Chi riesce a risolverlo?
Edit: questo topic era precedentemente intitolato "carta igienica".
Accolgo l'invito di Mathbells a mettere un nuovo titolo che inviti alla sfida.
È un problema proposto a scopo puramente ricreativo.
(indirizzato ai ragazzi, non ai professori di questo forum eh!)
Avvertenza: Questo esercizio può essere risolto con metodi algebrici elementari, senza utilizzare né derivate né integrali.
Non è però vietato tentare di scendere più in profondità rispetto alla soluzione di prima approssimazione, utilizzando i metodi che si preferiscono.
Immaginiamo una striscia di carta molto lunga e sottile avvolta su sé stessa, come un rotolo di carta igienica insomma, ma senza il cilindro di cartone centrale.
Immaginiamo di tenere ferma l'estremità della striscia e di lanciare il rotolo a svolgersi lungo una strada diritta e orizzontale, imprimendogli una velocità iniziale V0 (un po' come il cartone animato della famosa pubblicità, ricordate?).
La striscia di carta sia spessa d, e il raggio iniziale del rotolo sia R (con d<
Sia x la distanza raggiunta dal centro del rotolo rispetto al punto iniziale
1)Si chiede di calcolare la velocità raggiunta dal centro del rotolo in funzione di x, e di discuterne l'andamento.
2) Si chiede di calcolare la velocità raggiunta dal centro di massa dell'intera striscia di carta, parte distesa e parte arrotolata, in funzione di x.
3)Quando il rotolo si sarà disteso completamente, evidentemente la velocità del centro di massa dell'intera striscia, tutta posata a terra, sarà nulla. Domanda: che fine ha fatto l'energia cinetica iniziale, visto che gli attriti sono nulli e l'ancoraggio alla testa della striscia non si sposta perché ipotizzato infinitamente rigido, dunque non compie lavoro?
Un problemino curioso, così tanto per passare il tempo pensandoci su un po'.
Accolgo l'invito di Mathbells a mettere un nuovo titolo che inviti alla sfida.
È un problema proposto a scopo puramente ricreativo.
(indirizzato ai ragazzi, non ai professori di questo forum eh!)
Avvertenza: Questo esercizio può essere risolto con metodi algebrici elementari, senza utilizzare né derivate né integrali.
Non è però vietato tentare di scendere più in profondità rispetto alla soluzione di prima approssimazione, utilizzando i metodi che si preferiscono.
Immaginiamo una striscia di carta molto lunga e sottile avvolta su sé stessa, come un rotolo di carta igienica insomma, ma senza il cilindro di cartone centrale.
Immaginiamo di tenere ferma l'estremità della striscia e di lanciare il rotolo a svolgersi lungo una strada diritta e orizzontale, imprimendogli una velocità iniziale V0 (un po' come il cartone animato della famosa pubblicità, ricordate?).
La striscia di carta sia spessa d, e il raggio iniziale del rotolo sia R (con d<
Sia x la distanza raggiunta dal centro del rotolo rispetto al punto iniziale
1)Si chiede di calcolare la velocità raggiunta dal centro del rotolo in funzione di x, e di discuterne l'andamento.
2) Si chiede di calcolare la velocità raggiunta dal centro di massa dell'intera striscia di carta, parte distesa e parte arrotolata, in funzione di x.
3)Quando il rotolo si sarà disteso completamente, evidentemente la velocità del centro di massa dell'intera striscia, tutta posata a terra, sarà nulla. Domanda: che fine ha fatto l'energia cinetica iniziale, visto che gli attriti sono nulli e l'ancoraggio alla testa della striscia non si sposta perché ipotizzato infinitamente rigido, dunque non compie lavoro?
Un problemino curioso, così tanto per passare il tempo pensandoci su un po'.
Risposte
Peccato questo quesito non stia avendo l'attenzione che meriti: nonostante il tema sembri triviale (in italiano), non è affatto trivial (in inglese).
Molti studenti qui trarrebbero vantaggio e consoliderebbero i concetti appresi cimentandosi nel quesito proposto da Falco5x.
Soprattutto l'ultima domanda somiglia a un rompicapo.
Molti studenti qui trarrebbero vantaggio e consoliderebbero i concetti appresi cimentandosi nel quesito proposto da Falco5x.
