Carrucola su un blocco dotato di ruote

[Giup1]

Salve, non riesco a impostare tutte le equazione necessarie per risolvere il seguente quesito:
2 blocchi legati da un filo inestensibile come in figura si trovano su un blocco con ruote. Tutte le superfici sono lisce. Supponi che m2 si può muovere solo verticalmente. Trova a) la tensione del filo, b) l'accelerazione di m2, c) l'accelerazione di M, d) l'accelerazione di m1. (Suggerimento: la carrucola si muove insieme a M)
Innanzitutto, l'unica forza che mette in moto M è la forza di contatto tra m2 e M, giusto? Poi, immagino che il fatto che m2 si può muovere solo verticalmente sia da considerare relativamente a M.
Detto questo non riesco a scrivere 4 equazioni per 4 incognite (infatti, anche se l'accelerazione di m1 deve essere uguale a quella di m2, o almeno alla sua componente verticale, c'è un'ulteriore incognita costituita dalla forza di contatto tra m2 e M).

[Noodles1]

Forse non hai scritto quella sottostante:

$Ma=-T-R$

orientando l'asse orizzontale verso destra.

[Quinzio]

"Giup":
Innanzitutto, l'unica forza che mette in moto M è la forza di contatto tra m2 e M, giusto?

No, non ci sono attriti.
M e' messa in moto dalla tensione della fune, tramite la carrucola, ovviamente solo in direzione orizzontale.

Poi, immagino che il fatto che m2 si può muovere solo verticalmente sia da considerare relativamente a M.

Si, direi che il senso e' quello.

Detto questo non riesco a scrivere 4 equazioni per 4 incognite (infatti, anche se l'accelerazione di m1 deve essere uguale a quella di m2, o almeno alla sua componente verticale, c'è un'ulteriore incognita costituita dalla forza di contatto tra m2 e M).

$a_1\ m_1 = T$

$a_2\ m_2 = T - g\ m_2$

$a_M\ (M+m_2) = -T$

$a_M - a_1 - a_2 = 0$

Nella terza eq. compare $M+m_2$ perche' abbiamo detto che $m_2$ rimane adiacente a $M$ e si muove verticalmente.

[Noodles1]

"Quinzio":

$a_M-a_1-a_2=0$

Non si comprende come sia stata ricavata. Tra l'altro, poichè, per forza bruta:

Secondo principio della dinamica

$\{(m_1a_(1x)=T),(a_(1y)=0):} ^^ \{(m_2a_(2x)=R),(m_2a_(2y)=-m_2g+T):} ^^ \{(Ma_x=-T-R),(a_y=0):}$

Relazioni cinematiche

$\{(a_(2x)=a_x),(a_(2y)=a_(1x)):}$

non è corretta. Probabilmente, per la conservazione della quantità di moto lungo la direzione orizzontale, intendevi scrivere:

$m_1a_1+(m_2+M)a_M=0$

[Quinzio]

Quella che ho chiamato $a_2$e' la componente verticale.
La componente orizzontale dell'accelerazione di $m_2$ e' $a_M$.
Lo davo per scontato ma e' bene evidenziarlo.

La soluzione di $a_M$ dovrebbe essere

$a_M = -(2+M(1/m_1+1/m_2) +m_2/m_1)^{-1} g$

[Noodles1]

Ciò che scrivi mi era già chiaro. Tuttavia, non si comprende il motivo per cui:

$a_M-a_1-a_2=0$

anche se a sistema con le altre equazioni, dovrebbe essere equivalente a:

$m_1a_1+(m_2+M)a_M=0$

[Quinzio]

Se metto due assi cartesiani $xy$ sul disegno, orientati nel modo classico, la lunghezza della corda e'
$x_M - x_1 + y_M - y_2 = l$

derivo due volte, $y_M$ e $l$ sono costanti, quindi ho $a_M - a_1 -a_2 = 0$
I versi delle accelerazioni sono orientati come gli assi, quindi destra e alto, inoltre $a_2$ come detto prima, e' la componente verticale dell'accelerazione di $m_2$.
$a_2$ alla fine avra' un valore negativo, $a_1$ positivo, $a_M$ negativo.
Forse e' solo una questione di segni.

[Quinzio]

"Noodles":dovrebbe essere equivalente a:

$m_1a_1+(m_2+M)a_M=0$

Ok, se prendi la prima e la terza delle 4 equazioni che ho scritto, e le combini tramite $T$, ottieni quello che hai scritto tu.

Metto anche il sistema in forma matriciale. E' piu' che altro uno sfizio estetico.

$( ( 1 , -m_1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , -m_2 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , M+m_2 ),( 0 , -1 , -1 , 1 ) ) ( ( T ),( a_1 ),( a_2 ),( a_M ) ) = ( ( 0 ),( g\ m_2 ),( 0),( 0 ) ) $

[Noodles1]

Hai ragione. Nel sistema di riferimento non inerziale solidale al blocco (le accelerazioni sono quelle assolute):

Secondo principio della dinamica per $m_1$ lungo la direzione orizzontale

$m_1(a_1-a)=T-m_1a$

Secondo principio della dinamica per $m_2$ lungo la direzione verticale

$m_2a_2=-m_2g+T$

Relazione cinematica

$a_1-a+a_2=0$

Insomma, l'equazione che hai scritto è proprio la relazione cinematica. Tra l'altro, conservando la quantità di moto lungo la direzione orizzontale:

$m_1a_1+(m_2+M)a=0 rarr$

$rarr (m_2+M)a=-T$

si ricavano proprio le quattro equazioni che avevi scritto nel primo messaggio.

"Noodles":
Non si comprende come sia stata ricavata. Tra l'altro, poichè, per forza bruta:

Secondo principio della dinamica

$\{(m_1a_(1x)=T),(a_(1y)=0):} ^^ \{(m_2a_(2x)=R),(m_2a_(2y)=-m_2g+T):} ^^ \{(Ma_x=-T-R),(a_y=0):}$

Relazioni cinematiche

$\{(a_(2x)=a_x),(a_(2y)=a_(1x)):}$

non è corretta.

Non pensavo si potesse ricavare con le dovute manipolazioni.