Carrelli che si muovono con molla

[menteContorta]

Due carrelli , di lunghezza L e masse M e m sono su un piano orizzontale, su cui scorrono senza attrito.Inizialmente sono immobili e fra di essi c’è una molla di lunghezza a riposo 2L e costante elastica k. La molla non è agganciata ai carrelli ed inizialmente è compressa fino alla lunghezza L. A t=0 un sistema di sgancio consente ai due carrelli di allontanarsi.
Come posso determinare l'istante in cui la molla cade e viene tolta?

[Falco5x]

La molla cade quando la distanza tra i due carrelli diventa uguale alla lunghezza della molla a riposo, cioè 2L.
Lo studio del moto di questo sistema, come in tutti i casi in cui c'è una massa e una molla, conduce di solito a una equazione differenziale del secondo ordine, e la soluzione è un moto oscillatorio.
Vorrei però provare a trovare la soluzione senza risolvere equazioni differenziali, partendo da considerazioni energetiche.
L'energia potenziale iniziale del sistema è quella dovuta alla molla compressa per una lunghezza L, cioè:
$${U_0} = \frac{1}
{2}k{L^2}$$
Durante il moto del sistema la somma tra l'energia potenziale e l'energia cinetica deve essere sempre uguale a questo valore iniziale.
Detta dunque $\xi$ la lunghezza per la quale la molla è compressa in un certo istante, e dette v e V le velocità dei due carrelli, si deve avere sempre:
$$\frac{1}
{2}m{v^2} + \frac{1}
{2}M{V^2} + \frac{1}
{2}k{\xi ^2} = \frac{1}
{2}k{L^2}$$
La distanza tra i due carrelli, dette x e X le ascisse dei punti di contatto tra ciascun carrello e la molla, è:
$$D = X - x = 2L - \xi $$
Adesso vediamo la relazione tra la x e la X, ovvero tra la v e la V.
Non essendoci forze esterne orizzontali, la quantità di moto totale si mantiene nulla, ovvero:
$$m\dot x + M\dot X = 0$$
dove ho sostituito i simboli v e V con le ascisse puntate, che rappresentano le derivate temporali delle ascisse stesse.
Si ha pure:
$$\dot \xi = \dot x - \dot X$$
Sostituendo si ottiene>:
$$\eqalign{
& \dot x = \frac{M}
{{m + M}}\dot \xi \cr
& \dot X = - \frac{m}
{{m + M}}\dot \xi \cr} $$
Ripartendo dall'energia si ricava:
$$\eqalign{
& \frac{1}
{2}m{{\dot x}^2} + \frac{1}
{2}M{{\dot X}^2} + \frac{1}
{2}k{\xi ^2} = \frac{1}
{2}k{L^2} \cr
& \frac{{mM}}
{{m + M}} = \mu \cr
& \mu {{\dot \xi }^2} = k{L^2}\left( {1 - {{\left( {\frac{\xi }
{L}} \right)}^2}} \right) \cr
& \dot \xi = \sqrt {\frac{k}
{\mu }} L\sqrt {1 - {{\left( {\frac{\xi }
{L}} \right)}^2}} \cr} $$
Utilizzo adesso la variabile indiretta $\alpha$ e scrivo:
$$\frac{\xi }
{L} = \cos \alpha $$
Derivando e sostituendo ottengo:
$$\eqalign{
& - L\dot \alpha \sin \alpha = \sqrt {\frac{k}
{\mu }} L\sin \alpha \cr
& \dot \alpha = - \sqrt {\frac{k}
{\mu }} \cr} $$
Derivata costante porta a una equazione lineare:
$$\alpha = {\alpha _0} - \sqrt {\frac{k}
{\mu }} t$$
da cui:
$$\eqalign{
& \cos \alpha = \cos \left( {{\alpha _0} - \sqrt {\frac{k}
{\mu }} t} \right) \cr
& \xi = L\cos \left( {{\alpha _0} - \sqrt {\frac{k}
{\mu }} t} \right) \cr} $$
Partendo dalle condizioni iniziali, per t=0 si ha:
$$\eqalign{
& {\xi _0} = L\cos \left( {{\alpha _0}} \right) = L \cr
& {\alpha _0} = 0 \cr} $$
Il tempo in cui la molla cade è quello in cui essa è completamente allungata, cioè quando $\xi=0$, per cui:
$$\eqalign{
& 0 = L\cos \left( {\sqrt {\frac{k}
{\mu }} t} \right) \cr
& t = \frac{\pi }
{2}\sqrt {\frac{\mu }
{k}} \cr} $$