se le mie domande sono stupide ma sono un po' confuso!!
Se sono le equazioni di Newton per le carrucole allora manca la reazione del vincolo cioè la forza che esercita il braccetto che trattiene ogni carrucola al piano.
Tali equazioni sono inutili ai fini del problema comunque...
Perché non cerchi di capire prima la soluzione riportata e poi in caso a fare considerazioni tue, magari guardando le equazioni che ti ho scritto in precedenza?
E' il modo di migliore di procedere al livello in cui sei.
Ciao,
Perfetto... grazie mille a tutti coloro che mi hanno aiutato!
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