Campo $\vecB$ in un cilindretto magnetizzato
Mi trovo a studiare la magnetizzazione di un materiale magnetizzato sia esso ferro/(para o dia)-magnetico.
Il libro propone una dimostrazione di come sia possibile sostituire un volumetto di materiale magnetizzato con una spira percorsa da ipotetica corrente di superficie.
Dopo aver dimostrato che questo crea un campo $\vec B$ esterno al cilindretto di materiale vuole considerare cosa accada all'interno e riporta questa figura
Poiché se prendo una superficie $S$ composta da $Se$ e $Si$ tratto esterni e interni al cilindro, dice: il flusso di B attraverso a $Se$ è identico nel caso di cilindro magnetizzato (fig. sinistra) e cilindretto percorso da corrente (figura a destra) come dimostrato con le spire elementari. Dunque internamente il flusso di B nei due casi attraverso $Si$ sarà identico, quindi: $Phi_(S_i)=S_i$ indicando con il valore medio del campo interno al cilindro e al solenoide.
La mia domanda è piuttosto banale, ma non ho trovato soluzione sul libro nelle pagine successive: il campo B è uguale nei due casi ma solo in valore medio, oppure anche puntualmente? Cioè il campo B è proprio identico ovunque (quindi anche dentro il cilindro) nel caso di sup. percorda da corrente v/s materiale magnetizzato o questa cosa non è possibile affermarla?
Il libro propone una dimostrazione di come sia possibile sostituire un volumetto di materiale magnetizzato con una spira percorsa da ipotetica corrente di superficie.
Dopo aver dimostrato che questo crea un campo $\vec B$ esterno al cilindretto di materiale vuole considerare cosa accada all'interno e riporta questa figura
Poiché se prendo una superficie $S$ composta da $Se$ e $Si$ tratto esterni e interni al cilindro, dice: il flusso di B attraverso a $Se$ è identico nel caso di cilindro magnetizzato (fig. sinistra) e cilindretto percorso da corrente (figura a destra) come dimostrato con le spire elementari. Dunque internamente il flusso di B nei due casi attraverso $Si$ sarà identico, quindi: $Phi_(S_i)=S_i$ indicando con il valore medio del campo interno al cilindro e al solenoide.
La mia domanda è piuttosto banale, ma non ho trovato soluzione sul libro nelle pagine successive: il campo B è uguale nei due casi ma solo in valore medio, oppure anche puntualmente? Cioè il campo B è proprio identico ovunque (quindi anche dentro il cilindro) nel caso di sup. percorda da corrente v/s materiale magnetizzato o questa cosa non è possibile affermarla?
Risposte
Credo che si possa dire che l'equivalenza è esatta nel caso di un cilindro infinito.
Invece se immaginiamo di avere un cilindro magnetizzato in modo uniforme, coi vettori di campo tutti paralleli, questo non è equivalente alla corrente sulla superficie, che presenterà degli effetti di bordo.
Invece se immaginiamo di avere un cilindro magnetizzato in modo uniforme, coi vettori di campo tutti paralleli, questo non è equivalente alla corrente sulla superficie, che presenterà degli effetti di bordo.
Mi straniva in effetti che parlasse di valori medi se erauna equivalenza esatta. Perché in modo sciocco pensavo gli effetti di bordo fossero uguali in entrambi i cilindri (magnetizzato e solenoide). Svelato l'arcano quindi: non è così!
Ma come potrei dimostrarlo formalmente? Hai qualche lettura a riguardo? (sono incuriosito)
grazie mgrau!
Ma come potrei dimostrarlo formalmente? Hai qualche lettura a riguardo? (sono incuriosito)
grazie mgrau!
"alifasi":
Hai qualche lettura a riguardo?
Ahimè, no
Grazie comunque, mi interessava prioritariamente capire la situazione. Poi mi aveva incuriosito.
Sei stato davvero gentile.
Buona serata!
Sei stato davvero gentile.
Buona serata!
"alifasi":
... il campo B è uguale nei due casi ma solo in valore medio, oppure anche puntualmente? ...
Se non ricordo male, visto che in generale, per un qualsiasi corpo magnetizzato (si può dimostrare che), il campo prodotto da una magnetizzazione $\vec M$ è equivalente a quello prodotto: da una densità di corrente volumetrica
$\vec J_v=\vec\nabla \times \vec M$
sommato a quello generato da una densità di corrente superficiale
$\vec J_s=\vec M \times \hat n$
direi che, se la magnetizzazione $\vec M$ è assiale e uniforme, il cilindro magnetizzato equivale puntualmente a quello di un solenoide di pari dimensioni [nota]O con una sola spira pari alla lunghezza $L$ del cilindro attraversata da una corrente $J_s L$, oppure con un elevato numero $n$ di spire, ben serrate, attraversate da una corrente \( J_s L /n\).[/nota].
