Carica e scarica di un condensatore
Ciao a tutti, volevo chiedere aiuto per un esercizio che a molti di voi sembrerà banale. Mi trovo davanti all'argomento "Carica e scarica di un condensatore", nell'ambito dei circuiti RC e l'esercizio è:
Un circuito RC alimentato da un generatore viene utilizzaro per caricare un condensatore. Calcola il tempo, espresso in unità della costante di tempo del circuito, necessario perchè la carica sulle armature del condensatore raggiunga un valore uguale a 9/10 del valore finale.
Se non ho valori, come lo posso risolvere? A dire la verità non ho neanche ben chiara la formula da usare.. per la quantità di carica mi viene in mente solo Q = C x V. E poi, quando chiede di esprimere il risultato in unità della costante di tempo dei circuito, significa esprimerle in T (tau)?
Vi ringrazio
Un circuito RC alimentato da un generatore viene utilizzaro per caricare un condensatore. Calcola il tempo, espresso in unità della costante di tempo del circuito, necessario perchè la carica sulle armature del condensatore raggiunga un valore uguale a 9/10 del valore finale.
Se non ho valori, come lo posso risolvere? A dire la verità non ho neanche ben chiara la formula da usare.. per la quantità di carica mi viene in mente solo Q = C x V. E poi, quando chiede di esprimere il risultato in unità della costante di tempo dei circuito, significa esprimerle in T (tau)?
Vi ringrazio
Risposte
Ciao. Immagino che tu abbia visto e/o studiato le equazioni che danno l'andamento di tensione/corrente/carica in funzione del tempo in un circuito RC durante le fasi di carica/scarica.
Per ricavare tali andamenti basta applicare la II legge di Kirchhoff (delle "maglie") al circuito: la somma delle forze elettromotrici è uguale alla somma delle cadute di tensione. Durante la fase di carica, come f.e.m abbiamo quella del generatore ($V$), mentre come cadute di tensione abbiamo quelle dovute al resistore ($Ri$) e al condensatore ($Q/C$):
$V = Ri + Q/C$. Poichè, per definizione, $i = (dQ)/(dt)$, abbiamo la seguente equazione differenziale: $V = R(dQ)/(dt) + Q/C$.
Anche se qualcuno storcerà il naso, questa equazione si può risolvere separando le variabili:
$RC(dQ)/(dt) = CV - Q -> (dQ)/(CV - Q) = dt/(RC) = dt/(tau)$ ($tau = RC$).
Bisogna ora scegliere gli estremi di integrazione; all'istante $t = 0$ il condensatore è scarico, quindi la carica è nulla; al generico tempo $t$, invece, ci sarà
una certa carica $Q$: $int_0^Q (dQ)/(CV - Q) = int_0^t (dt)/(tau) -> log((CV - Q)/(CV)) = - t/(tau) -> CV - Q = CV e^(-t/(tau)) -> Q(t) = CV (1 - e^(-t/(tau)))$
Il valore finale della carica è quello che si raggiunge dopo un tempo infinito: dall'espressione di $Q(t)$, si vede che per $t$ infinito si ha $Q_f = CV$
Il tempo incognito si trova eguagliando l'espressione generale di $Q(t)$ a $9/10 CV$; in unità di $tau$ vuol dire semplicemente che si vuole non il tempo $t$,
ma il rapporto $t/(tau)$. Infatti, se per esempio $t = tau$, il rapporto è uguale a uno, cioè è passato un tempo unitario in unità di $tau$.
Imponendo questa eguaglianza si ha: $9/10 CV = CV (1 - e^(-t/(tau))) -> e^(-t/(tau)) = 1/10 -> t/(tau) = -log(1/10)$
Per ricavare tali andamenti basta applicare la II legge di Kirchhoff (delle "maglie") al circuito: la somma delle forze elettromotrici è uguale alla somma delle cadute di tensione. Durante la fase di carica, come f.e.m abbiamo quella del generatore ($V$), mentre come cadute di tensione abbiamo quelle dovute al resistore ($Ri$) e al condensatore ($Q/C$):
$V = Ri + Q/C$. Poichè, per definizione, $i = (dQ)/(dt)$, abbiamo la seguente equazione differenziale: $V = R(dQ)/(dt) + Q/C$.
Anche se qualcuno storcerà il naso, questa equazione si può risolvere separando le variabili:
$RC(dQ)/(dt) = CV - Q -> (dQ)/(CV - Q) = dt/(RC) = dt/(tau)$ ($tau = RC$).
Bisogna ora scegliere gli estremi di integrazione; all'istante $t = 0$ il condensatore è scarico, quindi la carica è nulla; al generico tempo $t$, invece, ci sarà
una certa carica $Q$: $int_0^Q (dQ)/(CV - Q) = int_0^t (dt)/(tau) -> log((CV - Q)/(CV)) = - t/(tau) -> CV - Q = CV e^(-t/(tau)) -> Q(t) = CV (1 - e^(-t/(tau)))$
Il valore finale della carica è quello che si raggiunge dopo un tempo infinito: dall'espressione di $Q(t)$, si vede che per $t$ infinito si ha $Q_f = CV$
Il tempo incognito si trova eguagliando l'espressione generale di $Q(t)$ a $9/10 CV$; in unità di $tau$ vuol dire semplicemente che si vuole non il tempo $t$,
ma il rapporto $t/(tau)$. Infatti, se per esempio $t = tau$, il rapporto è uguale a uno, cioè è passato un tempo unitario in unità di $tau$.
Imponendo questa eguaglianza si ha: $9/10 CV = CV (1 - e^(-t/(tau))) -> e^(-t/(tau)) = 1/10 -> t/(tau) = -log(1/10)$
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