Carica che oscilla

[fax1]

Due cariche uguali Q1=Q2=1pC vengono tenute ferme nel vuoto nei punti dell'asse y di ordinate y1=d=10cm e y2=-d rispettivamente. Una particella di massa m=10g e Q=-1μC oscilla lungo l'asse x sotto l'azione delle forze dovute a Q1 e Q2(in assenza di gravità). Quanto vale il periodo T delle piccole oscillazioni?

Sono semplicemente riuscito a capire che si tratta di due piccoli triangoli rettangoli, di cui conosco solo un lato e l'angolo retto di 90°. Ora come posso trovarmi gli altri due lati se conosco solo un angolo? E questo ragionamento serve per lo svolgimento dell'esercizio?

[Falco5x]

In generale per risolvere i problemi di moto armonico occorre impostare un'equazione che metta in relazione la distanza del corpo dalla posizione di equilibrio con la forza che tende a riportarlo in detta posizione quando lo si sposta. Poi di solito serve approssimare dicendo che gli spostamenti sono piccoli rispetto alle altre grandezze geometriche coinvolte, altrimenti spesso succede che l'equazione risultante non sarebbe lineare e quindi risolvibile facilmente.
Insomma birogna arrivare a scrivere $F=-kx$, da cui si perviene all'equazione fondamentale del moto armonico che è $(d^2x)/(dt^2)+hx=0$.
Risolvendo questa si ottiene per x il classico moto armonico con $\omega=\sqrth$, e quindi $T=(2\pi)/\omega$.

[fax1]

ok, ma "h" sarebbe la mia distanza "d" e "-d"?

[Falco5x]

"fax":ok, ma "h" sarebbe la mia distanza "d" e "-d"?

M no, h è una costante che ho messo io, dove $h=k/m$. Tu devi trovare invece la k che è il fattore di proporzionalità tra la forza a lo spostamento.

[fax1]

ma non conoscendo lo spostamento $x$ come faccio a ricavare k da $F=-Kx$?

[MaMo2]

"fax":ma non conoscendo lo spostamento $x$ come faccio a ricavare k da $F=-Kx$?

Considera uno spostamento x generico e poi poni la condizione x << d.

[fax1]

non capisco....se ricavo K dalla formula inversa ottengo $-(F/x)$, imponendo la condizione x<

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[Falco5x]

Ma tu devi partire dalla geometria del problema!
Se la carica sta in x=0 viene attirata dalla carica in +d verso l'alto e dalla carica in -d verso il basso con forza uguale. Dunque la componente della risultante in senso x è nulla. Se tu sposti invece la carica nel punto x diverso da zero, la carica superiore darà una forza di attrazione pari a $1/(4\pi\epsilon_0)(qQ)/((x^2+d^2))$ e diretta verso di lei, e altrattanto farà la carica inferiore. Di questa due forze le componenti y si annullano perché uguali e contrarie, mentre le componenti x si sommano perché concordi e dirette nel verso -x. Dunque spostando la carica in x si svilupperà una forza $F=-1/(4\pi\epsilon_0)(qQ)/((x^2+d^2))*2cos\theta=-1/(4\pi\epsilon_0)(qQ)/((x^2+d^2))*2x/\sqrt(x^2+d^2)=-1/(4\pi\epsilon_0)(2qQ)/((x^2+d^2)^(3/2))*x$
Se prendi la relazione finale e imponi che $x< $F=-1/(4\pi\epsilon_0)(2qQ)/d^3*x$.
A questo punto basta che chiami k il fattore di proporzionalità che hai trovato, cioè $k=1/(4\pi\epsilon_0)(2qQ)/d^3$, e avrai trovato la tua relazione $F=-kx$

Sì, però non va mica bene se il compito te lo faccio io eh... la prossima volta sforzati un po' di più, d'accordo?