Soprattutto l'ultima domanda somiglia a un rompicapo.
"Faussone":
Peccato questo quesito non stia avendo l'attenzione che meriti
Sono d'accordo. Il fatto è che qui gli studenti sono abituati più a chiedere soluzioni che a risolvere problemi
. Posso suggerire a Falco5x di provare a cambiare il titolo del post con qualcosa che inviti alla sfida (quello attuale è sicuramente originale, ma forse poco attraente
). Purtroppo non esiste nel forum una sezione di Fisica del tipo di quelle "Pensare un po' di più" o "scervelliamoci un po'" per matematica. Potrebbe essere una proposta da fare in amministrazione...ci proverò.
Calma!!
Uno per volta.
Falco5x, forse per i poveri vecchietti ancora curiosi (visto che i giovani studenti non sembrano tanto curiosi), potresti ormai dire cosa avevi in mente.
A me in mente viene solo una via che comporta qualche complicazione, credo non irrisolvible alla fine, ma sono curioso di sapere la tua idea.
Riguardo l'ultimo punto su dove finisce l'energia cinetica, io direi che non bisogna farsi ingannare pensando alla carta igienica, in realtà l'energia cinetica rimane tale....
Uno per volta.
Falco5x, forse per i poveri vecchietti ancora curiosi (visto che i giovani studenti non sembrano tanto curiosi), potresti ormai dire cosa avevi in mente.
A me in mente viene solo una via che comporta qualche complicazione, credo non irrisolvible alla fine, ma sono curioso di sapere la tua idea.
Riguardo l'ultimo punto su dove finisce l'energia cinetica, io direi che non bisogna farsi ingannare pensando alla carta igienica, in realtà l'energia cinetica rimane tale....
Grazie Falco del problema.
Trovo il punto 3 molto stimolante. Provo a rispondere almeno qualitativamente mantenendo il modello più semplice di carta completamente senza attriti interni e rotolo completamente pieno di carta avvolta a spinale senza cartone o buco centrale.
Alla fine dello srotolamento l'estremità finale darà uno "schiaffo" sul piano, rimbalzerà e inizierà ad arrotolarsi all'indietro come se si si riavvolgimento infmdietronnelntempk la scena, fino a tornare alla situazione iniziale con velocità di verso opposto.
Trovo il punto 3 molto stimolante. Provo a rispondere almeno qualitativamente mantenendo il modello più semplice di carta completamente senza attriti interni e rotolo completamente pieno di carta avvolta a spinale senza cartone o buco centrale.
Alla fine dello srotolamento l'estremità finale darà uno "schiaffo" sul piano, rimbalzerà e inizierà ad arrotolarsi all'indietro come se si si riavvolgimento infmdietronnelntempk la scena, fino a tornare alla situazione iniziale con velocità di verso opposto.
La cosa che mi stupisce di più è che, all'istante in cui il rotolo si è srotolato tutto (rotolo inizialmente completamente pieno), nella condizione di assenza di attriti e di spessore della carta tendente a zero, la velocità del punto di tangenza fra rotolo e piano di scorrimento tende all'infinito.
Occorrerebbe allora tirare in ballo la RR
Occorrerebbe allora tirare in ballo la RR
Io direi che ralf86 merita una bella lode per questa conclusione!
In fondo il problema non è molto diverso fa quello di una palla che sbatte contro un muro e rimbalza, anche se qui la palla diventa infinitesimale e la velocità tende all'infinito. Apprezzo anche la battuta di zpe, ma riguardo alla carta igienica relativistica lascerei la parola a Navigatore che meglio di me saprebbe affrontare lo spinoso problema.
Appena ho un po' di tempo metto giù qualche formula, così do l'opportunità a Faussone di bacchettarmi sui dettagli che di sicuro ho trascurato.
In fondo il problema non è molto diverso fa quello di una palla che sbatte contro un muro e rimbalza, anche se qui la palla diventa infinitesimale e la velocità tende all'infinito. Apprezzo anche la battuta di zpe, ma riguardo alla carta igienica relativistica lascerei la parola a Navigatore che meglio di me saprebbe affrontare lo spinoso problema.
Appena ho un po' di tempo metto giù qualche formula, così do l'opportunità a Faussone di bacchettarmi sui dettagli che di sicuro ho trascurato.
