Campo non conservativo

[Benny24]

Dati i punti nel piano $(x,y)$ $M(0,y_0)$, $N(x_0,0)$ e $P(x_0,y_0)$, si consideri l'integrale di linea del campo $E'=ayi+bxj$, lungo i percorsi $OMP$ e $ONP$, per dimostrare che $E'$ non è conservativo se $a$ è diverso da $b$.
N.B.
-$i, j$ versori nelle direzioni $x$ e $y$;
-i percorsi non sono curvilinei ma formati ciascuno da una coppia di segmenti, il primo in senso orario, il secondo antiorario;

L'esercizio si trova in un capitolo dedicato al potenziale elettrico. Finora non sono riuscito a scrivere uno svolgimento in modo convincente. Qualche idea?

[Falco5x]

Se il campo fosse conservatovo, l'integrale di linea secondo i due percorsi indicati dovrebbe dare lo stesso valore. Se non lo dà, allora il campo non è conservativo.
E infatti: da O a M il campo è ortogonale al percorso, quindi il contributo è 0 cioè $I_(OM)=0$; da M a P la componente di campo nella direzione del percorso è $E=ay_0$ costante, e moltiplicata per la lunghezza percorsa dà $I_(MP)=ay_0x_0$. Seguendo l'altro percorso si ha $I_(ON)=0$ e $I_(NP)=bx_0y_0$.
Per cui in totale si ha $I_(OMP)=ay_0x_0$ e $I_(ONP)=by_0x_0$. I due valori sono diversi se a è diverso da b, dunque in questo caso il campo è non conservativo.

[giacor86]

Se vuoi vederla in termini di potenziale, un campo è conservativo se è esprimibile come gradiente di una certa funzione scalare $V$, detta appunto potenziale. Deve valere quindi che $E=-\gradV$. Traducendo questa legge in soldoni, per il tuo caso diventa che:

$\{((\partialV)/(\partialx) = -ay),((\partialV)/(\partialy) = -bx):}$

integrando ambo le equazioni:

$\{(V = -ayx + c'),(V = -bxy +c''):}$

Quindi V esiste solo se $a=b$ (a meno delle costanti arbitrarie che devono essere a caso, ma uguali). Ma siccome $E$ è conservativo solo quando esiste $V$, allora ahi dimostrato la tua tesi.

[Benny24]

Chiarissimo. Grazie per le risposte.