Chiarimenti concettuali sulla somma momenti in MQ
Ciao, nel cercare di comprendere la composizione dei momenti angolari in MQ mi sono imbattuto nella spiegazione che ne dà il landau, e su cui vorrei qualche chiarimento:
"Consideriamo un sistema composto di due parti debolmente interagenti. Se si trascura totalmente l'interazione, per ciascuna di esse è valida la legge di conservazione del momento angolare, e il momento totale di tutto il sistema $\vec L$ può essere considerato come la somma dei momenti angolari $\vec {L_1}$ e $vec {L_2}$ delle sue parti."
Domanda: ma quindi nel caso in cui il momento angolare delle singole particelle non si conserva non è possibile esprimere il momento angolare totale come la somma dei loro momenti? Perchè?
"Nell'approssimazione successiva, tenendo conto della debole interazione, le leggi di conservazione di $\vec {L_1}$ e $\vec {L_2}$ non sono più rigorosamente osservate, ma i numeri $L_1$e $L_2$ che determinano i loro quadrati restano <> numeri quantici per la descrizione approssimata del sistema. In relazione allo studio di tali sistemi si pone il problema della legge di composizione dei momenti agolari." E a questo punto procede normalmente mostrando che i valori possibili della proiezione $M$ del momento sull'asse $z$ sono dati semplicemente da $M_1+M_2$ mentre i possibili valori di $L$ sono gli interi compresi tra $|L_1-L_2|$ e $L_1+L_2$
Domanda: che significa che $L_1$ e $L_2$ sono buoni numeri per la descrizione approssimata del sistema? Che la legge di composizione in questo caso è approssimata perchè $L_1$ e $L_2$ non sono costanti? Non riesco proprio a capire..
"Consideriamo un sistema composto di due parti debolmente interagenti. Se si trascura totalmente l'interazione, per ciascuna di esse è valida la legge di conservazione del momento angolare, e il momento totale di tutto il sistema $\vec L$ può essere considerato come la somma dei momenti angolari $\vec {L_1}$ e $vec {L_2}$ delle sue parti."
Domanda: ma quindi nel caso in cui il momento angolare delle singole particelle non si conserva non è possibile esprimere il momento angolare totale come la somma dei loro momenti? Perchè?
"Nell'approssimazione successiva, tenendo conto della debole interazione, le leggi di conservazione di $\vec {L_1}$ e $\vec {L_2}$ non sono più rigorosamente osservate, ma i numeri $L_1$e $L_2$ che determinano i loro quadrati restano <
Domanda: che significa che $L_1$ e $L_2$ sono buoni numeri per la descrizione approssimata del sistema? Che la legge di composizione in questo caso è approssimata perchè $L_1$ e $L_2$ non sono costanti? Non riesco proprio a capire..
Risposte
Vedo di chiarire meglio le domande che ho posto.
La prima domanda deriva dal fatto che in meccanica classica il momento angolare è una grandezza additiva, indipendentemente dal fatto che le particelle interagiscano fra di loro. La frase che ho riportato del landau mi porta però a pensare che in meccanica quantistica questa proprietà non sia più valida, cioè che nel caso in cui due particelle interagiscano fra loro, il momento angolare totale non si possa esprimere come la somma dei due. Potete chiarmi le idee a questo proposito?
Per la seconda domanda invece l'unica cosa che mi viene da pensare è che se consideriamo gli stati stazionari, i momenti angolari $\vec {L_1}$ e $\vec {L_2}$ non hanno valori determinati (perchè non sono costanti del moto) e quindi non potranno avere valori determinati nepppure i numeri $L_1$ e $L_2$ che determinano gli autovalori di $\vec {L_1^2}$ e $\vec {L_2^2}$, per cui probabilmente si parla di una descrizione approssimata del sistema perchè $L_1$ e $L_2$ non sono determinati negli stati stazionari. D'altra parte però non credo che questa interpretazione sia corretta perchè come sistema completo di grandezze fisiche si sta prendendo $\vec {L_1^2}, \vec {L_2^2}, \vec {L^2}, L_z $, quindi in realtà l'hamiltoniana non entra in gioco, e le quattro grandezze considerate possono essere misurate contemporaneamente perchè commutano, ma a questo punto cosa è che stiamo descrivendo in modo approssimato?