"ralf86":
Alla fine dello srotolamento l'estremità finale darà uno "schiaffo" sul piano, rimbalzerà e inizierà ad arrotolarsi all'indietro come se si si riavvolgimento infmdietronnelntempk la scena, fino a tornare alla situazione iniziale con velocità di verso opposto.
Intendevo proprio questo quando dicevo che non bisogna farsi ingannare pensando alla carta igienica vera, per cui uno difficilmente si figurerebbe un comportamento del genere, anche se nelle ipotesi che ha messo Falco5x, sarebbe esattamente quello che accadrebbe.Riguardo al resto sarebbe interessante fare i conti sia in presenza di gravità che senza, i dubbi che avevo sui conti si sono dissipati, mettendo giù le formule su carta si vede che non è così terribile.
A dire il vero mi restano ancora dei dubbi su come considerare momento angolare e energia...
Devo ancora pensarci bene.
In effetti forse io la faccio troppo semplice, ma tant'è, i miei conti sono questi che espongo di seguito.
Per prima cosa la relazione tra la lunghezza di carta svolta e la dimensione del rotolo.
Parto da un ricordo assai romantico.
Chiunque abbia avuto a che fare con un registratore a bobina si sarà imbattuto nella necessità di mettere in relazione i giri del contagiri con la durata della registrazione, dunque avrà fatto delle considerazioni del tipo di quelle che seguono.
Posta x la lunghezza di carta svolta, R il raggio iniziale e r il raggio corrente del rotolo, posta l'equivalenza dell'area laterale della striscia svolta con quella della corona circolare svolta si giunge alla seguente formula:
$$\eqalign{
& \Delta A = xd = \pi \left[ {{R^2} - {r^2}} \right] \cr
& {r^2} = {R^2} - \frac{d}
{\pi }x \cr} $$
Adesso la strada più semplice mi pare sia quella di considerare l'invarianza dell'energia cinetica del rotolo. Qui non vado troppo a sottilizzare sul perché e percome la striscia che si posa a terra trasferisca la propria energia al rotolo che corre, fatto sta che quando si posa ha già energia nulla, perché ha velocità nulla.
Va anche osservato che la striscia rimane sempre in tensione, dunque inutile porsi complicazioni sul fatto che possa "arricciarsi" (il fatto che rimanga in tensione si scopre alla fine, vedendo che la quantità di moto del rotolo diminuisce progressivamente, dunque la forza che la striscia posata a terra esercita sul rotolo in movimento è sempre di trazione).
Ciò posto scriviamo le relazioni dell'energia:
$$\eqalign{
& {E_0} = \frac{1}
{2}M{v_0}^2 + \frac{1}
{2}I{\omega ^2} = \frac{1}
{2}M{v_0}^2 + \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}\frac{{{v_0}^2}}
{{{R^2}}} = \frac{3}
{4}M{v_0}^2 \cr
& E\left( x \right) = \frac{3}
{4}m{v^2} \cr
& m = M\frac{{{r^2}}}
{{{R^2}}} = M\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right) \cr
& E\left( x \right) = \frac{3}
{4}M\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right){v^2} \cr} $$
Eguagliando l'energia al punto x con quella iniziale si ricava la formula:
$$\eqalign{
& \left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right){v^2} = {v_0}^2 \cr
& v = \frac{{{v_0}}}
{{\sqrt {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} }} \cr} $$
Come si vede la velocità tende all'infinito quando il rotolo tende a raggio nullo.
E' ben vero che ho fatto qui la semplificazione che la velocità traslazionale sia puramente orizzontale, mentre in realtà ha una piccola componente verticale dovuta al fatto che il rotolo diminuendo di raggio abbassa il suo CM, ma anche considerando questo dettaglio le conclusioni non cambiano molto, a prezzo però di una significativa complicazione dei calcoli che voglio qui evitare.
Vediamo come si comporta il CM dell'intera carta.
