Check esercizio oscillatori
Avrei bisogno di una conferma su questo esercizio sugli oscillatori.
Testo:
Nel sistema rappresentato in figura un corpo A di massa $m = 2 kg$, posto su un piano orizzontale liscio, è collegato con un filo inestensibile avente massa trascurabile ad un altro corpo B di massa M = 3 kg , che pende verticalmente da una carrucola $C$, ed è fissato all'estremità di una molla, avente lunghezza di riposo $l_0 = 0.5 m$ e costante elastica $k = 147 N/m. $
L’altra estremità della molla è fissata ad un gancio $G$ solidale al piano orizzontale.
Le masse del filo, della molla e della carrucola $C$ sono trascurabili rispetto alle masse dei due corpi. Il sistema è in condizioni di equilibrio.
Determinare, usando un sistema di riferimento Oxy con l’origine O ancorata al gancio G:
a)la posizione di equilibrio del corpo di massa m sul piano orizzontale
b)la tensione del filo
c)le componenti parallele e perpendicolari al piano delle reazioni vincolari $R_G$ e $R_C$, del gancio e della carrucola rispettivamente
d)lequazione del moto del corpo di massa m dopo la rottura del filo
e)la legge oraria del corpo di massa m dopo la rottura del filo
SOL:
a)
Il corpo è fermo, pertanto $sumvecF_i=vec0$
Corpo m:
$T-kDeltax=0$
Corpo M:
$T=Mg = 73.5 N$
b)
$T-kDeltax=0$
da cui,sostituendo T: $kDeltax=Mg$ , $Deltax=(Mg)/k$.
$Deltax=x_(eq) - l_o= (Mg)/k$ Quindi $x_(eq)=(Mg)/k + l_o$
c)
Sulla carrucola $C$ agiscono le due tensioni e la reazione della carrucola:
$vecT + vec T + R_c$=0.
Poichè le due tensioni sono perpendicolari tra loro, la risultante $R_c$ sarà inclinata di $\phi=45°$ con l'orizzontale.
Ho quindi due componenti:
$R_cx=R_c cos(phi)=(sqrt(2))/2R_c$
$R_cy=R_c sen(phi)=(sqrt(2))/2R_c$.
Per la seconda legge di Newton:
$x:T - R_cx=0$
$y: -T + R_cy=0$, da cui ricavo che $R_c=T/cos(phi)$
$R_c=104 N$
Il gancio $G$ reagisce alla forza elastica con $vec(R_g)=-vec(kDeltax)$, pertanto $||R_g||=29.4 N$
d),e)
per t<0 c'è tensione e $sumvec(F_i)=vec0$
$t=0^{+}$ il filo viene tagliato, la tensione dunque scompare e il corpo m si muove di moto oscillatorio secondo l'equazione del moto (differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti) $ mddot(x)=-kDeltax $ .
Ora io ho ragionato in questi termini
$Deltax = x(t) - l_o$ la dipendenza dal tempo l'ho messa perché oscillando la posizione varia (è corretto)?
L'equazione diventa:
$ mddot(x)=-kx +kl_o $
$ mddot(x)+kx = kl_o $ pongo $w=sqrt(k/m)$
la soluzione x(t) è data da quella nota per l'omogenea associata ($Asen(wt+ phi)$) più una soluzione particolare $x_p$, che viene ad essere $l_o$.
$x(t)= Asen(wt+phi) + l_o$
Dalle condizioni iniziali :
$x(0)=x_eq$
$ dot(x(0))=0 $ ricavo che: $A=(Mg)/k$ e $phi=pi/2$.
la legge oraria del moto diventa:
$x(t)= (Mg)/kcos(wt) + l_o $.
Per t=0, trovo la situazione di equilibrio x_eq.
E' corretto? grazie in anticipo per la risposta
Testo:
Nel sistema rappresentato in figura un corpo A di massa $m = 2 kg$, posto su un piano orizzontale liscio, è collegato con un filo inestensibile avente massa trascurabile ad un altro corpo B di massa M = 3 kg , che pende verticalmente da una carrucola $C$, ed è fissato all'estremità di una molla, avente lunghezza di riposo $l_0 = 0.5 m$ e costante elastica $k = 147 N/m. $
L’altra estremità della molla è fissata ad un gancio $G$ solidale al piano orizzontale.
Le masse del filo, della molla e della carrucola $C$ sono trascurabili rispetto alle masse dei due corpi. Il sistema è in condizioni di equilibrio.
Determinare, usando un sistema di riferimento Oxy con l’origine O ancorata al gancio G:
a)la posizione di equilibrio del corpo di massa m sul piano orizzontale
b)la tensione del filo
c)le componenti parallele e perpendicolari al piano delle reazioni vincolari $R_G$ e $R_C$, del gancio e della carrucola rispettivamente
d)lequazione del moto del corpo di massa m dopo la rottura del filo
e)la legge oraria del corpo di massa m dopo la rottura del filo
SOL:
a)
Il corpo è fermo, pertanto $sumvecF_i=vec0$
Corpo m:
$T-kDeltax=0$
Corpo M:
$T=Mg = 73.5 N$
b)
$T-kDeltax=0$
da cui,sostituendo T: $kDeltax=Mg$ , $Deltax=(Mg)/k$.
