Centro Di Massa: Tronco Piramidale
Salve ragazzi sto cercando di capire come fare a trovare il centro di massa di un tronco di piramide di base quadrata. Qualcuno mi riesce a spiegare la procedura con gli integrali? Il problema è che non riesco a definire come debba variare la base che va rastremandosi(le dimensioni della base sono 7x7 mentre quelle della sezione estrema sono 3x3) e come fare l'integrale. Grazie mille!! 
Risposte
Secondo te come dovrebbero essere le "fettine" di piramide che dovresti integrare? E quale sarebbe quindi il volume (e la relativa massa) di queste "fettine"?
Prova a partire da qui.
Cordialmente, Alex
Prova a partire da qui.
Cordialmente, Alex
Dunque dovrebbero essere dei quadrati sempre più piccoli e quindi ogni tratto è un altro mini-tronco di piramide. Però è proprio la descrizione analitica di questi concetti che non mi riesce 
Sì, più precisamente dei parallelepipedi a base quadrata con altezza infinitesimale $dh$, come dei "fogli di carta quadrati".
Ma il lato di questi quadrati è legato all'altezza della piramide (o meglio ancora alla pendenza, che è la stessa cosa).
Prova a ragionare su questo (magari ti riesce meglio ragionare sulla piramide a testa in giù ..)
Cordialmente, Alex
Ma il lato di questi quadrati è legato all'altezza della piramide (o meglio ancora alla pendenza, che è la stessa cosa).
Prova a ragionare su questo (magari ti riesce meglio ragionare sulla piramide a testa in giù ..)
Cordialmente, Alex
Ma se approssimo l'altezza dh a dei parallelepipedi allora non riesco a trovare la funzione da integrare per trovare questo maledetto baricentro. Il problema è che non riesco ad esprimere come si rastrema la base all'aumentare di z(considerando z asse baricentrico con origine sulla base maggiore). Sto impazzendo :S
Tranquillo 
Ribaltando la piramide e vedendola in sezione abbiamo un trapezio appoggiato sulla base minore, giusto?
Se chiamo $H$ l'altezza, $l_min$ il lato minore e $l_max$ il lato maggiore, avrò che $(l_max - l_min)/2$ è lo "sbalzo" totale della piramide, mentre lo "sbalzo" ad ogni piano lo chiamerò $s$, ok?
La relazione tra sbalzo e altezza in ogni "piano" è lineare, cioè $y=mx$ e sostituendo con i nostri valori avrò $z=((2H)/(l_max - l_min))*s$ e invertendo avrò $s=((l_max-l_min)/(2H))*z$, ok?
Quindi la lunghezza del lato ad ogni "piano" sarà $l_min+2s$, cioè $l_min+2*((l_max-l_min)/(2H))*z$ e quindi l'area di ogni piano sarà $((l_min+(l_max-l_min)/H)*z)^2 $, giusto?
Il volume del nostro parallelepipedo sarà $((l_min+(l_max-l_min)/H)*z)^2*dz $, ok?
Adesso, siccome devo andare cerca di proseguire tu, casomai ci sentiamo più tardi?
Cordialmente, Alex
Ribaltando la piramide e vedendola in sezione abbiamo un trapezio appoggiato sulla base minore, giusto?
Se chiamo $H$ l'altezza, $l_min$ il lato minore e $l_max$ il lato maggiore, avrò che $(l_max - l_min)/2$ è lo "sbalzo" totale della piramide, mentre lo "sbalzo" ad ogni piano lo chiamerò $s$, ok?
La relazione tra sbalzo e altezza in ogni "piano" è lineare, cioè $y=mx$ e sostituendo con i nostri valori avrò $z=((2H)/(l_max - l_min))*s$ e invertendo avrò $s=((l_max-l_min)/(2H))*z$, ok?
Quindi la lunghezza del lato ad ogni "piano" sarà $l_min+2s$, cioè $l_min+2*((l_max-l_min)/(2H))*z$ e quindi l'area di ogni piano sarà $((l_min+(l_max-l_min)/H)*z)^2 $, giusto?
Il volume del nostro parallelepipedo sarà $((l_min+(l_max-l_min)/H)*z)^2*dz $, ok?
Adesso, siccome devo andare cerca di proseguire tu, casomai ci sentiamo più tardi?
Cordialmente, Alex
Ok perfetto! Mi mancava quel maledetto "sbalzo" che non sapevo come esprimere! xD
Pertanto adesso che ho il volume e la funzione in z, mi basta integrare zdz tra 0 e H fratto l'integrale del volume da 0 ed H no?
Grazie mille per la dedizione!
Pertanto adesso che ho il volume e la funzione in z, mi basta integrare zdz tra 0 e H fratto l'integrale del volume da 0 ed H no?
Grazie mille per la dedizione!
