Centro istantaneo rotazione-centro di curvatura traiettoria

[chrischris]

ciao a tutti,
come da titolo del topic vi chiedo quale la differenza tra centro istantaneo rotazione e centro di curvatura della traiettoria di un punto, o meglio ancora: perchè, in generale, questi due punti non coincidono (coincidono solo nel moto rotatorio)?
mi fareste degli esempi?

grazie mille

[Sk_Anonymous]

Supponiamo per semplicità di avere a che fare con moti piani, cioè la traiettoria e i vettori interessati ( posizione, velocità tangenziale, accelerazione) sono contenuti in un piano (il vettore velocità angolare eventuale sarà perpendicolare al piano).
La traiettoria è la curva descritta sul piano dal punto mobile ( non è una definizione matematicamente molto esatta...ma serve per capirci). Essendo una curva piana, se ne può determinare il centro di curvatura in ogni punto, che come sai è il centro del cerchio osculatore alla curva in quel punto. Per esempio, immagina un punto mobile che descrive una ellisse, oppure una parabola: il centro di curvatura esiste e si può calcolare in ogni punto. MA non ha senso parlare di "centro di istantanea rotazione" qui. Rotazione di chi? Di nessuno. Il punto si muove, essendo un punto non ruota.
Il centro di istananea rotazione si considera in generale quando c'è un contatto, un rotolamento di un corpo su di un altro. Se un corpo rotola su un altro, e il moto è piano, la traccia sul piano del segmento di contatto è il "centro di istantanea rotazione" .
Esempio : un disco che rotola su una superficie piana. Il moto è piano .
Il piano del moto è perpendicolare all'asse del disco, e taglia il piano di rotolamento in una retta. Lo vedi il punto di contatto tra cerchio e retta? Quel punto, dove per ipotesi tra il cerchio e la retta non c'è moto relativo (perchè non c'è strisciamento ma solo rotolamento) è il "centro di istantanea rotazione" del cerchio. Il punto di contatto si sposta sia rispetto al cerchio ( che rotola) che rispetto alla retta ( trasla con uguale velocità del centro disco).
Ma qual è la traiettoria di questo centro di istantanea rotazione? È la retta di rotolamento. E dov'è il centro di curvatura di una retta ?

[chrischris]

quindi:
centro di curvatura della traiettoria è definibile per un punto materiale, mentre centro istantaneo di rotazione solo per un corpo rigido, giusto?
quindi viene da sè che siano diversi, perchè sono definizioni inerenti a "oggetti" diversi (nonostante un corpo rigido sia costituito da + punti materiali, in cui la distanza relativa è costante)?

per l'esempio del disco rotolante puramente su una retta non mi torna ciò che hai detto: (premetto che ora credo di aver capito la differenza tra centro istantaneo rotazione di un corpo rigido e centro di curvatura traiettoria di un punto materiale)centro istantaneo di rotazione è il punto di contatto, quindi è la retta, mentre centro di curvatura di un punto sul disco (tranne il centro del disco) è il centro di curvatura di una epicicloide, quindi non combaciano.
volevi dire questo? o ho capito male?

[Sk_Anonymous]

"chna1991":quindi:
centro di curvatura della traiettoria è definibile per un punto materiale, mentre centro istantaneo di rotazione solo per un corpo rigido, giusto?

Per il punto materiale senz'altro. Come ti ho detto, il punto materiale non ruota, si sposta solamente su una certa traiettoria. Per il corpo rigido, puoi avere un centro di istantanea rotazione se il corpo ( te lo dice la stessa definizione) ruota in un certo istante. Ma dipende anche dal tipo di moto del corpo rigido, non si può generalizzare. Per esempio è banale che un corpo rigido con un punto fisso ruoti attorno a quel punto! Allora un punto del corpo può descrivere una circonferenza, una sfera, insomma una traiettoria qualunque che lo tenga a distanza costante dal p.fisso.
Un corpo rigido con un asse fisso ruoterà sempre attorno a quell'asse.
In generale i punti di un corpo rigido libero descrivono delle traiettorie, nel piano o nello spazio, su cui non si può generalizzare.
Pensa per esempio ad un corpo rigido animato da un moto puramente traslatorio ( questo non significa "rettilineo" mi raccomando, eh! ) nello spazio: vuol dire che tutte le traiettorie sono simili tra loro, non so se riesco a spiegarmi. Immagina di prendere un oggetto con una mano, e di spostarlo senza farlo ruotare, parallelamente a se stesso. Un moto così si può caratterizzare col moto di un punto particolare, ad esempio del centro di massa. E allora puoi definire anche i centri di curvatura della traiettoria del cdm in tutti i punti.

quindi viene da sè che siano diversi, perchè sono definizioni inerenti a "oggetti" diversi (nonostante un corpo rigido sia costituito da + punti materiali, in cui la distanza relativa è costante)?

certo, sono concetti diversi.

per l'esempio del disco rotolante puramente su una retta non mi torna ciò che hai detto: (premetto che ora credo di aver capito la differenza tra centro istantaneo rotazione di un corpo rigido e centro di curvatura traiettoria di un punto materiale)centro istantaneo di rotazione è il punto di contatto, quindi è la retta, mentre centro di curvatura di un punto sul disco (tranne il centro del disco) è il centro di curvatura di una epicicloide, quindi non combaciano.
volevi dire questo? o ho capito male?

Il centro di ist. rotaz. è il punto di contatto. LA traiettoria, nel riferimento del piano di scorrimento, è la retta , il cui centro di curvatura è all'infinito. MA se consideri il moto dal punto di vista di un osservatore solidale al disco, il punto di contatto col disco si sposta....sul disco! Perciò il centro di curvatura è il centro del disco.