Centro di massa di un semicilindro di massa omogenea
Ciao a tutti, vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto 
Dovrei trovare il centro di massa di un semiclindro di massa omogenea, di altezza unitaria (il caso può considerarsi quindi bidimensionale), raggio r.
Qualcuno di voi potrebbe indicarmi come?
Grazie a tutti!
Claudio
Dovrei trovare il centro di massa di un semiclindro di massa omogenea, di altezza unitaria (il caso può considerarsi quindi bidimensionale), raggio r.
Qualcuno di voi potrebbe indicarmi come?
Grazie a tutti!
Claudio
Risposte
Ciao esperoblu e benvenuto nel forum! 
Se il cilindro è omogeno come dici il centro di massa si trova nel punto medio dell'asse ma da come poni la domanda e dal fatto che ti viene dato il raggio ho l'impressione che tu stia confondendo il centro di massa con il momento d'inerzia...sbaglio?
Se il cilindro è omogeno come dici il centro di massa si trova nel punto medio dell'asse ma da come poni la domanda e dal fatto che ti viene dato il raggio ho l'impressione che tu stia confondendo il centro di massa con il momento d'inerzia...sbaglio?
"esperoblu":
Ciao a tutti, vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto
Dovrei trovare il centro di massa di un semiclindro di massa omogenea, di altezza unitaria (il caso può considerarsi quindi bidimensionale), raggio r.
Qualcuno di voi potrebbe indicarmi come?
Grazie a tutti!
Claudio
Col permesso di mathbells che ha frainteso la richiesta...(io chiedo sempre il permesso a chi ha già risposto...)
Claudio, mi sbaglio o hai detto " semicilindro" ? E per di più omogeneo, di altezza unitaria? Allora il problema si risolve determinando il centro di figura (baricentro geometrico) di un semicerchio. Prendi due assi cartesiani nel piano $Oxy$ e disegna un semicerchio, con centro in $O$, nel semipiano superiore, con diametro giacente sull'asse $x$.
Poi determina la funzione $x = x(y)$ che equivale all'equazione della semicirconferenza, a partire da : $ x^2 + y^2 = r^2$, stabilendo entro quali limiti possono variare $x$ ed $y$.
Poi immagina di dividere la semicirconferenza in "striscioline elementari" di altezza $dy$; considera una di queste striscioline, a distanza $y$ dall'asse $x$, e calcolane l'area, che sarà uguale a $dA = 2*x*dy$ , dove al posto di $x$ metti quello che hai ricavato sopra in funzione di $y$. Il momento Statico di quest'area rispetto all'asse $x$ è uguale a :
$dM = dA*y$
Integra questa espressione facendo variare la $y$ da $0$ ad $r$ : così ottieni il momento statico del semicerchio rispetto all'asse $x$ . Dividi questo momento statico per l'area del semicerchio: il risultato è l'ordinata $y_G$ del baricentro geometrico del semicerchio.
"navigatore":
Col permesso di mathbells che ha frainteso la richiesta.
Sì, credo proprio di aver ignorato la parola "semi" in semicilindro...
chiedo scusa per il fraintendimento 
"navigatore":
io chiedo sempre il permesso a chi ha già risposto...
Non è necessario chiedere il permesso per intervenire, siamo in un forum.
Ciao Mathbells! Forse il testo intende che il cilindro e' meta' nel verso trasversale, ovvero la sua base e' meta' cerchio. Ammettiamo che sia cosi'. Gli do io qualche suggerimento. 
Esperoblu!
Si tratta di un oggetto tridimensionale, quindi il suo centro di massa avra' tre coordinate. Impostiamolo cosi': altezza, larghezza e profondita' ( cioe' avanti abbiamo la linea dritta e dietro il vertice della semicirconferenza ).
L'altezza e la larghezza sono molto semplici: per entrambe, le rispettive coordinate del centro di massa sono a meta'.
Per la profondita': l'oggetto e' omogeneo, quindi ha densita' costante. Dato che in un corpo all'altezza del centro di massa abbiamo meta' massa, generalmente, in questo caso abbiamo che la coordinata del centro di massa della profondita' si trova alla distanza tale che individua meta' area del semicerchio. Con un integrale definito si risolve. Le mie istruzioni:
- Sai che l'area del semicerchio e' $1/2r^2pi$. Quindi la sua meta' vale '' $A=1/4r^2pi$ ''.
- Imposti l'integrale definito dell'area del cerchio tra '' $0$ '' e '' $x$ '', dove quest'ultimo e' la coordinata profondita'.
- Sostituisci ( per risolverlo ) con gli angoli ( semplici funzioni sinusoidali ), tra '' $0$ '' e '' $theta$ '', dove quest'ultimo e' l'angolo al quale corrisponde '' $x$ ''.
- Eguagli l'integrale definito ad '' $A$ '', in modo da ricavare '' $theta$ ''. Mi raccomando, perche' l'angolo che ricavi e' in radianti.
- Infine '' $x=rsentheta$ ''.
In questo modo hai ricavato tutto.
Esperoblu!
Si tratta di un oggetto tridimensionale, quindi il suo centro di massa avra' tre coordinate. Impostiamolo cosi': altezza, larghezza e profondita' ( cioe' avanti abbiamo la linea dritta e dietro il vertice della semicirconferenza ).
L'altezza e la larghezza sono molto semplici: per entrambe, le rispettive coordinate del centro di massa sono a meta'.
Per la profondita': l'oggetto e' omogeneo, quindi ha densita' costante. Dato che in un corpo all'altezza del centro di massa abbiamo meta' massa, generalmente, in questo caso abbiamo che la coordinata del centro di massa della profondita' si trova alla distanza tale che individua meta' area del semicerchio. Con un integrale definito si risolve. Le mie istruzioni:
- Sai che l'area del semicerchio e' $1/2r^2pi$. Quindi la sua meta' vale '' $A=1/4r^2pi$ ''.
- Imposti l'integrale definito dell'area del cerchio tra '' $0$ '' e '' $x$ '', dove quest'ultimo e' la coordinata profondita'.
- Sostituisci ( per risolverlo ) con gli angoli ( semplici funzioni sinusoidali ), tra '' $0$ '' e '' $theta$ '', dove quest'ultimo e' l'angolo al quale corrisponde '' $x$ ''.
- Eguagli l'integrale definito ad '' $A$ '', in modo da ricavare '' $theta$ ''. Mi raccomando, perche' l'angolo che ricavi e' in radianti.
- Infine '' $x=rsentheta$ ''.
In questo modo hai ricavato tutto.
Edit: scusa Navigatore, ma mentre scrivevo ( sono lento con le formule ) non mi sono accorto del messaggio.
Ragazzi io non ho parole!!! Grazie a tutti!! Adesso leggo tutte le risposte con calma!
Siete stati gentilissimi
Siete stati gentilissimi
"_GaS_":
Edit: scusa Navigatore, ma mentre scrivevo ( sono lento con le formule ) non mi sono accorto del messaggio.
Poffarbacco, mi ritengo gravemente offeso, intendo sfidare la Sua Signoria a mortal duello....
Gas, io scherzo! E chi se ne frega se hai ripetuto?
Come diceva il latino? Repetita Juventus? Io preferisco altra squadra.
Capisco.
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