Centro di massa telaio rettangolare inclinato

[drewzingg]

Salve a tutti, scrivo per chiedere aiuto nello svolgimento del seguente esercizio di meccanica razionale di cui riporto in seguito testo e disegno.

Un telaio rigido di forma rettangolare, $ ABCD $, è formato da 4 aste omogenee con le seguenti caratteristiche:
l’asta $ AD $, di massa $ 4m $ e lunghezza $ 2L $, ha il punto medio vincolato a rimanere nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano verticale Oxy;
le aste $ AB $ e $ CD $ hanno massa $ 2m $ e lunghezza $ L $;
l’asta $ BC $ ha massa $ m/4 $ e lunghezza $ 2L $.
Il sistema è soggetto, oltre che alla forza peso, ad una forza elastica $ KDD′ $, ($ D′ $ indica la proiezione ortogonale di $ D $ sull’asse $ Ox $).



Il mio problema sta nel calcolo del centro di massa: avevo pensato di calcolare i baricentri delle singole aste che compongono il telaio per poi passare al centro di massa complessivo con la nota formula:

$ x_(cm)=(m_1x_1 + ... + m_nx_n)/(m_1 + ... + m_n) $

$ y_(cm)=(m_1y_1 + ... + m_ny_n)/(m_1 + ... + m_n) $

ma non riesco a calcolarmi il baricentro di $ AB $ e $ CD $ a mezzo dei dati che ho a disposizione.
Il ragionamento è corretto o sbaglio proprio l'impostazione?
Grazie mille già in anticipo a chi risponderà!

[professorkappa]

Se prendi un segmento che parte da O, e parallello ad AB, fino ad incontrare l'asta BC, sei certo che il baricentro appartiene a quel segmento poiche AB e CD sono identiche, quindi il baricentro e' proprio a meta'. A questo punto, per calcolarne la distanza da O ti basta notare che : $d=[m_[CB]*L]/(m_[AD]+m_[CB])$

[professorkappa]

Elaboro un po' la risposta di sopra che non e' interamente corretta.
Le 2 aste AB e CD hanno baricentro nell intersezione delle diagonali. In quel punto si puo considerare concentrata tutta la massa delle 2 sbarre, che e' 4m.
L'asta AD ha il baricentro in O
Quella BC nel suo punto medio.

Quindi hai 3 baricentri allineati sul segmento che unisce O con il punto medio di BC, ergo il baricentro del rettangolo deve giacere su questo segmento.

Per calcolarne la distanza da O, basta scrivere

$d=(4m*L/2+m/4*L)/(4m+4m+m/4)$

[drewzingg]

Intanto ti ringrazio molto, il ragionamento mi è chiaro ora! Posso chiederti come si costruisce la relazione

$ d=(4m*L/2+m/4*L)/(4m+4m+m/4) $?

Volevo capire quale sia la formula generale che gli sta dietro. Grazie ancora!

[professorkappa]

E il calcolo del centro di massa delle messe pensate concentrate nei rispettivi baricentri $(m_1x_1+m_2x_2+...m_ix_i)/(m_1+m_2+....m_i)$ rispetto all'origine