Centro di massa arco di circonferenza
Ciao a tutti,
devo calcolare il centro di massa di un arco di circonferenza di raggio $R$.
L'ampiezza dell'angolo è $alpha$. La sua mamma è $M$.
La densità è uniforme ed è definita come $rho= M/(Ralpha)$.
L'asse orizzontale è $x$, l'asse verticale è $y$.
Mi è stato di aver sbagliato nel calcolo dell'ordinata del centro di massa, ovvero $y_G$.
Io ho calcolato il centro di massa nel seguente modo:
$y_G= 1/M int yrhody =1/M int_(0)^(alpha) Rsin(theta)rhoRd theta$
$= 1/M R^2 rho int_(0)^(alpha) sin (theta)= = 1/M R^2 M/(Ralpha) (1-cos(alpha))$
$= R((1-cos(alpha)))/alpha$
Sapete dove sta l'errore???
Dovrebbe essere $y_G= Rsin(alpha)/alpha$
....Giusto per completezza, scrivo anche il calcolo dell'ascissa del centro di massa, che, a differenza dell'ordinata, dovrebbe essere corretto.
$x_G= 1/M int xrhodx =1/M int_(0)^(alpha) Rcos(theta)rhoRd theta$
$= 1/M R^2 rho int_(0)^(alpha) cos (theta)= = 1/M R^2 M/(Ralpha) sin(alpha)$
$= Rsin(alpha)/alpha$
devo calcolare il centro di massa di un arco di circonferenza di raggio $R$.
L'ampiezza dell'angolo è $alpha$. La sua mamma è $M$.
La densità è uniforme ed è definita come $rho= M/(Ralpha)$.
L'asse orizzontale è $x$, l'asse verticale è $y$.
Mi è stato di aver sbagliato nel calcolo dell'ordinata del centro di massa, ovvero $y_G$.
Io ho calcolato il centro di massa nel seguente modo:
$y_G= 1/M int yrhody =1/M int_(0)^(alpha) Rsin(theta)rhoRd theta$
$= 1/M R^2 rho int_(0)^(alpha) sin (theta)= = 1/M R^2 M/(Ralpha) (1-cos(alpha))$
$= R((1-cos(alpha)))/alpha$
Sapete dove sta l'errore???
Dovrebbe essere $y_G= Rsin(alpha)/alpha$
....Giusto per completezza, scrivo anche il calcolo dell'ascissa del centro di massa, che, a differenza dell'ordinata, dovrebbe essere corretto.
$x_G= 1/M int xrhodx =1/M int_(0)^(alpha) Rcos(theta)rhoRd theta$
$= 1/M R^2 rho int_(0)^(alpha) cos (theta)= = 1/M R^2 M/(Ralpha) sin(alpha)$
$= Rsin(alpha)/alpha$
Risposte
Io avrei fatto un integrale doppio, su R e θ , comunque si, è giusto, ma hai calcolato solo l'arco di circonferenza
Perchè non usi le coordinate polari, anziché le cartesiane?
Per ragioni evidenti di simmetria , il baricentro dell’arco di circonferenza giace sulla bisettrice dell’angolo al centro su cui insiste l’arco. Assumi questa bisettrice come asse polare , e se ti fa comodo mettilo orizzontale, come se fosse l’asse x . Devi trovare ora la distanza di G dal centro O della circonferenza.
Guarda questo vecchio messaggio , parte di una discussione.
E guarda anche qui
C’è anche questo
Per ragioni evidenti di simmetria , il baricentro dell’arco di circonferenza giace sulla bisettrice dell’angolo al centro su cui insiste l’arco. Assumi questa bisettrice come asse polare , e se ti fa comodo mettilo orizzontale, come se fosse l’asse x . Devi trovare ora la distanza di G dal centro O della circonferenza.
Guarda questo vecchio messaggio , parte di una discussione.
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Io risponderei a anonymous_be0efb semplicemente dicendo che quello che ha fatto è corretto (tra l'altro il problema chiede chiaramente di calcolare il centro di massa dell'arco di circonferenza).
Se il suo testo riporta altri risultati allora sono sbagliati, almeno rispetto alla figura di anonymous_be0efb.
D'altra parte per fare una verifica veloce basta vedere quello che si ottiene per $alpha=0$ e $alpha=2pi$ sia per l'ascissa che per l'ordinata del centro di massa.
Se il suo testo riporta altri risultati allora sono sbagliati, almeno rispetto alla figura di anonymous_be0efb.
D'altra parte per fare una verifica veloce basta vedere quello che si ottiene per $alpha=0$ e $alpha=2pi$ sia per l'ascissa che per l'ordinata del centro di massa.
Sta usando le coordinate polari, ha scritto anche il determinante jacobiano $R$ se ci fate caso. Ha solo saltato qualche passaggio dandolo per scontato secondo me.
L'integrale doppio è già fatto perché non essendo un settore circolare ma un semplice arco di circonferenza non ha dovuto integrare $r$ tra $0$ ed $R$.
Comunque anche secondo me è giusto. Ci deve essere un errore sul libro del tuo professore. Capita, sono umani anche loro.
P.s. Date un occhio a questo mio post se viva
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8476014
L'integrale doppio è già fatto perché non essendo un settore circolare ma un semplice arco di circonferenza non ha dovuto integrare $r$ tra $0$ ed $R$.
Comunque anche secondo me è giusto. Ci deve essere un errore sul libro del tuo professore. Capita, sono umani anche loro.
P.s. Date un occhio a questo mio post se viva
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 4#p8476014
grazie mille a tutti anche per gli spunti, gentilissimi
Avevo guardato solo il disegno, comunque non essendoci errori di calcolo, ne di impostazione, era possibile solo quello di interpretazione 
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