Suddividendo la carta in due parti, quella posata a terra e quella ancora arrotolata, si può scrivere:
$$\eqalign{
& M{x_{CM}} = \frac{M}
{{\pi {R^2}}}xd\frac{x}
{2} + \frac{M}
{{\pi {R^2}}}\pi {r^2}x = M\left( {\frac{d}
{{2\pi {R^2}}}{x^2} + \frac{{{r^2}}}
{{{R^2}}}x} \right) = M\left( {\frac{d}
{{2\pi {R^2}}}{x^2} + \left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right)x} \right) \cr
& {x_{CM}} = x - \frac{d}
{{2\pi {R^2}}}{x^2} \cr
& {v_{CM}} = v\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right) = \frac{{{v_0}}}
{{\sqrt {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} }}\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right) = {v_0}\sqrt {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \cr} $$
Come era prevedibile, la velocità del CM tende a zero, e questo potrebbe indurre a ingannarsi sul fatto che l'energia cinetica sembra sparire
Riguardo a considerazioni sul momento angolare io non ne ho fatte, dunque se Faussone volesse cimentarvisi sarà un benemerito.
Per prima cosa la relazione tra la lunghezza di carta svolta e la dimensione del rotolo.
Parto da un ricordo assai romantico.
Chiunque abbia avuto a che fare con un registratore a bobina si sarà imbattuto nella necessità di mettere in relazione i giri del contagiri con la durata della registrazione, dunque avrà fatto delle considerazioni del tipo di quelle che seguono.
Posta x la lunghezza di carta svolta, R il raggio iniziale e r il raggio corrente del rotolo, posta l'equivalenza dell'area laterale della striscia svolta con quella della corona circolare svolta si giunge alla seguente formula:
$$\eqalign{
& \Delta A = xd = \pi \left[ {{R^2} - {r^2}} \right] \cr
& {r^2} = {R^2} - \frac{d}
{\pi }x \cr} $$
Adesso la strada più semplice mi pare sia quella di considerare l'invarianza dell'energia cinetica del rotolo. Qui non vado troppo a sottilizzare sul perché e percome la striscia che si posa a terra trasferisca la propria energia al rotolo che corre, fatto sta che quando si posa ha già energia nulla, perché ha velocità nulla.
Va anche osservato che la striscia rimane sempre in tensione, dunque inutile porsi complicazioni sul fatto che possa "arricciarsi" (il fatto che rimanga in tensione si scopre alla fine, vedendo che la quantità di moto del rotolo diminuisce progressivamente, dunque la forza che la striscia posata a terra esercita sul rotolo in movimento è sempre di trazione).
Ciò posto scriviamo le relazioni dell'energia:
$$\eqalign{
& {E_0} = \frac{1}
{2}M{v_0}^2 + \frac{1}
{2}I{\omega ^2} = \frac{1}
{2}M{v_0}^2 + \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}\frac{{{v_0}^2}}
{{{R^2}}} = \frac{3}
{4}M{v_0}^2 \cr
& E\left( x \right) = \frac{3}
{4}m{v^2} \cr
& m = M\frac{{{r^2}}}
{{{R^2}}} = M\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right) \cr
& E\left( x \right) = \frac{3}
{4}M\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right){v^2} \cr} $$
Eguagliando l'energia al punto x con quella iniziale si ricava la formula:
$$\eqalign{
& \left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right){v^2} = {v_0}^2 \cr
& v = \frac{{{v_0}}}
{{\sqrt {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} }} \cr} $$
Come si vede la velocità tende all'infinito quando il rotolo tende a raggio nullo.
E' ben vero che ho fatto qui la semplificazione che la velocità traslazionale sia puramente orizzontale, mentre in realtà ha una piccola componente verticale dovuta al fatto che il rotolo diminuendo di raggio abbassa il suo CM, ma anche considerando questo dettaglio le conclusioni non cambiano molto, a prezzo però di una significativa complicazione dei calcoli che voglio qui evitare.
Vediamo come si comporta il CM dell'intera carta.
Suddividendo la carta in due parti, quella posata a terra e quella ancora arrotolata, si può scrivere:
$$\eqalign{
& M{x_{CM}} = \frac{M}
{{\pi {R^2}}}xd\frac{x}
{2} + \frac{M}
{{\pi {R^2}}}\pi {r^2}x = M\left( {\frac{d}
{{2\pi {R^2}}}{x^2} + \frac{{{r^2}}}
{{{R^2}}}x} \right) = M\left( {\frac{d}
{{2\pi {R^2}}}{x^2} + \left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right)x} \right) \cr
& {x_{CM}} = x - \frac{d}
{{2\pi {R^2}}}{x^2} \cr
& {v_{CM}} = v\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right) = \frac{{{v_0}}}
{{\sqrt {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} }}\left( {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \right) = {v_0}\sqrt {1 - \frac{d}
{{\pi {R^2}}}x} \cr} $$
Come era prevedibile, la velocità del CM tende a zero, e questo potrebbe indurre a ingannarsi sul fatto che l'energia cinetica sembra sparire
Riguardo a considerazioni sul momento angolare io non ne ho fatte, dunque se Faussone volesse cimentarvisi sarà un benemerito.
