Capacità condensatore in presenza di dielettrico non omogeneo
Salve, ho trovato questo problema e non saprei bene come affrontarlo: "Calcolare la capacità di un condensatore sferico di raggio interno R1 e raggio esterno R2 riempito con un dielettrico la cui costante dielettrica varia come
$ \varepsilon =\varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}cos^{2}\theta $
dove $ \theta $ è l'angolo polare. ($ \varepsilon _{1}=2\varepsilon _{0} $, R1=1 cm, R2=5 cm).
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie in anticipo.
$ \varepsilon =\varepsilon _{0}+\varepsilon _{1}cos^{2}\theta $
dove $ \theta $ è l'angolo polare. ($ \varepsilon _{1}=2\varepsilon _{0} $, R1=1 cm, R2=5 cm).
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie in anticipo.
Risposte
Quando la costante dielettrica non è costante, conviene (quasi) sempre passare dall'induzione elettrica, e quindi per questo caso particolare andrei prima ad usare Gauss uguagliando la carica $Q$ al flusso del vettore $\vec D$ attraverso una generica superficie sferica $\Sigma$ di generico raggio $r$, compreso fra R1 e R2
$Q=\int_{\Sigma }^{ }\vec D \cdot \vec {\text{d}\Sigma}$
per poi andare ad uguagliare la tensione $V$ all'integrale di linea del campo $\vec E$ fra R1 e R2, ovviamente lungo un percorso radiale
$V=\int_{R_1 }^{ R_2}\vec E \cdot \vec {\text{d} r}$
ed infine
$C=Q/V$.
$Q=\int_{\Sigma }^{ }\vec D \cdot \vec {\text{d}\Sigma}$
per poi andare ad uguagliare la tensione $V$ all'integrale di linea del campo $\vec E$ fra R1 e R2, ovviamente lungo un percorso radiale
$V=\int_{R_1 }^{ R_2}\vec E \cdot \vec {\text{d} r}$
ed infine
$C=Q/V$.
"RenzoDF":
Quando la costante dielettrica non è costante, conviene (quasi) sempre passare dall'induzione elettrica, e quindi per questo caso particolare andrei prima ad usare Gauss uguagliando la carica $Q$ al flusso del vettore $\vec D$ attraverso una generica superficie sferica $\Sigma$ di generico raggio $r$, compreso fra R1 e R2
$Q=\int_{\Sigma }^{ }\vec D \cdot \vec {\text{d}\Sigma}$
per poi andare ad uguagliare la tensione $V$ all'integrale di linea del campo $\vec E$ fra R1 e R2, ovviamente lungo un percorso radiale
$V=\int_{R_1 }^{ R_2}\vec E \cdot \vec {\text{d} r}$
ed infine
$C=Q/V$.
Ci avevo pensato anche io però, di fatto, non saprei bene come mettere in pratica la cosa coi dati che ho...
Premesso che non ha senso quotare un intero messaggio, non vedo quale altro dato ti possa mancare, considerando che devi valutare solo un rapporto. 
Tanto per cominciare, prova ad esplicitare il primo integrale ...
Tanto per cominciare, prova ad esplicitare il primo integrale ...
... come segue
$Q=\int_{\Sigma }^{ }\epsilon_0(1+2\cos^2\theta)E(r) \ r^2 \sin \theta \ d \theta \ d\varphi$
da questo integrale, come detto, ricavi $E(r)$, che chiaramente sarà funzione anche di $Q$, ... e che poi andrai ad usare nell'integrale di linea per $V$, che a sua volta risulterà funzione di $Q$, ... ma a te interessa solo il rapporto $C=Q/V$.
$Q=\int_{\Sigma }^{ }\epsilon_0(1+2\cos^2\theta)E(r) \ r^2 \sin \theta \ d \theta \ d\varphi$
da questo integrale, come detto, ricavi $E(r)$, che chiaramente sarà funzione anche di $Q$, ... e che poi andrai ad usare nell'integrale di linea per $V$, che a sua volta risulterà funzione di $Q$, ... ma a te interessa solo il rapporto $C=Q/V$.
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