Centro di rotazione di una scala
Ho una scala poggiata ad un muro con un certo angolo $\beta$. Sul mio libro leggo che l'asse di rotazione istantanea passa per il punto C (vedere figura). Tuttavia facendo due calcoli:
$X_(cdm)=asin(\beta)$
$Y_(cdm)=acos(\beta)$
Da cui $X_(cdm)^2+Y_(cdm)^2=a^2$. Ovvero la traiettoria descritta dal $cdm$ della scala è una circonferenza centrata in $O$ di raggio $a=L/2$ con $L$= lunghezza della scala. Questo non significa che l'asse di rotazione istantanea passa per $P$?
ps:La scala è omogenea e il suo $cdm$ si trova a metà della sua lunghezza.
$X_(cdm)=asin(\beta)$
$Y_(cdm)=acos(\beta)$
Da cui $X_(cdm)^2+Y_(cdm)^2=a^2$. Ovvero la traiettoria descritta dal $cdm$ della scala è una circonferenza centrata in $O$ di raggio $a=L/2$ con $L$= lunghezza della scala. Questo non significa che l'asse di rotazione istantanea passa per $P$?
ps:La scala è omogenea e il suo $cdm$ si trova a metà della sua lunghezza.
Risposte
Centro di istantanea rotazione e centro di massa sono due concetti diversi. Nell'ambito della cinematica dei corpi rigidi, si dimostra che l'atto istantaneo di moto per una figura piana che si muove nel suo piano è di pura rotazione, di traslazione come suo caso limite. Per questo motivo, quando hai le direzioni delle velocità di almeno due punti del sistema, il centro istantaneo di rotazione è il punto d'intesezione delle rette perpendicolari a queste direzioni condotte per i punti medesimi. Qualora le due rette fossero parallele, si tratta del caso limite di traslazione.
"speculor":
Centro di istantanea rotazione e centro di massa sono due concetti diversi.
Si, su questo ci sono. Non capisco perchè la relazione che ricavo delle componenti del centro di massa indicano una rotazione intorno ad un'asse passante per il punto P, e non C. In definitiva, istantaneamente, la scala intorno a quale punto ruota? E perchè?
Ruota intorno al centro di istantanea rotazione. Il modo più semplice di vederlo, almeno in questo caso, è pensare che in un moto di pura rotazione la velocità di un punto è perpendicolare alla retta che passa per il centro di istantanea rotazione e il punto medesimo. Da qui le considerazioni di cui sopra.
Ok, ma come ricavo il vettore velocità di un punto? Per esempio, la velocità istantanea dell'estremo superiore, che direzione e verso ha?
Ovviamente, le considerazioni di cui sopra valgono ammettendo che, per la presenza dei vincoli, i due estremi si muovano lungo i rispettivi assi. Per quanto riguarda il verso, dipende dal problema.
Io so soltato che la scala è poggiata al muro, non vi sono attriti in gioco, è omogenea e parte con un certo angolo. Quantitativamente, come faccio a trovare il centro di istantanea rotazione in questo caso?
Scusa ma non ti seguo. Ti ho già detto come si determina la posizione del centro di istantanea rotazione. Del resto, che cosa significa "quantitativamente"? Non si comprende la consegna dell'esercizio. Che cosa devi fare? Determinare l'energia cinetica? Determinare la Lagrangiana? Determinare le equazioni del moto?
La velocità angolare in funzione dell'angolo. Per fare ciò mi serve sapere qual è il punto di istantanea rotazione...In questo problema, qual è?
"Ryuzaky*":
La velocità angolare in funzione dell'angolo.
Semplicemente $[omega=+-dotbeta]$, dalla figura non si può comprendere il giusto segno da attribuire alla formula.
"Ryuzaky*":
Per fare ciò mi serve sapere qual è il punto di istantanea rotazione...In questo problema, qual è?
Non necessariamente. Guarda anche qui: cinetica-t86872-20.html#p589867
Ok, ma a prescindere dal problema e dalla specifiche. In una situazione del genere, praticamente, qual è il centro di istantanea rotazione?
Ho dato per scontato che avesse ragione il libro, il centro di istantanea rotazione è $[C]$.
Comunque pure secondo me il centro di istantanea rotazione qui è \(P\). Che poi non sia significativo ai fini dell'esercizio è un altro discorso. Mi sbaglio?
Il centro di istantanea rotazione è un punto rispetto al quale l'atto di moto istantaneo è di pura rotazione. Per questo motivo, la velocità di un punto generico deve essere perpendicolare al raggio vettore spiccato dal centro al punto in questione. Siccome sono note le direzioni delle velocità dei due punti che giacciono sugli assi, sono dirette lungo gli assi medesimi, per determinare il centro è sufficiente determinare il punto d'intersezione delle rispettive perpendicolari. Il centro istantaneo non può essere $
$, in un moto di pura rotazione le direzioni delle velocità dei punti del sistema non passano per il centro. In ogni modo, quando si studiano i concetti di "base" e "rulletta" nell'ambito del programma di meccanica razionale, il caso più semplice riportato è proprio questo.
Uuh si è vero, mi sono confuso. Io ho tracciato i prolungamenti dei due vettori velocità e, siccome essi si incontrano in \(P\), ho erroneamente concluso che quello è il centro di ist. rotazione. Mentre invece avrei dovuto compiere la stessa operazione con i complementi ortogonali ai vettori velocità. Grazie speculor!
"dissonance":
Uuh si è vero, mi sono confuso.
Lo avevo immaginato.
Grazie per l'aiuto, ora ho capito. E con il discorso dei prolungamenti mi spiego il discorso del libro...
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