La prima domanda deriva dal fatto che in meccanica classica il momento angolare è una grandezza additiva, indipendentemente dal fatto che le particelle interagiscano fra di loro. La frase che ho riportato del landau mi porta però a pensare che in meccanica quantistica questa proprietà non sia più valida, cioè che nel caso in cui due particelle interagiscano fra loro, il momento angolare totale non si possa esprimere come la somma dei due. Potete chiarmi le idee a questo proposito?
Per la seconda domanda invece l'unica cosa che mi viene da pensare è che se consideriamo gli stati stazionari, i momenti angolari $\vec {L_1}$ e $\vec {L_2}$ non hanno valori determinati (perchè non sono costanti del moto) e quindi non potranno avere valori determinati nepppure i numeri $L_1$ e $L_2$ che determinano gli autovalori di $\vec {L_1^2}$ e $\vec {L_2^2}$, per cui probabilmente si parla di una descrizione approssimata del sistema perchè $L_1$ e $L_2$ non sono determinati negli stati stazionari. D'altra parte però non credo che questa interpretazione sia corretta perchè come sistema completo di grandezze fisiche si sta prendendo $\vec {L_1^2}, \vec {L_2^2}, \vec {L^2}, L_z $, quindi in realtà l'hamiltoniana non entra in gioco, e le quattro grandezze considerate possono essere misurate contemporaneamente perchè commutano, ma a questo punto cosa è che stiamo descrivendo in modo approssimato?
Non potete proprio aiutarmi? Anche qualche commento per un confronto...
Scusate se insisto, ma spero ancora in una vostra risposta o commento riportando un'altra frase che ho trovato consultando l'eisberg-resnick: (in cui si indica con $\vec J\ \ $ il momento angolare totale, con $\vec L\ \ $ il momento angolare orbitale e con $\vec S \ \ $ lo spin)
"In the absence of the spin-orbit interaction, $L_z$ and $S_z$ would satisfy the quantization conditions $L_z=m_lh$ and $S_z=m_sh$. And in such a situation it would still be possible to define $\vec J=\vec L+\vec S\ \ $, and its $z$ component would still satisfy the quantization condition $J_z=m_jh$. So if there were no spin-orbit interaction we could write
$m_jh=m_lh+m_sh$
or
$m_j=m_l+m_s$"
Alla fine i dubbi restano sempre quelli. Dalla frase si deduce che il momento angolare totale si può considerare come la somma dei due solo se fra loro non c'è interazione. Ma perchè mai non dovrebbe essere vero se invece i due momenti interagiscono?
Sempre dalla frase ora riportata si dice che se non c'è interazione, $L_z$ e $S_z$ soddisfano le relazioni $L_z=m_lh$ e $S_z=m_sh$ e quindi possiamo esprimere la proiezione $z$ del momento totale come somma $m_l+m_s$. Ma perchè queste espressioni per gli autovalori valgono solo se non c'è interazione? Come si modificano altrimenti?
In ogni caso sono io che sto interpretando male i testi, o potete confermarmi che è effettivamente così?
"In the absence of the spin-orbit interaction, $L_z$ and $S_z$ would satisfy the quantization conditions $L_z=m_lh$ and $S_z=m_sh$. And in such a situation it would still be possible to define $\vec J=\vec L+\vec S\ \ $, and its $z$ component would still satisfy the quantization condition $J_z=m_jh$. So if there were no spin-orbit interaction we could write
$m_jh=m_lh+m_sh$
or
$m_j=m_l+m_s$"
Alla fine i dubbi restano sempre quelli. Dalla frase si deduce che il momento angolare totale si può considerare come la somma dei due solo se fra loro non c'è interazione. Ma perchè mai non dovrebbe essere vero se invece i due momenti interagiscono?