Un attimo ... quello è il volume, per il centro di massa, ti serve la massa 
Devi solo moltiplicare per $rho$ cioè la densità e poi moltiplicare per $z$ (cioè la distanza di ogni "elementino" di massa" dal punto di riferimento, che in questo caso è la base minore), mentre $dz$ c'è già nella formula.
Dopo aver integrato da $0$ ad $H$ ricordati di dividere per la massa totale dell'oggetto.
Ah, e non dimenticare che la distanza che trovi "parte" dalla base minore, non da quella maggiore (perché ho ribaltato il tronco di piramide e quindi il livello $0$ è la base minore)
Cordialmente, Alex
P.S.: ho notato adesso che hai detto che dividi per il volume quindi NON dovresti aver bisogno della densità, però meglio verificare.
Devi solo moltiplicare per $rho$ cioè la densità e poi moltiplicare per $z$ (cioè la distanza di ogni "elementino" di massa" dal punto di riferimento, che in questo caso è la base minore), mentre $dz$ c'è già nella formula.
Dopo aver integrato da $0$ ad $H$ ricordati di dividere per la massa totale dell'oggetto.
Ah, e non dimenticare che la distanza che trovi "parte" dalla base minore, non da quella maggiore (perché ho ribaltato il tronco di piramide e quindi il livello $0$ è la base minore)
Cordialmente, Alex
P.S.: ho notato adesso che hai detto che dividi per il volume quindi NON dovresti aver bisogno della densità, però meglio verificare.
Mi sono dimenticato di dirti che la densità è unitaria xD
Mmmmh però c'è qualcosa che non torna:
Lmax = 7
Lmin = 3
H = 54
Facendo l'integrale ottengo:
[Lmin + (Lmax-Lmin)/H]^2 * (H^4)/4
Da cui ottengo: 15799769.23
L'unità di misura non è sbagliata?
Mmmmh però c'è qualcosa che non torna:
Lmax = 7
Lmin = 3
H = 54
Facendo l'integrale ottengo:
[Lmin + (Lmax-Lmin)/H]^2 * (H^4)/4
Da cui ottengo: 15799769.23
L'unità di misura non è sbagliata?
Mi sembra che ti sei perso qualcosa ...
Riparto da quello che ho scritto ...
Ridefinisco le variabili: $l$ è lato minore, $L$ è lato maggiore, $lambda=L-l$.
Volume dell'elementino di massa $dm$ => $(l+lambda*z/H)^2*dz$
Trovo la massa moltiplicando per la densità, che è unitaria e quindi rimane tutto uguale
Adesso per calcolare il centro di massa trovo prima il numeratore che è pari all'integrale di $dm*z$ e cioè
$(l+lambda*z/H)^2*z*dz$;
sviluppo prima di calcolare l'integrale $(l^2*z+(lambda/H)^2*z^3+2*l*lambda*z^2/H)*dz$
Integro da $0$ ad $H$ e ottengo $(l^2/2+lambda^2/4+2*l*lambda/3)*H^2$
Questo è il numeratore.
Il denominatore equivale all'intera massa del tronco di piramide, e dato che la densità è unitaria, è uguale al volume e cioè $(A+a+sqrt(A*a))*H/3$ dove $A$ è l'area della base maggiore, $a$ è l'area della base minore.
Prova a calcolare, vediamo cosa viene ...
Cordialmente, Alex
Riparto da quello che ho scritto ...
Ridefinisco le variabili: $l$ è lato minore, $L$ è lato maggiore, $lambda=L-l$.
Volume dell'elementino di massa $dm$ => $(l+lambda*z/H)^2*dz$
Trovo la massa moltiplicando per la densità, che è unitaria e quindi rimane tutto uguale
Adesso per calcolare il centro di massa trovo prima il numeratore che è pari all'integrale di $dm*z$ e cioè
$(l+lambda*z/H)^2*z*dz$;
sviluppo prima di calcolare l'integrale $(l^2*z+(lambda/H)^2*z^3+2*l*lambda*z^2/H)*dz$
Integro da $0$ ad $H$ e ottengo $(l^2/2+lambda^2/4+2*l*lambda/3)*H^2$
Questo è il numeratore.
Il denominatore equivale all'intera massa del tronco di piramide, e dato che la densità è unitaria, è uguale al volume e cioè $(A+a+sqrt(A*a))*H/3$ dove $A$ è l'area della base maggiore, $a$ è l'area della base minore.
Prova a calcolare, vediamo cosa viene ...
Cordialmente, Alex
Ok ottengo un risultato accettabile (circa 33 metri). Tale è la distanza del centro di massa dalla base minore in sommità vero?
Grazie mille Alex
Grazie mille Alex
Si
Perfetto Alex grazie infinite per la chiarezza e soprattutto la pazienza!
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