Capacità termica di un sistema termodinamico

[Brukario]

Questo problema mi è capitato nell'esame di Fisica 1 pochi giorni fa e non sono riuscito a dare una risposta ( solo a questo quesito specifico): se mai dovessi passare agli orali potrebbero chiedermelo ed io non so cosa fare. Di seguito il testo.

" In un recipiente, impermeabile al calore, sono contenute $ n $ moli di un gas perfetto monoatomico. La parete superiore ( di superficie totale $ S $ ) può scorrere liberamente ed ha una massa M. Tra essa e la parete inferiore è fissata una molla di costante elastica $ k $ e lunghezza a riposo $ l $. La pressione esterna al recipiente è trascurabile."

QUESITO: Si fornisce lentamente del calore al sistema misurando la variazione di temperatura. Dire per quale valore di $ l $ la capacità termica del sistema è costante, e calcolarla.

Ora io sono in alto mare: all'inizio ero partito da $ dQ = dU + pdV $ poi mi sono detto che il lavoro effettuato dal gas era lo stesso effettuato sulla molla quindi ho pensato di poter partire dal semplice $ dQ = dU $ ottenendo, dalla variazione di energia potenziale della molla e della gravità il lavoro $ dL $.
Quindi vado a scrivere $ dQ = ncvdT + Mgdl + kldl $ e divido per $dT$ dato che la capacità termica $C$ di un corpo è $ (dQ) / (dT) $.
L'espressione diventa quindi $ (dQ)/(dT) = ncv + Mg *(dl)/(dT) + kl (dl)/(dT) $

qua mi blocco e non so come proseguire

[Quinzio]

Non sono affatto sicuro di questa mia pensata, però si può sempre esprimere la pressione come
$p=(Mg+kx)/(S)$
e il volume come
$V=S(l+x)$.
In questo modo $pV=nRT$ diventa $(Mg+kx)(l+x)=nRT$.
Differenziando ambo i lati:
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$(Mg+kx)dx+(l+x)k\ dx=nR\ dT$
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$(Mg+k(2x+l))dx=nR\ dT$
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Cioè ricaviamo un'espressione per $dx$:
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$dx=(nR\ dT)/(Mg+k(2x+l))$
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Ora prendendo l'equazione dell'energia differenziale (quella che hai scritto anche tu):
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$nc_V\ dT = dQ-p\ dV$
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$nc_V\ dT = dQ-(Mg+kx)dx$
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Sostituendo $dx$
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$nc_V\ dT = dQ-(Mg+kx) (nR\ dT)/(Mg+k(2x+l))$
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Ovvero ricaviamo $(dQ)/(dT)$
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$(dQ)/(dT)=nc_V+nR(Mg+kx)/(Mg+k(2x+l))$
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Adesso non so bene cosa vuol dire "la capacità termica del sistema è costante".
Forse vuol dire che $(dQ)/(dT)$ in funzione di $x$ ha derivata nulla, è piatta ?
Proviamo a derivare:
$d((dQ)/(dT))/(dx)=nR(k(Mg+k(2x+l))-(Mg+kx)2k)/(Mg+k(2x+l))^2 =nRk(-Mg+kl)/(Mg+k(2x+l))^2$
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Ovvero non si annulla mai... non saprei... a meno di non porre $Mg=kl$

[Pazzuzu]

Quinzio per imporre che la funzione sia costante non devi cercare per quali valori di $x$ la derivata di $(dQ)/(dT)$ è nulla ,in quel caso staresti solo cercando un minimo, ma devi chiedere che la derivata di $(dQ)/(dT)$ sia sempre nulla , qualsiasi valore di x. Questo corrisponde a chiedere che il nominatore valga sempre zero. Quindi si , direi che hai detto bene : $Mg = kl$ .
Inoltre la prima legge della termodinamica in forma differenziale è $dQ = n c_v dT + P dV$ , non $n c_v = dQ + P dV$ .
Comunque ti trascini dietro un meno che una volta eguagliato a zero il nominatore della derivata scompare , infatti facendo i calcoli sono giunto al stesso tuo risultato.
Ho seguito anche io la tua strada e l'unico modo di avere nulla la derivata di $(dQ)/dT$ rispetto ad $x$ ,per qualsiasi valore di $x$, cioè mentre la molla si allunga non cambia la dose di energia che bisogna fornire al sistema per aumentare la sua temperatura di un grado, è di impostare $l = Mg/k$ .
Rimane l'ultimo passaggio , il calcolo di $(dQ)/(dT)$.
Abbiamo che
$ (dQ)/(dT) = n c_v+ nR (Mg+kx)/(Mg+2kx+kl) $
scegliendo $l = Mg/k$ ottengo :
$ (dQ)/(dT) = n c_v+ nR (Mg+kx)/(2Mg+2kx) $
Siccome ho imposto che $(dQ)/(dT) $ sia costante lungo tutto l'asse delle $ x $, basta calcolarne il valore per un $ x$ qualsiasi : scelgo $x=0$ .
$(dQ/dT) = n c_v +1/2 n R = n (3/2 + 1/2) R = 2 n R $.

[Quinzio]

Si, ho corretto il segno.