Sempre dalla frase ora riportata si dice che se non c'è interazione, $L_z$ e $S_z$ soddisfano le relazioni $L_z=m_lh$ e $S_z=m_sh$ e quindi possiamo esprimere la proiezione $z$ del momento totale come somma $m_l+m_s$. Ma perchè queste espressioni per gli autovalori valgono solo se non c'è interazione? Come si modificano altrimenti?
In ogni caso sono io che sto interpretando male i testi, o potete confermarmi che è effettivamente così?
Nella parte sugli spin dell'Heisberg-Resnick io non ci ho capito tanto. E' un libro introduttivo più che altro. Ti consiglio di dare un'occhiata alle primissime pagine del capitolo Addition of angular momenta del Cohen in cui nell'introduzione parla del caso classico e subito dopo presenta il caso quantistico con particelle interagenti e non. Pag. 100 da scribd: link, 999 dal secondo volume.
Per rispondere alla tua domanda concettuale, possiamo senz'altro considerare l'esempio più semplice, quello del sistema composto da due particelle di spin $1/2$. Quando viene introdotto, è del tutto naturale considerare la seguente base:
$[+][+]$ In questo stato, se si esegue una misura della componente dello spin lungo il terzo asse di entrambe le particelle, si ottengono valori positivi.
$[+][-]$ Valore positivo per la prima particella, valore negativo per la seconda.
$[-][+]$ Valore negativo per la prima particella, valore positivo per la seconda.
$[-][-]$ Valori negativi.
In seconda battuta, si introduce l'operatore dello spin totale e si determina la seguente base:
$[+][+]$ In questo stato la misura dello spin totale rende $1$, quello della sua componente lungo il terzo asse $1$.
$sqrt2/2[+][-]+sqrt2/2[-][+]$ Rende $1$ e $0$.
$[-][-]$ Rende $1$ e $-1$.
$sqrt2/2[+][-]-sqrt2/2[-][+]$ Rende $0$ e $0$.
Ora, se le due particelle non interagiscono, è evidente che almeno gli stati espressi come una sovrapposizione non siano fisicamente realizzabili. Per fare un esempio, se il sistema si trovasse nello stato:
$sqrt2/2[+][-]-sqrt2/2[-][+]$
una misura della componente dello spin lungo il terzo asse della prima particella che dovesse risultare positiva, in questo caso sopravviverebbe solo $[+][-]$, costringerebbe la seconda particella ad avere componente negativa. Viceversa, una misura della componente dello spin della prima particella che dovesse risultare negativa, in questo caso sopravviverebbe solo $[-][+]$, costringerebbe la seconda particella ad avere componente positiva. In definitiva, vista la correlazione tra le due misure, un tale stato è fisicamente realizzabile solo grazie ad una reciproca interazione, passata o presente che sia.
Dovremmo allora chiederci come sia possibile realizzare uno stato del genere. Supponendo di partire da uno stato iniziale del tipo $[+][-]$, si può immaginare di aver preparato l'apparato sperimentale in modo tale che, prima dell'interazione o urto che dir si voglia, la prima particella abbia la componente dello spin positiva, la seconda particella l'abbia negativa, è evidente che, in assenza d'interazione, si possa ottenere solamente un identico stato finale. Ma in presenza d'interazione, basti pensare ad un termine del tipo $vecS_1*vecS_2$, è altrettanto evidente che si possano ottenere stati finali differenti. E siccome, in presenza d'interazione, a conservarsi è lo spin totale, è naturale calcolare le ampiezze di probabilità che si ottengano gli autostati dello spin totale medesimo. Ai fini del calcolo, è sufficiente applicare l'operatore di evoluzione temporale allo stato iniziale $[+][-]$ e determinare le componenti dello stato evoluto, tipicamente per $t->+oo$, rispetto agli autostati dello spin totale introdotti in precedenza.