NB Chiaramente poi, dal punto di vista operativo, come avviene anche per un solenoide finito, la determinazione di $\vec B(P)$ non sarà semplice, se non per i punti P appartenenti all'asse.
Mi sono accorto di aver sbagliato nel messaggio precedente e vorrei replicare correggendo.
@RenzoDF: C'è una cosa che non mi è chiara, nel senso che il libro distingue tra le $j_m$ di magnetizzazione e $j_c$ conduzione. Le prime sono le densità corrente dovute alla magnetizzazione appunto e le secondo quelle reali esistenti che sarebbero poi prorpio quelle pari al rotore di H, nel caso del solenoide H è proporzionale a B non avendo il vettore M in nessun punto, ossia: $\vecH=\vecB/mu_0$.
In teroia, sempre il libro, mostra come $\vecJ_m=\vec\nablaxx\vecM$ e questo dovrebbe valere per tutte le correnti di magnetizzazione sia di volume che di superficie.
Ora, nel nostro caso quelle di volume come fai notare, si elidono tutte. Quindi dovrebbe rimanere solo $\vecJ_(m,s)=\vec\nablaxx\vecM$ che è sempre di magnetizzazione ma di superficie come indica il pedice (e qui il primo dubbio: come fa questa a ridursi a $J_s=M$ se c'è di mezzo un rotore? nel caso di magnetizzazione uniforme non mi è chiaro).
Proseguendo per il secondo dubbio, il punto è che in un solenoide "fitto" capito il primo dubbio sarebbe $J_(m,s=M$ nei moduli ma anche vettorialmente come hai scritto, tuttavia non è vero che $\vec\nablaxx\vecM=\vecJ_(c,s)$,
Dunque: $\vecnablaxx\vecB=\vecJ_(c,s)$ è per il solenoide, mentre per il magnetizzato: $\vec\nablaxx(\vecB/mu_0-\vecM)=J_(c,s)=0$
Quindi in generale non è vero che $J_(c,s)=J_(m,s)$, invece mi sembra che dici essere uguali e non capisco perché.
@RenzoDF: C'è una cosa che non mi è chiara, nel senso che il libro distingue tra le $j_m$ di magnetizzazione e $j_c$ conduzione. Le prime sono le densità corrente dovute alla magnetizzazione appunto e le secondo quelle reali esistenti che sarebbero poi prorpio quelle pari al rotore di H, nel caso del solenoide H è proporzionale a B non avendo il vettore M in nessun punto, ossia: $\vecH=\vecB/mu_0$.
In teroia, sempre il libro, mostra come $\vecJ_m=\vec\nablaxx\vecM$ e questo dovrebbe valere per tutte le correnti di magnetizzazione sia di volume che di superficie.
Ora, nel nostro caso quelle di volume come fai notare, si elidono tutte. Quindi dovrebbe rimanere solo $\vecJ_(m,s)=\vec\nablaxx\vecM$ che è sempre di magnetizzazione ma di superficie come indica il pedice (e qui il primo dubbio: come fa questa a ridursi a $J_s=M$ se c'è di mezzo un rotore? nel caso di magnetizzazione uniforme non mi è chiaro).
Proseguendo per il secondo dubbio, il punto è che in un solenoide "fitto" capito il primo dubbio sarebbe $J_(m,s=M$ nei moduli ma anche vettorialmente come hai scritto, tuttavia non è vero che $\vec\nablaxx\vecM=\vecJ_(c,s)$,
Dunque: $\vecnablaxx\vecB=\vecJ_(c,s)$ è per il solenoide, mentre per il magnetizzato: $\vec\nablaxx(\vecB/mu_0-\vecM)=J_(c,s)=0$
Quindi in generale non è vero che $J_(c,s)=J_(m,s)$, invece mi sembra che dici essere uguali e non capisco perché.
"alifasi":
... sempre il libro, mostra come $vecJ_m=vec
ablaxxvecM$ e questo dovrebbe valere per tutte le correnti di magnetizzazione sia di volume che di superficie. ... tuttavia non è vero che $vec
ablaxxvecM=vecJ_(c,s)$,
Ok, non volendo "vincere facile"
si può vederla anche in quel modo, ma allora devi considerare che in corrispondenza della superficie laterale del cilindro la magnetizzazione presenta (in teoria) una discontinuità da M a zero, fra interno ed esterno, che fa tornare i conti anche via rotore, avrai infatti una densità volumetrica$vec J_m=vec
abla imes vec M =-frac{partial M_z}{partial
ho} hat phi=- frac{ (0-M)}{partial
ho}= frac{ M }{partial
ho} hat phi$
che corrisponde ad una densità di corrente superficiale di modulo pari a M, vettorialmente esprimibile come già detto con
$vec J_s=vec M imes hat n$
Intuitivamente forse ho capito cosa intendi:una è columetrica e l'altradi superficie?
