Carrello su un binario in rotazione: Coriolis

[igol10]

Questo è il sistema da analizzare:



Il disco ha raggio R e ruota con velocità angolare $ Omega $
Molla ha lunghezza a riposo pari a R

Inizialmente:
- Il carrello di massa m si trova a R/2 dal centro del disco: r(0) = R/2
- Il carrello è inizialmente fermo: v(0) = 0

Mi chiede:
(1) Equazione del moto del carrello nel SR solidale al disco.
(2) Legge oraria
(3) Componente orizzontale e verticale della reazione vincolare del binario

Io uso un SR solidale con il disco, con $ u_r $ che indica la direzione radiale a partire dal punto O (centro del disco) e $ u_{phi} $ perpendicolare a $ u_r $ nel verso delle phi crescenti.

MIA SOLUZIONE:
(a) Equazione del moto:
$ mddot(r) = -kr + mOmega^2r => mddot(r) = -(k - mOmega^2)r $
$ omega = sqrt(k/m-Omega^2) $

(b) Legge oraria:
$ { ( r(t) = Ccos(omegat + phi)),( r(0) = Ccos(phi) = R/2 => C = R/2 ),( dot(r(0)) = -omegaCsin(phi) = 0 => phi = 0 ):} $
Quindi:
$ r(t) = R/2cos(omegat) $

(3) Reazioni vincolari
Ora per questa domanda come dovrei proseguire? Le reazioni vincolare esercitate dalle pareti laterali del binario permettono al corpo di non accelerare lungo $ u_{phi} $.
Devo considerare la forza di Coriolis per calcolare queste reazioni? Io penso di sì visto che, supponendo l'assenza di queste pareti laterali, il corpo sarebbe anche sottoposto ad una deviazione del suo moto, che non andrebbe solo lungo $ u_r $. Questa deviazione sarebbe causata proprio dalla forza di Coriolis.
Ma se calcolo analiticamente la forza di Coriolis ho:
$ vec(F)_{c o} = -2mvec(Omega) xx vec(v)' = -2mOmegaomegarvec(u)_r $ visto che il moto avviene su un piano!
Quindi anche Coriolis ha componente lungo $ u_r $ e non lungo $ u_{phi} $.
Dove sbaglio??

[igol10]

Nel calcolo della forza di Coriolis io ho inteso:
$ vec(Omega) = Omegavec(u)_z $
$ vec(v) = v vec(u)_{phi} $