Ma "lo schiaffo" dà l'idea di un urto, sia pure elastico, cioè che conservi l'energia cinetica. E che urto si può avere , se l'ultimo pezzo di carta è a distanza praticamente nulla dal piano ?
Sono perplesso al riguardo.
Insomma , qui abbiamo una specie di yo-yo orizzontale , che si svolge e riavvolge infinite volte , in assenza completa di perdite di energia ….Giusto ?
In quanto alla RR , non è previsto l'uso del dispositivo a velocità relativistica. Per lo meno….
Sono perplesso al riguardo.
Insomma , qui abbiamo una specie di yo-yo orizzontale , che si svolge e riavvolge infinite volte , in assenza completa di perdite di energia ….Giusto ?
In quanto alla RR , non è previsto l'uso del dispositivo a velocità relativistica. Per lo meno….
"navigatore":
Ma "lo schiaffo" dà l'idea di un urto, sia pure elastico, cioè che conservi l'energia cinetica. E che urto si può avere , se l'ultimo pezzo di carta è a distanza praticamente nulla dal piano ?
Sono perplesso al riguardo.
Insomma , qui abbiamo una specie di yo-yo orizzontale , che si svolge e riavvolge infinite volte , in assenza completa di perdite di energia ….Giusto ?
Non capisco la perplessità, direi che l'urto deve avvenire a distanza nulla dal piano,come ogni urto.
L'immagine dello yoyo orizzontale è corretta. qui si stanno considerando andata e ritorno, non sono sicuro che possa andare avanti e indietro infinite volte. Ma questo è poco importante.
"navigatore":
Ma "lo schiaffo" dà l'idea di un urto, sia pure elastico, cioè che conservi l'energia cinetica. E che urto si può avere , se l'ultimo pezzo di carta è a distanza praticamente nulla dal piano ?
Sono perplesso al riguardo.
L'ultimo lembo è praticamente a contatto col piano ma avrà velocità praticamente infinita, quindi matematicamente parlando il "rimbalzo" non dovrebbe stupire.
Ovvio che siamo in condizioni ideali che, man mano che il rotolo si srotola, difficilmente continuerebbero a valere.
@Falco5x
La tua soluzione in effetti è quella che avevo abbozzato ieri quando ho provato a prendere carta e penna e a vedere cosa sarebbe venuto fuori (è incredibile come mettendo giù le cose il punto di vista cambi
).Quindi niente da dire (nei conti che hai fatto hai solo trascurato la variazione di energia potenziale nella conservazione dell'energia, ma credo sia un dettaglio non molto interessante) ...quasi.. ....infatti mi è venuto un dubbio ieri quando buttavo giù i conti, è quello a cui ho accennato in precedenza: mi aspetterei che il momento angolare rispetto ad un punto sul piano si debba conservare, ma così non può essere, altrimenti troveremmo una soluzione diversa da quella da te prospettata (con cui concordo, l'energia deve conservarsi), quindi poiché due soluzioni diverse non possono essere valide (a meno che non veda qualcosa io e le soluzioni coincidono), direi che quel momento angolare non può conservarsi, ma non capisco ancora bene perché..
Forse devo mettermi a ripensarci un secondo con calma, magari tornerò sulla questione più avanti (se qualcuno non chiarirà prima il mio dubbio).
Riguardo al momento angolare, penso che forse in questo caso la velocità verticale non si possa trascurare, perché la quantità di moto verticale anche se piccola va moltiplicata per x che è crescente, ma lo dico solo a sensazione, non mi metto a far calcoli. Viceversa sull'energia potenziale hai ragione, la mia semplificazione può essere troppo semplicistica, non avendola considerata.
@Ralf & Faussone
È vero che ogni urto avviene a distanza nulla, ma qui la velocità tende all'infinito parallelamente al piano, non perpendicolarmente. E la massa dell'ultimo lembo tende a zero.
