Carrucola III 5.17

[Antonio_80]

Ho il seguente esercizio:

Con la seguente risoluzione:

Non riesco a capire la soluzione del testo, sin dall'inizio quando imposta le equazioni del sistema

Insomma, io ho impostato le seguenti equazioni:

$m ddot(y) = T-mg$ (per il blocco appeso in alto a sinistra)
$Mddot(x) = -T$ (per il blocco che viene trascinato)

per quanto riguarda il moto verticale e quindi questa equazione $m ddot(y) = T-mg$, mi trovo con l'equazione del testo, ma poi io scrivo la seguente per il moto orizzontale $Mddot(x) = -T$ e il testo invece dice che il moto orizzontale è dettato dalla seguente equazione $mddot(x) + M ddot(x)=2T$, ma come ha fatto a pensare a questa equazione

$mddot(x) + M ddot(x)=2T$

Perchè non mi trovo con l'equazione del testo

In parte concepisco questa formula, intendo che comprendo il primo membro, infatti, lungo l'orizzontale si ha che il moto è dato dalla massa $M$ e quindi si ha un'accelerazione positiva lungo la $x$ che è contrastata dalla tensione del filo, quindi:
$M ddot(x)=T$

nello stesso istante che si ha accelerazione $Mddot(x)$ relativamente alla massa $M$ si ha anche l'accelerazione della massa $m$ lungo la $x$ e quindi si ha $m ddot(x) = -T$ ho attribuito il segno meno perchè se ho pensato che lungo la $y$ il blocco di massa $m$ ha una tensione positiva, allora la tensione che si oppone orizzontalmente deve essere per forza negativa e quindi $m ddot(x) = -T$ !

Adesso mi chiedo come fa il testo a scrive al suo secondo membro nella seguente $mddot(x) + M ddot(x)=2T$ un valore in cui compare un $2$ Posso capire che a primo membro si ha la somma delle due accelerazioni $Mddot(x)$ ed $mddot(x)$, ma a primo membro come fa a scrivere $2T$

[maschinna]

Sono interessato anch'io. Spero che qualcuno sappia risponderci

[Sk_Anonymous]

Non c'è da discutere sulla equazione del moto della massa $m$, e cioè : $mddoty = T - mg$ , mi pare.

Essendo tutte le pulegge di massa trascurabile per ipotesi, il loro compito è quello di ruotare di 90° la tensione T, che non cambia valore dopo la rotazione.
Ora osservate che ci sono due fili disposti orizzontalmente, che "tirano" il sistema $(M+m)$ agendo verso destra . Quindi le forze orizzontali che accelerano $(M+m)$ sono $T + T = 2T$ . E perciò l'equazione del moto del sistema in senso orizzontale è :

$(M+m) ddotx = 2T$

Per la stessa ragione ( i fili orizzontali sono due) , uno spostamento verticale di $m$ pari a $\Deltay$ dà luogo a uno "scorrimento" orizzontale, di valore $\Deltax = (\Deltay)/2$ in ciascuno dei due fili : gli spostamenti (orizzontale e verticale) sono in senso opposto, perché se $m$ sale di $\Deltay$ il sistema si sposta verso sinistra di $\Deltax$ .

Quindi $y = -2x$ non è l'equazione di una retta .

Questo esercizio ricorda il funzionamento di un paranco multiplo, cioè a più pulegge.

Avete mai visto come è fatto un paranco multiplo ? .

A parità di lavoro eseguito ($L = F*s$ ), ciò che si guadagna in forza si perde in spostamento: più sono le pulegge, e più aumenta lo spostamento del capo libero da tirare, ma diminuisce la forza da applicare , per sollevare uno stesso peso dello stesso tratto.

[Antonio_80]

"navigatore":
Ora osservate che ci sono due fili disposti orizzontalmente, che "tirano" il sistema $(M+m)$ agendo verso destra . Quindi le forze orizzontali che accelerano $(M+m)$ sono $T + T = 2T$ . E perciò l'equazione del moto del sistema in senso orizzontale è :

$(M+m) ddotx = 2T$

A dire il vero io ho pensato di dire che se si ha la tensione del filo uscente dalla massa $M$, che la definisco positiva lungo l'asse delle $x$, dopo le deviazioni e quindi nel tratto orizzontale in alto prima dell'ultima carrucola vicino alla massa appesa, si ha che la tensione è sempre orizzontale ma in verso opposto e quindi si ha che il segno di questa tensione è $-T$, ma essendo un movimento quello orizzontale di questo filo che è relativo alla massa $M$, si ha che quando la $T$ in basso vicino alla massa $M$ va verso destra, la $-T$ va in senso contrario ma essendo un moto relativo ad $M$, si ha che $-T$ va sottratta alla $T$, quindi arriviamo a dire che deve essere:
$T-(-T) = (M+m)ddot(x)$
$2T = (M+m)ddot(x)$

Cosa ne dici Nav.

[Sk_Anonymous]

Dico che non è il ragionamento corretto, anzi è per me pure incomprensibile.

Taglia i due fili orizzontali a centro, e nelle sezioni di taglio, sia a destra che a sinistra, applica le forze $vecT$ : come devono essere dirette entrambe, per ripristinare lo stato tensionale (cioè "la forza che tira") nei due fili , e quindi l'equilibrio ?
Sono dirette nello stesso verso, sopra e sotto : guardando le sezioni di sinistra di entrambi i fili sono dirette verso destra. E viceversa, guardando le sezioni di destra sono dirette a sinistra, no ?

Quando ci sono fili in giro, si fa sempre così : si seziona e si segnano le forze che ripristinano la tensione e quindi lo stato di equilibrio.