Che cos'è il moto armonico?
Ciao a tutti, per Analisi 1 mi sto scontrando con alcune applicazioni alla fisica delle equazioni differenziali: che fatica, non vedo l'ora di tornare all'accogliente "parte matematica" 
Ci sono alcuni punti che non mi sono chiari, spero che qualcuno abbia voglia di darmi una mano...
Oscillatore armonico
La dispensa comincia così questo capitolo:
"Si chiamano oscillazioni armoniche le soluzioni della seguente equazione con parametro $\omega > 0$ detto pulsazione: $y'' + \omega^2 y = 0$".
Sicuramente mi verrà chiesto che cos'è il moto armonico e qual è il significato fisico della $y$. Ora, siccome non ricordo quasi nulla di fisica (ho fatto il liceo mooolti anni fa), vado a cercare "moto armonico" e trovo: "proiezione del moto di un punto che percorre una circonferenza con moto angolare costante". Con questa definizione tutto diventa chiaro (ma non è finita...); interpreto "oscillazione" come un moto che, proiettato, ha una traiettoria descritta da una funzione seno (o coseno). Solo che poi leggo che un punto attaccato a una molla (senza essere soggetto ad altre forze) si muove di moto armonico, o che il moto armonico è l'andirivieni di un punto su una retta intorno a un punto fisso: in questi ultimi casi, non riesco però a ritrovare la funzione seno che a quando ho capito deve comparire nel moto armonico. Inoltre, nel caso del punto che va e viene, si tratta sempre di moto armonico, oppure è moto armonico solo se il punto è soggetto all'accelerazione che corrisponde a quella determinata dalla velocità tangenziale (si dice così? del punto sulla circonferenza? E come potrei dare una definizione di moto armonico comprensiva di tutte queste situazioni?
Spero di non essermi incasinata troppo nell'esporre il mio dubbio.
Grazie!
Ci sono alcuni punti che non mi sono chiari, spero che qualcuno abbia voglia di darmi una mano...
Oscillatore armonico
La dispensa comincia così questo capitolo:
"Si chiamano oscillazioni armoniche le soluzioni della seguente equazione con parametro $\omega > 0$ detto pulsazione: $y'' + \omega^2 y = 0$".
Sicuramente mi verrà chiesto che cos'è il moto armonico e qual è il significato fisico della $y$. Ora, siccome non ricordo quasi nulla di fisica (ho fatto il liceo mooolti anni fa), vado a cercare "moto armonico" e trovo: "proiezione del moto di un punto che percorre una circonferenza con moto angolare costante". Con questa definizione tutto diventa chiaro (ma non è finita...); interpreto "oscillazione" come un moto che, proiettato, ha una traiettoria descritta da una funzione seno (o coseno). Solo che poi leggo che un punto attaccato a una molla (senza essere soggetto ad altre forze) si muove di moto armonico, o che il moto armonico è l'andirivieni di un punto su una retta intorno a un punto fisso: in questi ultimi casi, non riesco però a ritrovare la funzione seno che a quando ho capito deve comparire nel moto armonico. Inoltre, nel caso del punto che va e viene, si tratta sempre di moto armonico, oppure è moto armonico solo se il punto è soggetto all'accelerazione che corrisponde a quella determinata dalla velocità tangenziale (si dice così? del punto sulla circonferenza? E come potrei dare una definizione di moto armonico comprensiva di tutte queste situazioni?
Spero di non essermi incasinata troppo nell'esporre il mio dubbio.
Grazie!
Risposte
immagina di fissare la molla con il pesetto in modo che si muova sull'asse y. Immagina di attaccarlo materialmente con un chiodo all'asse y. se ci attaccassi anche un pennino diretto in modo che possa scrivere sul piano, e facessi scorrere nel tempo l'asse x, di un unità al secondo, le oscillazioni del pesetto descriverebbero una sinusoide.
Non so se sono riuscito a spiegare bene l'idea, intendo qualcosa che assomigli ad un sismografo ma messo in verticale.