Il concetto di base per comprendere questa affermazione dovrebbe essere quello sopra esposto. Tra l'altro, queste considerazioni sono del tutto personali e di carattere più qualitativo che quantitativo. Del resto, non ricordo di aver mai letto qualcosa che chiarisse in modo più esplicito i fondamenti di carattere teorico e sperimentale di questo modo di procedere. Se qualcuno ne è a conoscenza o volesse comunque intervenire per dare un suo contributo, è ovviamente ben accetto.
Per comprendere questa seconda affermazione, dovresti prima studiare la teoria perturbativa.
$[+][+]$ In questo stato, se si esegue una misura della componente dello spin lungo il terzo asse di entrambe le particelle, si ottengono valori positivi.
$[+][-]$ Valore positivo per la prima particella, valore negativo per la seconda.
$[-][+]$ Valore negativo per la prima particella, valore positivo per la seconda.
$[-][-]$ Valori negativi.
In seconda battuta, si introduce l'operatore dello spin totale e si determina la seguente base:
$[+][+]$ In questo stato la misura dello spin totale rende $1$, quello della sua componente lungo il terzo asse $1$.
$sqrt2/2[+][-]+sqrt2/2[-][+]$ Rende $1$ e $0$.
$[-][-]$ Rende $1$ e $-1$.
$sqrt2/2[+][-]-sqrt2/2[-][+]$ Rende $0$ e $0$.
Ora, se le due particelle non interagiscono, è evidente che almeno gli stati espressi come una sovrapposizione non siano fisicamente realizzabili. Per fare un esempio, se il sistema si trovasse nello stato:
$sqrt2/2[+][-]-sqrt2/2[-][+]$
una misura della componente dello spin lungo il terzo asse della prima particella che dovesse risultare positiva, in questo caso sopravviverebbe solo $[+][-]$, costringerebbe la seconda particella ad avere componente negativa. Viceversa, una misura della componente dello spin della prima particella che dovesse risultare negativa, in questo caso sopravviverebbe solo $[-][+]$, costringerebbe la seconda particella ad avere componente positiva. In definitiva, vista la correlazione tra le due misure, un tale stato è fisicamente realizzabile solo grazie ad una reciproca interazione, passata o presente che sia.
Dovremmo allora chiederci come sia possibile realizzare uno stato del genere. Supponendo di partire da uno stato iniziale del tipo $[+][-]$, si può immaginare di aver preparato l'apparato sperimentale in modo tale che, prima dell'interazione o urto che dir si voglia, la prima particella abbia la componente dello spin positiva, la seconda particella l'abbia negativa, è evidente che, in assenza d'interazione, si possa ottenere solamente un identico stato finale. Ma in presenza d'interazione, basti pensare ad un termine del tipo $vecS_1*vecS_2$, è altrettanto evidente che si possano ottenere stati finali differenti. E siccome, in presenza d'interazione, a conservarsi è lo spin totale, è naturale calcolare le ampiezze di probabilità che si ottengano gli autostati dello spin totale medesimo. Ai fini del calcolo, è sufficiente applicare l'operatore di evoluzione temporale allo stato iniziale $[+][-]$ e determinare le componenti dello stato evoluto, tipicamente per $t->+oo$, rispetto agli autostati dello spin totale introdotti in precedenza.
"albireo":
"Consideriamo un sistema composto di due parti debolmente interagenti. Se si trascura totalmente l'interazione, per ciascuna di esse è valida la legge di conservazione del momento angolare, e il momento totale di tutto il sistema $\vec L$ può essere considerato come la somma dei momenti angolari $\vec {L_1}$ e $vec {L_2}$ delle sue parti."