Qual è la massa che "urta" sul pavimento alla fine, e qual è la velocità di impatto col pavimento?
Rimango perplesso.
Il momento di inerzia proprio del rotolo diminuisce col tempo, quindi il momento angolare assiale pure diminuisce, no?
È vero che ogni urto avviene a distanza nulla, ma qui la velocità tende all'infinito parallelamente al piano, non perpendicolarmente. E la massa dell'ultimo lembo tende a zero.
Qual è la massa che "urta" sul pavimento alla fine, e qual è la velocità di impatto col pavimento?
Rimango perplesso.
Il momento di inerzia proprio del rotolo diminuisce col tempo, quindi il momento angolare assiale pure diminuisce, no?
"navigatore":
Ok per l'urto.
Il momento di inerzia proprio del rotolo diminuisce col tempo, quindi il momento angolare pure diminuisce, no ?
Io parlo del momento angolare di tutto il sistema nel suo insieme, quando parte del rotolo è srotolato sul piano e parte è, per così dire, nel rotolo. Il momento angolare del sistema deve conservarsi rispetto ad un punto sul piano perché non ci sono momenti di forze esterne rispetto a un tale punto.
"Falco5x":
Riguardo al momento angolare, penso che forse in questo caso la velocità verticale non si possa trascurare, perché la quantità di moto verticale anche se piccola va moltiplicata per x che è crescente, ma lo dico solo a sensazione, non mi metto a far calcoli.
Credo che Falco5x abbia centrato la questione: nel calcolo del momento angolare va tenuto conto non solo della velocità angolare del rotolo, ma anche della velocità verticale del centro di massa che non è nulla.
Sarebbero da fare i conti, ma credo che tenendo conto di questo, posta la conservazione del momento angolare del sistema, si debba ottenere lo stesso risultato ottenuto seguendo la via della conservazione dell'energia (sicuramente la via più semplice e quindi migliore).
"Falco5x":
Viceversa sull'energia potenziale hai ragione, la mia semplificazione può essere troppo semplicistica, non avendola considerata.
Non credo sia molto importante questa questione, non aggiunge né toglie nulla al problema.
Scusa Faussone, hai scritto mentre modificavo il mio post, che ora è finito penultimo. Sull'urto mi è tornato il dubbio.
"navigatore":
@Ralf & Faussone
È vero che ogni urto avviene a distanza nulla, ma qui la velocità tende all'infinito parallelamente al piano, non perpendicolarmente. E la massa dell'ultimo lembo tende a zero.
Qual è la massa che "urta" sul pavimento alla fine, e qual è la velocità di impatto col pavimento?
Rimango perplesso.
Il momento di inerzia proprio del rotolo diminuisce col tempo, quindi il momento angolare assiale pure diminuisce, no?
Non sono d'accordo: la velocità dell'ultimo lembo un istante prima di toccare il pavimento è puramente perpendicolare al piano. la massa che urta è infinitesima con velocità infinita, in modo tale che l'impulso sia finito. Qualitativamente mi sembra che le cose tornino.
D'accordo con ralf86. Tuttavia ricordiamoci tutti che stiamo parlando di un fenomeno che avviene solo nel nostro Iperuranio, dove tutte le ipotesi iniziali restano sempre e comunque valide. 
"ralf86":
Non sono d'accordo: la velocità dell'ultimo lembo un istante prima di toccare il pavimento è puramente perpendicolare al piano. la massa che urta è infinitesima con velocità infinita, in modo tale che l'impulso sia finito. Qualitativamente mi sembra che le cose tornino.
Dunque secondo te è la velocità perpendicolare al piano che tende all'infinito? Intendi la velocità del CM allora, che cala da $R$ a zero?
"navigatore":
@Ralf & Faussone
È vero che ogni urto avviene a distanza nulla, ma qui la velocità tende all'infinito parallelamente al piano, non perpendicolarmente. E la massa dell'ultimo lembo tende a zero.
Qual è la massa che "urta" sul pavimento alla fine, e qual è la velocità di impatto col pavimento?
Rimango perplesso.
A conti fatti tendono all'infinito sia la velocità orizzontale che quella verticale.
E comunque c'è anche un urto orizzontale, perché la striscia va in tensione, essendo trattenuta al primo estremo, ed è infinitamente rigida.
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