$Deltax=x_(eq) - l_o= (Mg)/k$ Quindi $x_(eq)=(Mg)/k + l_o$
c)
Sulla carrucola $C$ agiscono le due tensioni e la reazione della carrucola:
$vecT + vec T + R_c$=0.
Poichè le due tensioni sono perpendicolari tra loro, la risultante $R_c$ sarà inclinata di $\phi=45°$ con l'orizzontale.
Ho quindi due componenti:
$R_cx=R_c cos(phi)=(sqrt(2))/2R_c$
$R_cy=R_c sen(phi)=(sqrt(2))/2R_c$.
Per la seconda legge di Newton:
$x:T - R_cx=0$
$y: -T + R_cy=0$, da cui ricavo che $R_c=T/cos(phi)$
$R_c=104 N$
Il gancio $G$ reagisce alla forza elastica con $vec(R_g)=-vec(kDeltax)$, pertanto $||R_g||=29.4 N$
d),e)
per t<0 c'è tensione e $sumvec(F_i)=vec0$
$t=0^{+}$ il filo viene tagliato, la tensione dunque scompare e il corpo m si muove di moto oscillatorio secondo l'equazione del moto (differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti) $ mddot(x)=-kDeltax $ .
Ora io ho ragionato in questi termini
$Deltax = x(t) - l_o$ la dipendenza dal tempo l'ho messa perché oscillando la posizione varia (è corretto)?
L'equazione diventa:
$ mddot(x)=-kx +kl_o $
$ mddot(x)+kx = kl_o $ pongo $w=sqrt(k/m)$
la soluzione x(t) è data da quella nota per l'omogenea associata ($Asen(wt+ phi)$) più una soluzione particolare $x_p$, che viene ad essere $l_o$.
$x(t)= Asen(wt+phi) + l_o$
Dalle condizioni iniziali :
$x(0)=x_eq$
$ dot(x(0))=0 $ ricavo che: $A=(Mg)/k$ e $phi=pi/2$.
la legge oraria del moto diventa:
$x(t)= (Mg)/kcos(wt) + l_o $.
Per t=0, trovo la situazione di equilibrio x_eq.
E' corretto? grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Se $M = 3 kg$ , come fa $T$ ad essere uguale a $73.5 N $ ?
$T =Mg = 3*9.81 N = 29.43 N$ , che poi è anche il valore di $R_g$ , reazione del gancio .
$\Deltax = T/k = 0.20 m $
La forza $vecR_c$ è diretta a 45º rispetto al piano orizzontale (e verticale), l'equazione vettoriale che hai scritto è giusta .
Quindi : $R_c = sqrt2 * T = 41.62 N $ .
La "seconda legge di Newton" che invochi non c'entra nulla, sei in Statica .
Tagliato il filo, la massa $m$ oscilla con moto periodico attorno alla posizione di equilibrio , che è data dalla ascissa corrispondente alla lunghezza indeformata della molla $l_0$ . La soluzione della equazione differenziale è giusta, anche se io avrei preso :
$x = A cos (\omegat + \phi) $
come soluzione dell'omogenea associata , anziché l'espressione col seno , e cosi avrei avuto direttamente, dalle condizioni iniziali , che $\phi = 0 $ anziché $\pi/2$ . Comunque , la soluzione generale è alla fine la stessa .
$T =Mg = 3*9.81 N = 29.43 N$ , che poi è anche il valore di $R_g$ , reazione del gancio .
$\Deltax = T/k = 0.20 m $
La forza $vecR_c$ è diretta a 45º rispetto al piano orizzontale (e verticale), l'equazione vettoriale che hai scritto è giusta .
Quindi : $R_c = sqrt2 * T = 41.62 N $ .
La "seconda legge di Newton" che invochi non c'entra nulla, sei in Statica .
Tagliato il filo, la massa $m$ oscilla con moto periodico attorno alla posizione di equilibrio , che è data dalla ascissa corrispondente alla lunghezza indeformata della molla $l_0$ . La soluzione della equazione differenziale è giusta, anche se io avrei preso :
$x = A cos (\omegat + \phi) $
come soluzione dell'omogenea associata , anziché l'espressione col seno , e cosi avrei avuto direttamente, dalle condizioni iniziali , che $\phi = 0 $ anziché $\pi/2$ . Comunque , la soluzione generale è alla fine la stessa .
Grazie mille per i check, veramente
Per il conto della tensione effettivamente ho sbagliato, chissà cosa ho digitato sulla calcolatrice
Per il conto della tensione effettivamente ho sbagliato, chissà cosa ho digitato sulla calcolatrice
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