Il concetto di base per comprendere questa affermazione dovrebbe essere quello sopra esposto. Tra l'altro, queste considerazioni sono del tutto personali e di carattere più qualitativo che quantitativo. Del resto, non ricordo di aver mai letto qualcosa che chiarisse in modo più esplicito i fondamenti di carattere teorico e sperimentale di questo modo di procedere. Se qualcuno ne è a conoscenza o volesse comunque intervenire per dare un suo contributo, è ovviamente ben accetto.
"albireo":
"Nell'approssimazione successiva, tenendo conto della debole interazione, le leggi di conservazione di $\vec {L_1}$ e $\vec {L_2}$ non sono più rigorosamente osservate, ma i numeri $L_1$e $L_2$ che determinano i loro quadrati restano <> numeri quantici per la descrizione approssimata del sistema. In relazione allo studio di tali sistemi si pone il problema della legge di composizione dei momenti agolari."
Per comprendere questa seconda affermazione, dovresti prima studiare la teoria perturbativa.
Ti ringrazio per la risposta che mi hai dato, davvero chiara come spiegazione. Credo che tu abbia centrato il problema.
Intendi dire che se compare questo termine nell'hamiltoniano del sistema, questo non comuta più con i momenti angolari delle singole particelle e quindi si ottengono stati differenti perchè non sono più grandezze conservative?
Il concetto di base per comprendere questa affermazione dovrebbe essere quello sopra esposto. Tra l'altro, queste considerazioni sono del tutto personali e di carattere più qualitativo che quantitativo. Del resto, non ricordo di aver mai letto qualcosa che chiarisse esplicitamente questo aspetto del problema. Se qualcuno ne è a conoscenza o volesse comunque intervenire per dare un suo contributo, è ovviamente ben accetto.
[/quote]
Credo anch'io che il concetto base per capire quella affermazione sia ciò che hai esposto prima. Vedo di spiegare perché, (anch'io con considerazioni più che altro qualitative) così nel caso puoi smentirmi o darmi conferma.
Allora, se le particelle non interagiscono, a ciascuna di esse si può sempre associare un vettore di stato, o una funzione d'onda. Lo stato del sistema composto dalle due particelle sarà allora il prodotto tensoriale degli stati che rappresentano le due particelle singolarmente, cioè in termini di funzioni d’onda sarà il prodotto delle loro funzioni d'onda.
Se invece c'è interazione, in generale lo stato del sistema è dato da una combinazione lineare di stati che sono prodotti tensoriali di ket appartenenti allo spazio delle singole particelle (come nel caso che hai mostrato tu prima), cioè la funzione d'onda del sistema complessivo non è fattorizzabile come prodotto delle singole funzioni d'onda. In questo caso il risultato della misura non è ben definito, nel senso che non esiste un processo di misura di un insieme completo di grandezze che definisca in modo univoco lo stato finale del sistema, perché come hai mostrato tu prima, il risultato di una misura effettuata su una particella influenza il risultato della misura effettuata sull’altra.
Al contrario invece se non c'è interazione il risultato sarà univoco una volta effettuate tutte le misure necessarie, perché le misure effettuate su una particella non sono influenzate dalla misura di grandezze dell’altra.
Se c'è interazione, quindi, non esiste una funzione d’onda che descrive lo stato della prima particella e un’altra funzione d’onda che descrive lo stato della seconda (se esistessero significherebbe che i risultati delle misure sulle due particelle sarebbero indipendenti fra loro, cioè fra le misure effettuate non ci sarebbe correlazione, e quindi non ci sarebbe interazione fra le due particelle).
Per descrivere lo stato di ciascuna particella in questo caso si introduce un operatore chiamato operatore densità (che devo ancora capire bene come è definito).
Alla luce di tutto ciò, ora quella frase la interpreto in questo modo: quando dice che se non c’è interazione il momento angolare totale si può esprimere come la somma dei momenti delle due particelle, non significa, a mio parere, che la stessa cosa non sia più vera se c’è interazione, ma che semplicemente in questo caso non possiamo specificare in modo univoco cosa sia $L_1$ e $L_2$ perché essendoci interazione non si può determinare in modo univoco il risultato delle misure non essendo possibile determinare una funzione d’onda per le singole particelle.