MA non ho capito questa notazione:
cos'e rho? e phi?
Scusa l'ignoranza
MA non ho capito questa notazione:
"RenzoDF":
$\frac{\partial M_z}{\partial \rho} \ \hat phi$
cos'e rho? e phi?
Scusa l'ignoranza
Scusa, ma come lo scriveresti, per un vettore magnetizzazione $vec M$ orientato lungo z, il rotore in coordinate cilindriche?
Hai ragione
Non capisco come farmelo entrare in testa in coordinate cilindriche. L'ho usato pochissimo e non avevo afferrato fosse quello.
Non capisco come farmelo entrare in testa in coordinate cilindriche. L'ho usato pochissimo e non avevo afferrato fosse quello.
Leggendo questa discussione linkatami da @renzoDF credo di essere ancora in balia di alcuni dubbi nonostante il vostro dibattito. Intervengo per cercare di capire avendo posto una domanda piuttosto simile esvolto anche un esercizio sull'argomento, ma ancora non ho ben capito e voglio riuscirci.
Porto questo esempio: immaginiamo una regione di spazio in cui so il valore del campo magnetico, sia poi un cilindro di dimensione finita (quindi effetti di bordo e campo che si chiude all'esterno) che può magnetizzarsi di un certo materiale (sia ferromagnetico, paramagnetico o altro non ci importa), quando messo nella regione si magnetizza uniformemente (ipotesi) quindi come dicevate esistono sul cilindro delle correnti di superficie.
Quello che non riesco a capire a fondo è come mai esternamente al cilindro in una qualunque regione di spazio il campo magnetico è il medesimo che nel caso della medesima situazione ma privata del clindro. In altre parole è come se che ci sia il cilindro o non ci sia in un punto P fuori dal cilindro il campo B non ne risente del campo B dovuto alla magnetizzazione del cilindro. Il dubbio si fonda sul fatto che, siccome il campo magnetico B è generato da correnti di conduzione come diceva @alifasi, più quelle di superficie quando non c'è il cilindro dovrei avere solo quelle di conduzione esterne (mettiamo date da un solenoide), mentre quando nel solenoide metto il cilindro esso a intuito mi aspetto perturbi il campo magnetico nello spazio astante. Ma non è così, come potrei capire il perché di questo fenomeno?
E' tutto il giorno che ci ragiono, ma continuo a non capire appieno. Scusatemi per la testardaggine
Porto questo esempio: immaginiamo una regione di spazio in cui so il valore del campo magnetico, sia poi un cilindro di dimensione finita (quindi effetti di bordo e campo che si chiude all'esterno) che può magnetizzarsi di un certo materiale (sia ferromagnetico, paramagnetico o altro non ci importa), quando messo nella regione si magnetizza uniformemente (ipotesi) quindi come dicevate esistono sul cilindro delle correnti di superficie.
Quello che non riesco a capire a fondo è come mai esternamente al cilindro in una qualunque regione di spazio il campo magnetico è il medesimo che nel caso della medesima situazione ma privata del clindro. In altre parole è come se che ci sia il cilindro o non ci sia in un punto P fuori dal cilindro il campo B non ne risente del campo B dovuto alla magnetizzazione del cilindro. Il dubbio si fonda sul fatto che, siccome il campo magnetico B è generato da correnti di conduzione come diceva @alifasi, più quelle di superficie quando non c'è il cilindro dovrei avere solo quelle di conduzione esterne (mettiamo date da un solenoide), mentre quando nel solenoide metto il cilindro esso a intuito mi aspetto perturbi il campo magnetico nello spazio astante. Ma non è così, come potrei capire il perché di questo fenomeno?
E' tutto il giorno che ci ragiono, ma continuo a non capire appieno. Scusatemi per la testardaggine
"massimino's":
... immaginiamo una regione di spazio in cui so il valore del campo magnetico, ...
Non vedo che ci azzecchi con quanto trattato nel thread, nel quale si discute sull'equivalenza fra un cilindro magnetizzato (non ci interessa da chi dove e come) e una generica superficie cilindrica interessata da una corrente di conduzione con densità km.
"massimino's":
... Quello che non riesco a capire a fondo è come mai esternamente al cilindro in una qualunque regione di spazio il campo magnetico è il medesimo che nel caso della medesima situazione ma privata del clindro. ...
... continuo a non capire ..
"massimino's":
... Il dubbio si fonda sul fatto che, siccome il campo magnetico B è generato da correnti di conduzione come diceva @alifasi, più quelle di superficie quando non c'è il cilindro dovrei avere solo quelle di conduzione esterne (mettiamo date da un solenoide), mentre quando nel solenoide metto il cilindro ...
Dentro il solenoide (che è solo un modo di "vedere" la superficie cilindrica interessata da una corrente di conduzione), non ci mettiamo proprio nulla; stiamo parlando di una equivalenza fra densità di correnti di conduzione e amperiane.
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