Anche il pensolo si muove ci moto armonico.se attacchi il pendolo sempre all'asse y, e fai scorrere il tempo, questa volta sull'asse y, il pendolo traccerà una sinusoide. Ed attenzione perchè l'angolo descritto dal pendolo rispetto alla verticale, non è l'angolo $\alpha$ che metti nell'equazione oraria (nonostante sia ovviamente correlato.
Non so se sono riuscito a spiegare bene l'idea, intendo qualcosa che assomigli ad un sismografo ma messo in verticale.
Anche il pensolo si muove ci moto armonico.se attacchi il pendolo sempre all'asse y, e fai scorrere il tempo, questa volta sull'asse y, il pendolo traccerà una sinusoide. Ed attenzione perchè l'angolo descritto dal pendolo rispetto alla verticale, non è l'angolo $\alpha$ che metti nell'equazione oraria (nonostante sia ovviamente correlato.
Penso comunque che un qualsiasi testo di Fisica 1 possa chiarirti a grandi linee le idee in un capitoletto
"Flamber":
Immagina di attaccarlo materialmente con un chiodo all'asse y. se ci attaccassi anche un pennino diretto in modo che possa scrivere sul piano, e facessi scorrere nel tempo l'asse x, di un unità al secondo, le oscillazioni del pesetto descriverebbero una sinusoide
Sììììì, grande Flamber! Mi è chiarissimo, ti ringrazio
"Flamber":
Penso comunque che un qualsiasi testo di Fisica 1 possa chiarirti a grandi linee le idee in un capitoletto
Sì, ho cercato un po' ma faticavo a fare una sintesi.
"jitter":
interpreto "oscillazione" come un moto che, proiettato, ha una traiettoria descritta da una funzione seno (o coseno)
Eh, no, è il grafico della legge oraria ad essere sinusoidale, la traiettoria è un segmento. Due immagini che valgono più di mille parole: click e clack.
"jitter":
come potrei dare una definizione di moto armonico comprensiva di tutte queste situazioni?
Ma come? Sei partita proprio da lì
Il moto di un punto materiale \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) soggetto alla legge oraria \(t \mapsto x(t)\) si dice moto armonico semplice, se esiste un \(\omega > 0\) per il quale la legge oraria soddisfa l'equazione differenziale \(\displaystyle x'' + \omega ^2 x = 0 \).
EDIT nel frattempo ha già risposto Flamber, ma già che ho scritto invio ugualmente.
Ciao a tutti!
Metto questo video in cui fa vedere benissimo l'idea di Flamber! Vai al minuto 10:00!
https://www.youtube.com/watch?v=klIlCfte0UM
Metto questo video in cui fa vedere benissimo l'idea di Flamber! Vai al minuto 10:00!
https://www.youtube.com/watch?v=klIlCfte0UM
"Epimenide93":
[quote="jitter"]interpreto "oscillazione" come un moto che, proiettato, ha una traiettoria descritta da una funzione seno (o coseno)
Eh, no, è il grafico della legge oraria ad essere sinusoidale, la traiettoria è un segmento. Due immagini che valgono più di mille parole: click e clack.[/quote]
Hai ragione! Quelle animazioni, che visualizzano la spiegazione di Flamber, rendono proprio l'idea.
"Epimenide93":
[quote="jitter"]come potrei dare una definizione di moto armonico comprensiva di tutte queste situazioni?
Ma come? Sei partita proprio da lì
Il moto di un punto materiale \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) soggetto alla legge oraria \(t \mapsto x(t)\) si dice moto armonico semplice, se esiste un \(\omega > 0\) per il quale la legge oraria soddisfa l'equazione differenziale \(\displaystyle x'' + \omega ^2 x = 0 \).
[/quote]
Eh sì, ma quella era la definizione formale, mi mancava il concetto intuitivo che ci stava dietro. Ora comunque mi pare chiaro.
Grazie ancora a tutti e buona cena
Grandissimo Walter Lewin
"grimx":
Ciao a tutti!
Metto questo video in cui fa vedere benissimo l'idea di Flamber! Vai al minuto 10:00!
https://www.youtube.com/watch?v=klIlCfte0UM
Cavoli, proprio quello che mi ci voleva anche per la parte successiva! Fantastico.
"Flamber":
Grandissimo Walter Lewin
Eh si! E' un genio davvero
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