Cosa ne pensi?
"speculor":
Ma in presenza d'interazione, basti pensare ad un termine del tipo $vecS_1*vecS_2$, è altrettanto evidente che si possano ottenere stati finali differenti.
Intendi dire che se compare questo termine nell'hamiltoniano del sistema, questo non comuta più con i momenti angolari delle singole particelle e quindi si ottengono stati differenti perchè non sono più grandezze conservative?
"speculor":
[quote="albireo"]
"Consideriamo un sistema composto di due parti debolmente interagenti. Se si trascura totalmente l'interazione, per ciascuna di esse è valida la legge di conservazione del momento angolare, e il momento totale di tutto il sistema $\vec L$ può essere considerato come la somma dei momenti angolari $\vec {L_1}$ e $vec {L_2}$ delle sue parti."
Il concetto di base per comprendere questa affermazione dovrebbe essere quello sopra esposto. Tra l'altro, queste considerazioni sono del tutto personali e di carattere più qualitativo che quantitativo. Del resto, non ricordo di aver mai letto qualcosa che chiarisse esplicitamente questo aspetto del problema. Se qualcuno ne è a conoscenza o volesse comunque intervenire per dare un suo contributo, è ovviamente ben accetto.
[/quote]
Credo anch'io che il concetto base per capire quella affermazione sia ciò che hai esposto prima. Vedo di spiegare perché, (anch'io con considerazioni più che altro qualitative) così nel caso puoi smentirmi o darmi conferma.
Allora, se le particelle non interagiscono, a ciascuna di esse si può sempre associare un vettore di stato, o una funzione d'onda. Lo stato del sistema composto dalle due particelle sarà allora il prodotto tensoriale degli stati che rappresentano le due particelle singolarmente, cioè in termini di funzioni d’onda sarà il prodotto delle loro funzioni d'onda.
Se invece c'è interazione, in generale lo stato del sistema è dato da una combinazione lineare di stati che sono prodotti tensoriali di ket appartenenti allo spazio delle singole particelle (come nel caso che hai mostrato tu prima), cioè la funzione d'onda del sistema complessivo non è fattorizzabile come prodotto delle singole funzioni d'onda. In questo caso il risultato della misura non è ben definito, nel senso che non esiste un processo di misura di un insieme completo di grandezze che definisca in modo univoco lo stato finale del sistema, perché come hai mostrato tu prima, il risultato di una misura effettuata su una particella influenza il risultato della misura effettuata sull’altra.
Al contrario invece se non c'è interazione il risultato sarà univoco una volta effettuate tutte le misure necessarie, perché le misure effettuate su una particella non sono influenzate dalla misura di grandezze dell’altra.
Se c'è interazione, quindi, non esiste una funzione d’onda che descrive lo stato della prima particella e un’altra funzione d’onda che descrive lo stato della seconda (se esistessero significherebbe che i risultati delle misure sulle due particelle sarebbero indipendenti fra loro, cioè fra le misure effettuate non ci sarebbe correlazione, e quindi non ci sarebbe interazione fra le due particelle).
Per descrivere lo stato di ciascuna particella in questo caso si introduce un operatore chiamato operatore densità (che devo ancora capire bene come è definito).
Alla luce di tutto ciò, ora quella frase la interpreto in questo modo: quando dice che se non c’è interazione il momento angolare totale si può esprimere come la somma dei momenti delle due particelle, non significa, a mio parere, che la stessa cosa non sia più vera se c’è interazione, ma che semplicemente in questo caso non possiamo specificare in modo univoco cosa sia $L_1$ e $L_2$ perché essendoci interazione non si può determinare in modo univoco il risultato delle misure non essendo possibile determinare una funzione d’onda per le singole particelle.
Cosa ne pensi?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo