Carrucola con disco e punto materiale
Salve a tutti, è qualche giorno che ho dei dubbi su questo esercizio:
A un perno ideale posto nel centro B di un disco omogeneo di raggio R e massa M è connesso un filo ideale che passa attraverso una carrucola posta in A e sostiene un peso di massa 2M. Il disco è in contatto (con attrito) con una guida verticale. Detta y la distanza fra A ed il punto di contatto fra disco e guida, si calcoli il valore di y nel quale il sistema si trova in equilibrio. Si dica se si tratta di equilibrio stabile o instabile.
Vi posto l'immagine: http://img856.imageshack.us/img856/2494/immaginezbx.png
Ecco la mia risoluzione.
Pongo un sistema di assi cartesiani con l'origine in A, l'asse x da sinistra a destra orizzontale e l'asse y dall'alto verso il basso verticale. Chiamo \(\displaystyle L \) la lunghezza totale del filo inestendibile e scrivo: \(\displaystyle L = y' + \sqrt{(R^2+y^2)} \), dove \(\displaystyle y' \) è la distanza del punto materiale dall'origine e \(\displaystyle \sqrt{(R^2+y^2)} \) è la distanza tra A e B. Posso quindi ricavare \(\displaystyle y' \), e ottengo \(\displaystyle y' = L - \sqrt{(R^2+y^2)} \).
Risolvo l'intero esercizio considerando l'energia potenziale, e, ponendo il punto di zero all'altezza di A, ottengo \(\displaystyle V(y) = -Mgy-2Mgy' \). Sostituendo \(\displaystyle y' \) ho \(\displaystyle V(y) = -Mgy-2MgL+2Mg\sqrt{(R^2+y^2)} \). Ecco, derivando una volta ed uguagliando a zero trovo facilmente il primo risultato: \(\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3}R \), corretto perchè confermato dal professore. Per determinare il tipo di equilibrio derivo ancora una volta (calcolo quindi la derivata seconda dell'energia potenziale del sistema rispetto ad \(\displaystyle y \)) e controllo il suo segno. Ottengo una derivata seconda positiva, quindi nella configurazione di equilibrio \(\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3}R \) si ha un punto di minimo, e quindi un equilibrio STABILE, mentre la soluzione corretta del professore è equilibrio INSTABILE. Qualcuno può spiegarmi cosa sbaglio? L'unico (forse) modo affinchè torni è cambiare il segno dell'energia potenziale del punto materiale, senza che in tal modo cambi il primo risultato, e cioè scrivere \(\displaystyle V(y) = -Mgy+2Mgy' \). In questo modo ottengo alla fine una derivata seconda negativa e quindi un equilibrio instabile. Ma perchè?
Grazie mille in anticipo!
A un perno ideale posto nel centro B di un disco omogeneo di raggio R e massa M è connesso un filo ideale che passa attraverso una carrucola posta in A e sostiene un peso di massa 2M. Il disco è in contatto (con attrito) con una guida verticale. Detta y la distanza fra A ed il punto di contatto fra disco e guida, si calcoli il valore di y nel quale il sistema si trova in equilibrio. Si dica se si tratta di equilibrio stabile o instabile.
Vi posto l'immagine: http://img856.imageshack.us/img856/2494/immaginezbx.png
Ecco la mia risoluzione.
Pongo un sistema di assi cartesiani con l'origine in A, l'asse x da sinistra a destra orizzontale e l'asse y dall'alto verso il basso verticale. Chiamo \(\displaystyle L \) la lunghezza totale del filo inestendibile e scrivo: \(\displaystyle L = y' + \sqrt{(R^2+y^2)} \), dove \(\displaystyle y' \) è la distanza del punto materiale dall'origine e \(\displaystyle \sqrt{(R^2+y^2)} \) è la distanza tra A e B. Posso quindi ricavare \(\displaystyle y' \), e ottengo \(\displaystyle y' = L - \sqrt{(R^2+y^2)} \).
Risolvo l'intero esercizio considerando l'energia potenziale, e, ponendo il punto di zero all'altezza di A, ottengo \(\displaystyle V(y) = -Mgy-2Mgy' \). Sostituendo \(\displaystyle y' \) ho \(\displaystyle V(y) = -Mgy-2MgL+2Mg\sqrt{(R^2+y^2)} \). Ecco, derivando una volta ed uguagliando a zero trovo facilmente il primo risultato: \(\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3}R \), corretto perchè confermato dal professore. Per determinare il tipo di equilibrio derivo ancora una volta (calcolo quindi la derivata seconda dell'energia potenziale del sistema rispetto ad \(\displaystyle y \)) e controllo il suo segno. Ottengo una derivata seconda positiva, quindi nella configurazione di equilibrio \(\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{3}R \) si ha un punto di minimo, e quindi un equilibrio STABILE, mentre la soluzione corretta del professore è equilibrio INSTABILE. Qualcuno può spiegarmi cosa sbaglio? L'unico (forse) modo affinchè torni è cambiare il segno dell'energia potenziale del punto materiale, senza che in tal modo cambi il primo risultato, e cioè scrivere \(\displaystyle V(y) = -Mgy+2Mgy' \). In questo modo ottengo alla fine una derivata seconda negativa e quindi un equilibrio instabile. Ma perchè?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Non c'è nessuno che può aiutarmi? 
Ho risolto: il segno e tutto il procedimento è giusto, l'equilibrio che si ha è davvero STABILE 
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